192624 3a Lista de Exerccios

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FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências
Disciplina: Álgebra Linear
Curso: Engenharia 
Profº: Ernani Previtera Santos
3a Lista de Exercícios –
Dependência e Independência Linear. Base e Dimensão. Coordenadas
1) Justifique por que os seguintes conjuntos de vetores são L.D.
a) { ( (1, 2, 4 ), ( 5, (10, (20 ) }; b) { (3, (1), (4, 5), ( 7, 4 ) }; c)
2) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são L.I. ou L.D.
a) { ( 4, (1, 2 ) , ( (4, 10, 2 ) } em R3; 
b){ ( (3, 0, 4 ), (5, (1, 2 ) , (1,1,3 ) } em R3;
c) { ( -2, 0, 1 ), ( 3, 2, 5 ), (6, (1, 1 ), (7, 0, (2 ) } em R3; 
d) { (0, 0, 2, 2 ), (3, 3, 0, 0 ), (1, 1, 0, (1 ) } em R4;
e) { ( 3, 0, (3, 6), (0, 2, 3, 1 ) , ( 0, (2, (2, 0 ), ( (2, 1, 2. 1 ) } em R4
f) 
��\EMBED Equation ,
,
 em 
3) Suponha que v1, v2 e v3 são vetores do R3 localizados na origem. Verifique se os três vetores estão num 
mesmo plano 
a) { ( 2, (2, 0 ), (6, 1, 4 ) , (2, 0, (4 ) }; b) { ( (6, 7, 2 ), (3, 2, 4 ) , (4, (1, 2 ) }
4) Considere os vetores de 
 : 
( 0, 1, 0 ) ,
( 0, 1, 1 ) ,
 ( 0, 2, 2 ),
( 1, 0, 0 ) e 
 ( 1 , 2, 3 ).Verifique quais dos conjuntos abaixo são L.I.
a) { v1 }; b) { v1, 0 }; c) { v1, v3 }; d) { v1, v2, v3 }; 
e) { v1, v2, v4 }; f) { v1, v2 }; g) { v1, v2, v4, v5 }; 
5) Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:
 a) Dois vetores são L.D. se,e somente se,um deles é múltiplo do outro.
 b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D. 
 c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D. 
 d) Se { w1, w2, w3 } é L.I. então { w1, w3, w2 } é L.I. . 
 e) Se 
 então { w1, w2, w3 } é L.D. .
 f) Se [ w1, w2 ] = [ w1, w2, w3] então { w1, w2, w3 } é L.D.
6) Verifique se os conjuntos dados a seguir são base para os 
respectivos espaços.Caso não sejam bases, justifique o porquê. 
a){ ( 1, 1 ), ( (2, ( 2 ) } para o R2; 
b) { ( 1, 1 ), ( (2, 2 ) } para o R2; 
c) { ( 1, 0, 0 ), ( 2, 2, 0 ), (3, 3, 3 ) } para o R3; 
d) { ( 2, (3 , 1 ), ( 4, 1, 1 ), ( 0 , (7 , 1 ) } para o R3; 
e) 
��\EMBED Equation ,
,
��\EMBED Equation para o M2x3( R ) 
7) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
a) W = [( 1, 0, 0 ), ( 0, 5, (2 ), ( 7, 0, 2 ), ( 3, 3, 2 )] ; 
b) W = [( 1, 0, 3 ), (0, (1 , 2 ), ( 1, (1, 5 )]
c) W = 
��\EMBED Equation \SYMBOL 206 \f "Symbol" 
; x + z – y = 0
 
d) W = { ( x, y, z ) ( R3; x (2y + 5z = 0 }
e) W = { ( x, y, z, w ) ( R4; z = w e y = 2x }
8) Determine uma base para os espaços dados a seguir, contendo os respectivos conjuntos S de vetores.
a) V = R2 e S = { ( 1, 1 ) } ; b) V = R3 e S = { ( 1, 2, 0 ), (0, 1, (1 )}
9) Encontre um vetor da base canônica que pode ser acrescentado ao conjunto { v1, v2 } para formar 
uma base para o R3.
a) v1 = ( (1, 2, 3 ) e v2 = ( 1, (2, (2 ); b) v1 = ( 1, (1, 0 ) e v2 = ( 3, 1, (2 )
10) Determine as coordenadas de um vetor em relação às bases dadas.
a) v = (8, 6 ); ( = { (2, 0), (1, 3) }, ( canônica do R2 e ( = { (1, (3), (2, 4) }.
b) v = (5, 4, 2 ); ( = { (1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1) } e ( canônica do R3.
 
11) No espaço vetorial R3, considere a base ( = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, -1, 1) }. Determine o vetor do R3 dadas as suas coordenadas em relação à base (.
a) 
; b) 
; c) 
 
RESPOSTAS
1) a) Um vetor é múltiplo do outro; b) (3, (1) + (4, 5) = ( 7, 4 ); c) Uma matriz é múltipla da outra
2) São L.D. c) e f). 3) a) Os vetores são L.I., logo não estão sobre o mesmo plano; 
b) os vetores são L.D. logo estão sobre o mesmo plano
4) São L.D. b) ; d) e g) 5) .a)V b)V c)F d)V e)V f)V
6) a) Não porque os vetores são L.D.; b) É base; c) Não porque os vetores são L.D; 
d) Não porque os vetores não geram o M2( R ); 
7) a) dimW = 3. Uma base { ( 1, 0, 0 ), (0, 5, (2 ), ( 7, 0, 2 ) } ( Observe que W = R3 )
b) dimW = 2.Uma base { ( 1, 0, 3 ), (0, (1 , 2 ); c) dim W = 3.Uma base 
d) dim W = 2. Uma base { (2, 1, 0 ), (-5, 0, 1 ) }; e) dim W = 2.Uma base {( 1, 2, 0, 0 ), (0, 0, 1, 1 )} 
8) a) Basta tomar qualquer vetor que não seja múltiplo de ( 1, 1 )
b) { ( 1, 2, 0 ), (0, 1, (1), ( x, y, z ) } onde z + y ( 2x ( 0 Esta é a garantia que depois de 
escalonada a matriz 
 não possua linha nula e portanto os vetores são L.I.
9) a) { v1, v2 , e1 } ou { v1, v2 , e2 }; b) { v1, v2 , e1 }, { v1, v2 , e2 } ou { v1, v2 , e3 }; 
Lembre que: e1 = ( 1, 0, 0 ); e2 = ( 0, 1, 0 ) e e3 = ( 0, 0, 1 )
10) a) 
	b) 
11) a) u = (2, -3, 4 ) b) v = (3, 5, 6 ) c) w = (2, -1, 1)
_1065340198.unknown
_1082273321.unknown
_1082273356.unknown
_1067938261.unknown
_1082273260.unknown
_1067938150.unknown
_1065340187.unknown
_1065339804.unknown