1º Estudo de Caso

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Centro de Ciências Sociais Aplicadas – Departamento de Administração
Disciplina: Administração da Produção 2		Professor: Luciano Sampaio			
1º Estudo de Caso (em tripla)
Data de entrega: 11/02, início da aula
Relação entre Vendas e Investimento em Propaganda.
	A análise de regressão é uma técnica de modelagem para análise da relação entre uma variável dependente contínua (com valor real) Y e uma ou mais variáveis independentes X1, X2, ..., Xk.
	O objetivo na análise de regressão é identificar uma função que descreva, o mais aproximado possível, a relação entre essas variáveis de modo que seja possível prever qual valor a variável dependente assumirá, dados os valores específicos para as variáveis independentes.
	Considere a relação entre vendas de uma companhia e a verba que ela investe em propaganda. Podemos considerar as vendas uma variável dependente Y e a propaganda uma variável independente X1. Embora exista uma relação entre vendas e propaganda, poderíamos não conhecer exatamente a forma funcional dessa relação. De fato, é provável que não haja uma relação exata entre essas variáveis. Esperamos que as vendas dependam da propaganda, mas que outros fatores como condições econômicas gerais, nível de competição no mercado, qualidade do produto e assim por diante, também podem afetar as vendas de uma companhia. Mesmo assim, poderíamos estar interessados em estudar a relação entre as vendas (Y) e a verba investida em propaganda (X1) e prever o nível médio de vendas esperado para determinado nível de propaganda. A análise de regressão fornece a ferramenta para fazer tais previsões. Para identificar tal função, precisamos coletar dados de vendas e propaganda para análise. Considere os seguintes dados, para uma empresa, sobre o volume de vendas observadas para vários níveis de investimento em propaganda em dez diferentes mercados-teste (municípios):
	Obs
	Investimento
em Propaganda (em R$1000)
	Vendas atuais
(em R$ 1000)
	1
	30
	184,4
	2
	40
	279,1
	3
	40
	244,0
	4
	50
	314,2
	5
	60
	382,2
	6
	70
	450,2
	7
	70
	423,6
	8
	70
	410,2
	9
	80
	500,4
	10
	90
	505,3
			Assumiremos que os diferentes mercados-teste são semelhantes quanto ao tamanho e outras características demográficas e econômicas, sendo a principal diferença em cada mercado, o nível de investimento em propaganda.
			Fazendo o gráfico das vendas no eixo Y e do investimento em propaganda no eixo X, os pontos sugerem uma forte relação linear entre as duas variáveis, com as vendas aumentando com o aumento da verba de propaganda. Entretanto esta relação não é perfeita. A flutuação aleatória, ou dispersão, dos pontos sugere que um pouco de variação em vendas não é contabilizado nos investimentos em propaganda. Por isso, parece que há uma relação estatística entre essas variáveis: cada nível de vendas está associado a uma série ou distribuição de possíveis valores de vendas.
			Formalizaremos a natureza um tanto imprecisa de uma relação estatística acrescentando um termo de erro ao que é, de outra forma, uma relação funcional. Isto é, na análise de regressão, consideramos modelos da seguinte forma:
		
			Y = f(X1, X2, ..., Xk) + Ɛ
		Onde Ɛ representa um termo de erro aleatório de perturbação ou simplesmente termo de erro.
		Essa função f(.) pode assumir muitas formas, mas como visto graficamente, a relação entre vendas e propaganda pode ser considerada do tipo linear. O modelo para este caso, com apenas uma variável dependente e uma independente, é chamado de modelo de regressão linear simples e pode ser escrito como:
		
			Yi = β0 + β1X1i + Ɛi
			Nesta equação, Yi denota o real valor de venda para a i-ésima observação; X1i, denota os investimentos em propaganda associados às vendas Yi, e Ɛi é um termo de erro indicando que, quando X1i reais são investidos em propaganda, nem sempre as vendas podem ser iguais a β0 + β1X1i. O parâmetro β0 representa um valor constante (às vezes chamado de intercepto) e β1 representa a inclinação da linha.Os parâmetros β0 e β1 representam o intercepto e a inclinação da verdadeira linha de regressão relacionada com essas populações. Via de regra, nunca conheceremos os verdadeiros valores destes parâmetros (da população), entretanto tomando uma amostra de valores de Y relacionados a valores X1, podemos estimar estes parâmetros. Identificaremos os valores estimados de β0 e β1 como b0 e b1 de nossos dados da amostra. A busca de valores b0 e b1 a fim de produzir a linha que melhor se ajusta aos nossos dados da amostra é que é o objetivo da regressão linear.
			Usaremos o símbolo para denotar nosso valor estimado ou ajustado de Yi, que é definido da seguinte maneira:
				
		Queremos encontrar valores para b0 e b1 que tornem todos os valores de vendas estimados () os mais próximos possíveis dos reais valores de vendas (Yi). Por exemplo, os dados da tabela acima indicam que com investimentos de R$ 30.000 em propaganda (Xi = 30) a empresa obteve vendas de R$ 184.400 (Y1 = 184,4). Na equação acima, fazendo X1i = 30, queremos que Y’i assuma o valor mais próximo possível de 184,4. Da mesma forma, fazendo X1i = 70, queremos que Yi assuma valores os mais próximos possíveis de 450,2; 423,6 e 410,2.
		Se pudéssemos encontrar valores para b0 e b1 de modo que todos os valores estimados de vendas fossem exatamente os mesmos que todos os reais valores de vendas ( = Yi, para todas as observações i), teríamos a equação da linha reta se ajustando perfeitamente aos dados. Embora seja improvável que encontremos valores de b0 e b1 que nos permitam ajustar nossos dados perfeitamente, tentaremos encontrar valores que fazem as diferenças entre os valores estimados para a variável dependente e os reais valores para a variável dependente (Yi – ) as menores possíveis. Referimo-nos à diferença (Yi – ) como erro de estimativa para a observação i porque ela mede a distância entre o valor estimado e o valor real Yi. Os erros de estimativa em um problema de regressão também são chamados de resíduos.
		Embora critérios diferentes possam ser usados para determinar os melhores valores para b0 e b1, o método mais usado determina os valores que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos (SQR). Isto é, tentaremos encontrar valores para b0 e b1 que minimizem:
			 
			Uma vez que cada erro da estimativa está elevado ao quadrado, o valor de SQR será sempre não negativo e, portanto, o menor valor que SQR poderá assumir será 0. A única forma de SQR se igualar a 0 é todos os erros individuais da estimativa serem iguais a 0 (Yi – = 0, para todas as observações), e nesse caso a linha de regressão estimada se ajustaria perfeitamente aos nossos dados.
			Assim, a minimização de SQR parece ser um bom objetivo para se utilizar na procura dos melhores valores de b0 e b1. Pelo fato da análise de regressão encontrar os valores das estimativas de parâmetros que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, às vezes ela é chamada de método dos mínimos quadrados.
Questões:	
(a) Resolva o problema de minimização da SQR e encontre os valores ótimos para b0 e b1. Observe que este é um problema de otimização linear sem restrições. Para tanto, crie no Excel o modelo para usar o solver. Dica: inclua as duas colunas de dados (vendas e investimento em propaganda); inclua em duas células abaixo valores iniciais para b0 e b1; crie uma coluna paralela às outras duas com o valor estimado das vendas (dado por ); crie uma outra coluna para o resíduo; e uma última coluna para o resíduo ao quadrado.
 (b) O Excel já possui uma ferramenta que resolve problemas de regressão diretamente. Procure esta ferramenta no Excel. Quando você conseguir com que a caixa de diálogo desta ferramenta apareça, selecione os dados da variável dependente, da variável independente e peça que a ferramenta lhe mostre diretamente a função de regressão estimada, comparando sua resposta com a alternativa (a).
(c) Estime, pelo modelo de regressão,quais as vendas de duas empresas, uma que investe 120 mil em propaganda e outra que investe 75 mil em propaganda. Você acha que seu modelo é mais adequado para qual das duas empresas?