Exercícios de Geometria Analítica

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4a Lista de Geometria Anal´ıtica
Profa E´rica Resende Malaspina - e-mail: ermalaspina@gmail.com
1. Calcule o valor do coeficiente angular m ∈ R para que a reta y = mx+2 intercepte a para´bola
y2 = 4x. Resp.: m <
1
2
2. Determine a equac¸a˜o da para´bola com eixo de simetria vertical, cujo ve´rtice e´ V (0,−3) e que
intercepata o eixo Ox nos pontos A(−1, 0) e B(1, 0). Resp.: y = 3x2 − 3
3. Obter a equac¸a˜o da mediatriz do segmento cujas extremidades sa˜o os ve´rtices das para´bolas
y = x2 + 4x + 6 e y = x2 − 4x + 2. Resp.: y = x
4. Um determinado fio e´ constitu´ıdo de um material que, quando preso a dois pontos distantes
um do outro 20 m e ambos a 13 m do solo, toma a forma de uma para´bola, estando o ponto
mais baixo do fio a 3 m do solo. Qual a equac¸a˜o da para´bola no sistema de coordenadas
cartesianas em que o eixo Oy conte´m o ponto mais baixo do fio e o eixo Ox esta´ sobre o solo?
Resp.: 10y = x2 + 30
5. O eixo maior de um elipse de centro na origem esta´ sobre o eixo Ox. Sabendo que o com-
primento do eixo menor e´ 6 e a distaˆncia focal e´ 10, determine a equac¸a˜o da elipse. Resp.:
x2
34
+
y2
9
= 1
6. Numa elipse de ve´rtices V1(−5, 0) e V2(5, 0), a excentricidade e´ e =
√
5
5
. Determine a equc¸a˜o
da elispe. Resp.:
x2
25
+
y2
20
= 1
7. As metades do eixo maior e da distaˆncia focal de uma elipse medem, respectivamente, 10 u.m.
e 6 u.m., e seu centro e´ o ponto (4,−2). Se o eixo menor e´ paralelo ao eixo Ox, escrever a
equac¸a˜o dessa elipse. Resp.:
(x− 4)2
64
+
(y − 2)2
100
= 1
8. Os pontos A e B pertencem a` elipse de focos F1 e F2 e distaˆncia focal igual a 1 u.m.. Sabendo
que o per´ımetro do triaˆngulo AF1F2 vale 3 u.m. e que B pertence ao eixo menor da elipse,
quanto vale a distaˆncia |BF1|? Resp.: 1 u.m.
9. Numa hipe´bole, a distaˆncia focal e´ 16 u.m. e o comprimento do eixo principal e´ 12 u.m..
Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole, sabendo que os focos pertencem ao eixo das abscissas.
Resp.:
x2
36
− y
2
28
= 1
10. Numa hipe´rbole, o eixo principal mede 4 u.m. e o eixo ima´gina´rio mede 10 u.m.. Determine
as equac¸o˜es das ass´ıntotas da hipe´rbole. Resp.: y =
5
2
x e y = −5
2
x
11. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole que tem as seguintes propriedades: seu centro e´ a origem,
um dos seus focos e´ F1(0,−2) e um de seus pontos e´ P (1,
√
3). Resp.: y2 − x2 = 2
12. Uma hipe´rbole de excentricidade e =
√
2 tem centro na origem e passa pelo ponto P (
√
5, 1). Deˆ
a equac¸a˜o de uma reta s tangente a` hipe´rbole e paralela a` reta t : y = 2x. Resp.: y = 2x+2
√
3
13. Verifique se as seguintes equac¸o˜es representam uma para´bola, uma elipse ou uma hipe´rbole.
Em cada caso identifique os elementos das coˆnicas correspondentes:
(a) x2 − 8y = 0
(b) x2 + 4y2 + 2x− 12y + 6 = 0
(c) 9x2 − 25y2 − 225 = 0
(d) x2 − 2y2 + 6x + 9 = 0
(e) 2y2 + 5x + 8y − 7 = 0
(f) 49x2 + 9y2 − 441 = 0
14. Determine a equac¸a˜o da elipse sabendo-se que:
(a) E´ centrada em (1,−1), tem um foco no ponto (2,−1) e passa pelo ponto (2, 1).
(b) E´ centrada no ponto (1, 2), tem um ve´rtice no ponto (3, 2) e sua excentricidade e´ e =
1
2
.
15. Determine a equac¸a˜o da para´bola cujo eixo de simetria e´ paralela ao eixo Ox e que passa
pelos pontos A
(3
2
,−1
)
, B(0, 5) e C(−6, 7).
16. Encontre a equac¸a˜o da hipe´rbole com eixo principal o eixo Ox, um dos focos e´ o ponto
F (
√
34, 0) e uma das ass´ıntotas e´ y =
3
5
x.
2