Equações Diferenciais Ordinárias Adalberto Aula 5

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27/05/2016
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Seja 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0 uma E.D. linear de 1ª
ordem homogênea com coeficientes
constantes.
𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 é uma solução da equação
𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0. Pois , á única função cuja
derivada é um múltiplo constante de si
mesma é a função exponencial
Substituindo 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 em 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0
teremos:
𝒂𝒎𝒆𝒎𝒙 + 𝒃𝒆𝒎𝒙 = 𝟎
𝒆𝒎𝒙(𝒂𝒎+ 𝒃) = 𝟎
Obtemos 𝒂𝒎+ 𝒃 = 𝟎 , que denominamos
equação característica da EDO homogênea
Com ela determinamos o valor de 𝒎 e
consequentemente 𝒚 = 𝒄𝒆𝒎𝒙 é a solução
geral da Equação Diferencial Homogênea
dada.
Determine a solução geral da EDO.
𝟑𝒎𝒆𝑚𝑥 + 𝟒𝑒𝑚𝑥 = 𝟎
𝟑𝒎+ 𝟒 = 𝟎
𝒎 = −
𝟒
𝟑
𝒚 = 𝒄𝒆−
𝟒
𝟑𝒙
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𝒚 = 𝒆𝒎𝒙 é 𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝒅𝒂 𝑬𝑫, 𝒔𝒆 𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒆,𝒎 é 𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎+ 𝒄
21
x) + (
12
)x + (
1
x) + (
2xm
2
x 
1
xx
xxm
m pois 0 e ) m (m =
 = e e = 
eem 
ee
 = )e ,W(e
21
2121
21
21
21


m
mm
m
mm
mmmm
m
mm
m
Exemplo: Dê a solução geral da equação 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0.
Solução: 𝑚2 − 5𝑚 + 6 = 0
𝑚′ = 2 𝑚′′ = 3
Logo, 𝑦 = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑒
3𝑥
Pois 𝑦1 = 𝑒
𝑚𝑥 e 𝑦2 = 𝑥𝑒
𝑚𝑥 são L.I. 
Exemplo: Dê a solução geral da equação 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0.
Solução: 𝑚2 − 4𝑚 + 4 = 0
𝑚′ = 𝑚′′ = 2
Logo, 𝑦 = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
2𝑥
∆= 𝟎
Pelo teorema da superposição, temos que a 
solução geral é dada por: 
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Dê a solução geral da equação 𝑦′′ − 2𝑦′ + 10𝑦 = 0.
Solução:
Logo a solução geral é: 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑥 cos 3𝑥 + 𝐶2𝑒
𝑥𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
i
i
a
acbb
m 31
2
62
2
362
2
4042
2
42









Como, 𝑦1 = 𝑒
𝑥 cos 3𝑥 𝑒 𝑦2 = 𝑒
𝑥𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑗 = 1 𝑒 𝑘 = 3
 é a solução da equação
linear homogênea de 2ª ordem, portanto
para determinarmos a solução geral
completa, é necessário que se determine uma
solução particular. Daí a solução geral da EDO
é dada por: .
)()( 2211 xycxycyh 
hP yyy 
 Vamos considerar a equação na forma padrão
. Suponha que
é a solução geral da equação homogênea
associada. Vamos considerar que existe
equação particular que está relacionada com a
expressão de . Podemos então, escrever a
solução particular com coeficientes variáveis na
forma:
)('" xfQyPyy  )()( 2211 xycxycyh 
Py
hy
)()()()( 2211 xyxcxyxcyP 
 Novamente pelo teorema de superposição 
obteremos o seguinte sistema:
.
Resolvendo este sistema podemos determinar 
e por integração, determinamos 






)(
0
'
2
'
2
'
1
'
1
2
'
21
'
1
xfycyc
ycyc
)()(
'
2
'
1 xcexc
)()( 21 xcexc