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FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências
Disciplina: Álgebra Linear
Profº : Ernani Previtera Santos
4a Lista de Exercícios
Espaços Vetoriais( subespaços; combinação linear e espaço gerado)
1).Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do R3 . Justifique.
 a)
 b) 
 c)
 d)
 
 e)
 f) 
 
2) Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do M2(R). Justifique
a) 
b)
3) Determine se o espaço solução do sistema AX = 0 é uma reta que passa pela origem, um plano passando pela origem ou somente a origem
a) 
 ; b)
; c) 
4) Verifique quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = ( 0, (2, 2 ) e v = (1, 3, (1 )
a) ( 2, 2, 2 ); b) ( 0, 4, 5 ); c) ( 2, 0, 4 ); d) ( 2, 0, 1 )
5) Expresse os seguintes vetores como combinação linear de u = ( 1, 0, 0 ): v = ( 1, 1, 0 ) e w = ( 1, 1, 1 )
a) ( 1, 1, 1); b) ( 0, 1, 0 ); c) (2, 3, 4 )
6) Verifique quais das seguintes matrizes são combinações lineares de 
 
a) 
; b) 
7) Verifique em cada item a seguir se os vetores dados geram o R3
v1 = ( 2, 2, 2 ), v2 = ( 0, 0, 3 ) e v3 = ( 0, 1, 1) 
v1 = ( 2, (1, 3 ), v2 = ( 4, 1, 2 ) e v3 = ( 8, (1, 8 )
v1 = ( 2, 2, 2 ), v2 = ( 1, 1, 1 ) e v3 = ( 0, 1, 1) 
8) Diga quais dos seguintes vetores pertencem a W = [ (2, 1, 0, 3), (3, (1, 5, 2 ), ( (1, 0, 2, 1 ) ]
a) (2, 3, (7, 3 ); b) ( 0, 0, 0, 0 ); c) ( 1, 1, 1 ,1 )
 9) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) 
b) 
c) 
 
d)
e)
 
 
10) Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços , se 
 possível. Verifique se 
 é um subespaço próprio de 
 .
 a)
 b)
 c)
 d)
 e)
 
Respostas:
1) São subespaços c) e f) ; 2) b) é subespaço
3) a) Reta de equação 
 b) plano de equação: x (3y + z = 0; c) a origem 
4) a) (2, 2, 2 ) = 2u + 2v; b) Não é combinação; c) ( 2, 0 , 4 ) = 3u + 2v; d) Não é combinação
5) a) ( 1, 1, 1) = 0u + 0v + w; b) ( 0, 1, 0 ) = (u + v + 0w; c) ( 2, 3, 4 ) = (u – v + 4 w
6) a) 
= M1 + 2M2 (3M3; b) Não é combinação 
7) a) e b); 8) a) e b); 
9) a) W = [ ( 1, 1, 1) ] ; b) W = [ ( 0, 1, 0), ( 0, 0, 1 )]; c) W = [ ( 2, 1, (2) ]
d) W = [ ( 2, 1, 0 ) , ( (3, 0, 1 ) ]; e) 
 
10) a) W = { (x, y ) ( R2; x + y = 0 }; b ) W = { (x, y, z ) ( R3; x = z } c) W = R3 ; 
d) 
; e) W = M2(R).
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