Respostas da ED – Engenharia Ciclo Básico 4° Semestre.

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Respostas da ED – Engenharia Ciclo Básico 4° Semestre.
1) Alternativa E.
Na posição de equilíbrio a elongação da mola é igual a amplitude do movimento: Fm=k.ym; na análise das forças, o módulo da força da mola acaba sendo igual a força peso: Fm=P → k.ym=m.g → k.0,05=4.10 → k=800 (N/m). A energia mecânica do sistema é dada por EM=0,5.k.(ym)² → EM=0,5.800.0,05² → EM=1 J. Como no estado de equilíbrio tem apenas energia cinética, a energia cinética acaba sendo igual a energia mecânica do sistema.
2) Alternativa B.
No exercício anterior encontramos a constante elástica e energia mecânica do sistema, logo: EM=EC+EP → 1=0,5.m.v²+0,5.k.x² → 2=4.v²+800.0,02² → 4.v²=1,68 → v=0,648 m/s.
3) Alternativa D.
ω=2πf → ω=2.π.2,5 → ω=15,7
A amplitude é calculada através da fórmula dada, logo: ym=√(y(0)²+(v(0)/ω)²) → ym=√(0,011²+(-0,15/15,7)²) → ym=0,0146 m = 1,46 cm.
4) Alternativa A.
vm=ym.ω → vm=1,46.15,7 → vm=22,9 cm/s.
5) Alternativa D.
Primeiro analisamos as forças envolvidas no movimento: -Fm-Fv=Fr, onde, Fm = Força da mola; Fv = Força viscosa; e Fr = Força resultante.
-y.k-v.b = m.a
-y.32000 -v.640 -80.a = 0 → (divide por 80) → -y.400-v.8-a = 0
Resolvendo a equação diferencial, chega-se ao seguinte:
y=e^(-4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)]
Derivando a equação acima obtemos a equação da velocidade:
V=-4. e^(-4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] + e^(-4t) .[-19,6.A.sen(19,6t) + 19,6.B.cos(19,6t)]
Substituindo as condições iniciais, temos que: y= e^(-4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)].
Agora termina-se de resolver o exercício, para t=0,4: 
y= e^(-4.0,4).[0,492.cos(19,6.0,4) + 0,609.sen(19,6.0,4)] → y= 0,202.[0,0069+0,6089] → y= 0,124 m.
6) Alternativa E.
Para saber onde o instante em que o corpo passa pela origem deve-se igualar a equação do movimento a zero e descobrir a raiz de mais baixo valor.
0 = e^(-4t).[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]
A raiz de mais baixo valor será obtida pela parte oscilante da equação, então:
0 = 0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t) → -0,492.cos(19,6t) = + 0,609.sen(19,6t) → -0,492/0,609 = tg(19,6t) → tg(19,6t) = -0,808 → 19,6t = -0,679.
O valor encontrado é negativo, como a tangente tem uma periodicidade de π rad, então basta somar π ao valor de - 0,679:
19,6t=2,462 → t = 0,1256 s.
7) Alternativa D.
No amortecimento crítico, temos que β²=ωo², logo, temos: (b/2m)²=(k/m) → (b²/4m)=K → (b²/4.80)=32000 → b=√(4.80.32000) → b= 3200 Kg/s.
8) Alternativa B.
Utilizando a constante de amortecimento do exercício anterior, temos que β=20 (s-¹). Logo, substituindo na equação de posição com t=0, temos: x(t)=(0,1+Bt).e^(-20t). Derivando, temos a equação de velocidade, e substituindo os valores com t=0, encontramos B=4. Portanto, x(t)=(0,1+4t).e^(-20t) → 0,001=(0,1+4t).e^(-20t) → 0,001. ).e^(20t)=0,1+4t.
Tendo que é impossível isolar o tempo nessa equação, utiliza-se o método do gráfico, onde a intersecção das funções é o resultado.
9) Alternativa C.
A= 2.ym.cos[(π/4).0,5] → A= 2.1.cos[π/8] → A= 1,85 mm.
10) Alternativa D.
Para descobrir a diferença de fase pedida, basta usar a mesma equação usada no exercício anterior, porém sem substituir o valor da fase e substituir a amplitude: 2=2.1.cos[Ø.0,5] → 1=cos[0,5. Ø] → 0,5. Ø=arccos(1) → 0,5. Ø=0, logo: Ø=0.
11) Alternativa A.
Para descobrir a velocidade transversal na posição e instante pedido, basta derivar a equação do movimento no tempo, assim se obtém a equação da velocidade transversal, então depois basta substituir os valores de tempo e posição.
y = 15.sen[π.x/4].cos[30.π.t + π/3]
vt = 15.sen[π.x/4].(-30.π)sen[30.π.t + π/3]
vt = -1414.sen[π.x/4]. sen[30.π.t + π/3]
Para x=2 e t=2, temos: vt = -1414.sen[π.2/4].sen[30.π.2 + π/3] → vt = -1225 cm/s.
12) Alternativa E.
y= 15.sen[π.x/4].cos[30.π.t+π/3]
A= 15.sen[π.x/4], para x=2, temos: A= 15.sen[π.2/4] → A= 15 cm.
13) Alternativa C.
Primeiro descobrimos as densidades lineares de cada fio:
d1 = 2,6.0,01 = 0,026 g/cm → d1 = 0,0026 kg/m
d2 = 7,8.0,01 = 0,078 g/cm → d2 = 0,0078 kg/m
Agora através da equação que relaciona a frequência com comprimento de onda, tensão na corda e densidade linear, substituímos os valores que temos de cada parte da corda e igualamos as equações:
f1 = [n1/(2.L1)].[F/d1]^(1/2)
f2 = [n2/(2.L2)].[F/d2]^(1/2)
Igualam-se as duas equações e substitui as variáveis conhecidas:
[n1/(2.0,6)].[100/0,0026]^(1/2) = [n2/(2.0,866)].[100/0,0078]^(1/2)
[n1/(2.0,6)]^2.1 /2,6 = [n2/(2.0,866)]^2.1/7,8
n1 = [3,74.(n2)^2/23,4]^(1/2)
n1 = 0,4.n2
n2 = 2,5.n1
Uma vez que se descobriu a relação entre o número da corda de aço e o número da corda de alumínio, isolamos a razão n2/n1:
n2/n1= 2,5
n2/n1= 2/5 (Na forma de fração mais simplificada)
Onde n2 = 5, que corresponde ao aço e n1 = 2, que corresponde ao alumínio.
Através das propriedades no fio de aço ou no fio de alumínio, é possível determinar a frequência.
14) Alternativa E.
Visto que no exercício anterior determinou-se o número de ventres de cada parte da corda temos o número total de ventres = 7, logo o número total de nós é 8, descontando os nós das extremidades, temos: N = 6.
15) Alternativa D.
Calculando o fluxo magnético entre 0 e 2 segundos: f= 0,2.t.(π.r²) = 0,2.t.(π.3,99²) → f= 10t 
 ε= - df/dt = -10. 
Portanto o módulo da força eletromotriz é aproximadamente 10 V.
16) Alternativa B.
Calculando o fluxo magnético entre 5 e 10 segundos: f= -0,08.(π.3,99²).t → f= -4t.
ε= - df/dt → ε= 4 V.
ε = R.I → 4 = 20.I → I = 0,2 A (Sentido Horário).
17) Alternativa E.
Req=R1.R2/(R1 + R2) → Req=10.15/(10 + 15) → Req = 6 Ω.
I=(B.l/Req).v → I=(0,5.0,4/6).20 → I = 0,667 A.
18) Alternativa B.
Uma vez que já temos a corrente, calculada no exercício anterior, basta substituir na equação P=I^2.Req → P=0,667^2.6 → P=2,67 W.
19) Alternativa D.
c= ω/k → k= 10^15/3.10^8 → k= 3,33.10^6 (N/m).
v= Ev x Bv/(Bv.Bv)
-3.10^8.(i) = [(E.(k)) x (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).j]/((10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x)^2)
(3.10^8.(k)).(10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) = E.(k)
Ev = 30.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) k (V/m).
20) Alternativa A.
Primeiro calculamos o valor médio do vetor de Poynting: S=0,5.8,85.10^-12.3.10^8.900 → S = 1,19475 W/m². Agora calculamos a energia eletromagnética: Dw=S.A.Dt → Dw=1,19475.3.7200 → Dw=25807 J.
21) Alternativa A.
f(t)=B.n.A → f(t)=(0,2t²–2,4t+6,4).(0,5.0,5)
f(2) =(0,2.2²–2,4.(2)+6,4).0,25 → f(2)=0,6 Weber.
f(9)= (0,2.9²–2,4.(9)+6,4).0,25 → f(9)=0,25 Weber.
22) Alternativa E.
Através da derivada temporal da equação que descreve o fluxo, obtemos a equação da força eletromotriz: E(t)= -(0,1t - 0,6). Logo, temos que:
E(2)= -(0,1.2–0,6) → E(2)= 0,4 V.
I(2)= 0,4/40 → I(2)= 0,01 A (Anti-Horário).
E(9)= -(0,1.9–0,6) → E(9)= -0,3 V.
I(9)= -0,3/40 → I(9) = -0,0075 A (Horário).
23) Alternativa B.
Primeiro deve-se descobrir a função que descreve o fluxo em função do tempo:
f = B.A; o campo magnético não varia em função do tempo porém a área sim: A= 0,5.ω.t.r² → A= 0,5.300.t.0,25² → A = 9,375t (m²).
Portanto o fluxo é: f = 0,1.9,375t → f = 0,9375t Wb. Agora basta fazer a derivada temporal negativa do fluxo que obtém-se a força eletromotriz: ε(0→P1)= - 0,9375 V.
24) Alternativa C.
O potencial de cada ponta da barra será o mesmo, logo, a diferença de potencial entre eles será zero: Vp2 – Vp1 = 0 (V).
25) Alternativa D.
Tendo: f(t)=B.n.A → f(t)=(0,5 – 0,125t).1,7.2,1 → f(t)=(1,785–0,44625t). A derivada temporal negativa do fluxo é a força eletromotriz induzida: ε=0,44625 V. Então, I=ε/R → I=0,44625/25 → I=0,01785 A (Anti-Horário).
26) Alternativa B.
A força necessária para manter a barra em repouso é calculada pela formula: F=I.L.B → F=0,01785.1,7.0,5 → F=0,0152 (N). O sentido é contrário ao da força que movimenta a barra, logo: F=-0,0152i (N).
27) Alternativa C.
I= P/A → I= [ε.c.(Em)²]/2 → 0,25/(4.π.r²)=[8,85.10^-12.3.10^8.(0,2)²]/2 → 5,31.10^-5.4.π.r² = 0,25 → r²= 374,66 → r= 19,4 m.
28) Alternativa E.
Considerando que o sentido de propagação da onda é (j) positivo, a direção e sentidodo campo magnético, no dado instante em que o campo elétrico é (i) negativo, é (k) positivo.
29) Alternativa A.
A direção e o sentido de uma onda eletromagnética é igual a direção e sentido do produto vetorial do campo elétrico com o campo magnético: v=(i)x(k) → v=(-j).
30) Alternativa E.
v = c = (E x B)/(B.B) → 3.10^8 = E/B → E = 3.10^8.91,5.10^-6 → E = 27450 V/m.
31) Alternativa A.
A intensidade da onda é a razão entre a potência e a área: I=P/A=0,02/(π.10^-12) → I=6,366.10^9. Que pode ser calculada também em uma fórmula que contém a amplitude do campo elétrico, logo: 6,366.10^9=0,5.8,85.10^-12.3.10^8.Em² → Em²=4,796.10^12 → Em=2,19.10^6 V/m.
32) Alternativa A.
A equação do campo magnético tem a parte oscilante igual a do campo elétrico, logo só precisa calcular a amplitude do campo magnético e descobrir a direção e sentido, sendo que, encontramos o E no exercício anterior:
B = E/c → B = 2,19.10^6/(3.10^8) → B = 7,3.10^-3 T.
A direção e sentido da velocidade de propagação da onda é igual ao do produto vetorial do campo elétrico pelo campo magnético.
|c| = |E|x|B| → -k= j x (ai + bj + ck) → -k = -ka +ic
Com c = 0 e a = 1, logo, a direção e o sentido do vetor campo magnético é i positivo:
B = 7,3.sen(5,9.10^6.z + 1,77.10^15.t) i (T).
33) Alternativa B.
A curva A, é característica de um amortecimento fraco, visto que oscila antes de estabilizar.
A curva C é a primeira a estabilizar, isso quer dizer que a relação entre o coeficiente de resistência viscosa e a constante elástica possui a melhor relação possível, característica do amortecimento crítico.
A curva B estabiliza o movimento antes que a curva A, porém, apenas depois que a curva C, isso ocorre devido ao alto valor do coeficiente de resistência viscosa, logo a curva B, é característica de um amortecimento supercrítico.
34) Alternativa C.
A posição inicial pode ser definida por interpretação do gráfico: y(0) = 0,2 m. No gráfico há uma reta tangente as curvas no instante zero. O coeficiente angular desta reta é igual a derivada temporal da equação de posição no instante zero, que é por definição a velocidade da partícula no instante zero: v(0) = (0,5–0,2)/0,2 → v(0) = 1,5 m/s.
35) Alternativa E.
Analisando o gráfico podemos extrair a posição inicial do termo da amplitude, ou seja, considerando apenas a curva exponencial auxiliar: ym = 0,4 m.
Agora que temos a amplitude inicial, podemos calcular a fase inicial com o auxílio da curva principal, ou seja, a curva que descreve o movimento. A posição inicial da partícula é 0,2 m, logo: θ = -π/3.
Agora através do período podemos calcular a velocidade angular. Pelo gráfico temos que o período é 1,4 s, logo: ω = 1,43.π (rad/s).
Falta descobrir o valor de γ (gama). Para isso pegamos um ponto conhecido no gráfico, vamos pegar o ponto (1;-0,2).
-0,2 = 0,4.e^(-γ).cos(1,43.π - π/3) → -0,5 = -e^(-γ).0,954 → γ = 0,61.
Agora montamos a equação:
y = 0,4.e^(-0,61t).cos(1,43.π.t - π/3) (SI).
36) Alternativa B.
Primeiro, devemos calcular a velocidade angular inicial, ω0:
ω²= ω0² – γ² → ω0 = 4,533 rad/s.
Agora calculamos a K da mola:
4,533² = K/m → 4,533².0,8 = K → K = 16,44 N/m.
Agora calculamos o coeficiente de viscosidade:
0,61 = c/(2.0,8) → c = 0,976 N/m/s.
Agora calculamos o grau de amortecimento:
β = γ / ω0 = 0,61/4,533 → β = 0,135.
37) Alternativa C.
Primeiramente, calcula-se o valor de γ, tendo: γ=(k/m)^(1/2) → γ=(16,43/0,8)^(1/2) → γ=4,53. Em seguida, encontra-se o valor da constante de viscosidade pela fórmula: γ=c/2m. Logo, 4,53=c/(2.0,8) → c=7,25 N/(m/s).
38) Alternativa A.
Tendo o valor de gama, encontrado no exercício anterior, agora, basta descobrir as constantes através de pontos do gráfico: 0,2 = A1. Com a velocidade inicial descobrimos a outra constante A2: 1,5=[-4,53.0,2+A2] → 2,41=A2. Portanto, a equação fica da seguinte forma: y=[(0,2+2,41.t).e^(-4,53t)] (SI).
39) Alternativa A.
Com o valor do grau de amortecimento calculamos o coeficiente de resistência viscosa:
1,2836 = γ/ω0, sendo γ = c/2m e ω0 =√(K/m).
Logo:
1,2836 = (c/2m).[√(m/K)] → 1,6476 = [(c²)/2,56].[0,8/16,43] → 86,624 = c² → c = 9,307 N/(m/s).
40) Alternativa B.
ω0 = √(16,43/0,8) → ω0 = 4,532 rad/s.
γ = 9,307/1,6 → γ = 5,817.
Agora com as condições iniciais y(0) = 0,2 m, e v(0) = 1,5 m/s, calculamos as constantes A1 e A2.
0,2 = A1 + A2
A2 = 0,2 – A1
e,
1,5 = A1.[-5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + A2.[-5,817 - (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)]
1,5 = A1.[-5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + .( 0,2 – A1)[-5,817 - (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)]
1,5 = A1.(-2,1703) + (0,2 – A1).(- 9,4637)
3,393 = 7,2934.A1
A1 = 0,465
A2 = 0,2 – 0,465 → A2 = - 0,265
Agora basta montar a equação e simplificar:
y = 0,465.e^(-5,817+3,6467)t – 0,265.e^(-5,817-3,6467)t
y = 0,465.e^(-2,17)t – 0,265. e^(-9,46)t (SI).