Respostas da ED – Engenharia Ciclo Básico 2° Semestre.

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Respostas da ED – Engenharia Ciclo Básico 2° Semestre.
01- 100 Kg - Agricultura Atual → 20-10-10.
300 Kg- Terra Nossa → 3.(10-10-20) = 30-30-60.
400 Kg - (Mistura dos 100 Kg + 300 Kg) → 50-40-70.
Dividindo a proporção das substâncias pela quantidade total da mistura e multiplicando por 100, obtém-se a porcentagem presente no rótulo do fertilizante resultante:
50/400.100=12,5%
40/400.100=10%
70/400.100=17,5% 
RESP.: B
02- (35,0);(5,60)
T=aL+b
35=a*0+b → b=35
5=a*60+35 → 60a=-35+5 → a=-30/60 → a=-0,5
T=-0,5L+35.
 RESP.: A
03- Para descobrir quanto tempo o objeto leva para atingir o solo é preciso igualar a altura a zero, tendo: h=0 → -4,9t²+49=0 → -4,9t²=-49 → t²=-49/-4,9 → t²=10 → t=√10 → t=3,16 → t≈3,2s.
RESP.:D
04- Para determinar o horário mínimo deve-se derivar a primeira função: IB(t)=t²-24t+143 → IB’(t)=2t-24 e em seguida igualar a zero: IB’(t)=0 → 2t-24=0 → 2t=24 → t=12h.
Posteriormente, substitui t=12 na primeira função dada, obtendo o Ibovespa nesse horário: IB(12)= 12²-24.12+143 → IB(12)=-1.
RESP.:E
05- A=(-2,3) ; B(1,-4)
AB=(1-(-2),-4-3) → AB= (1+2, -4-3) → AB= (3,-7) 
RESP.:E
06- u.v=||u||.||v||.cosⱷ → u.v=6*9*cos150° → u.v=54*(-√3/2) → u.v=-27√3.
O cosseno de 150° é o mesmo cosseno de 30° com sentido oposto, por estar no segundo quadrante. Cos30°=√3/2;
cos150°=-√3/2. 
RESP.:B
07- As afirmativas estão incorretas pois: I. A soma dos vetores é possível: u+v=i+5j-k.
II. Mesmo a componente k do vetor v ser nula é possível fazer o produto escalar: u.v=2.(-1)+3.2+(-1).0=-2+6-0=4.
III. Por definição das propriedades do produto escalar u.v=v.u.
RESP.: B
08- u.v=(5,2,-1).(-4,2,1) → u.v=5.(-4)+2.2+(-1).1 → u.v=(-20+4-1) → u.v=-17.
RESP.:C
09- Substituindo t na equação, temos: V(3)=15(3)²-750(3)+9000 → V(3)=135-2250+9000 → V(3)=6885 litros.
RESP.: A
10- A taxa de variação do volume de água no reservatório após 3 horas do escoamento é dada por: V(t)=15t²-750t+9000 → V’(t)=30t-750. Substituindo, temos: V’(3)=30*3-750 → V’(3)= 90-750 = -660 litros/hora.
RESP.:E
11- Para determiner o instante no qual a velocidade do ponto material é máxima temos que: V(t)=-4,5t²+18t → V’(t)=-9t+18. Igualando a zero (v’(t)=0) → 9t+18=0 → 9t=18 → t=2s. Com o instante máximo encontrado, substitui na primeira equação, obtendo: V(2)=-4,5(2)²+18*2 → V(2)=-18+36 → V(2)=18 m/s.
RESP.:D
12- As afirmações estão corretas pois: I. ||u||=√((-3)²+4²+0²) → ||u||=√25 → ||u||=5;
II. Versor => u/||u||=(-3/5,4/5,0) → u/||u||=(-0,6;0,8;0);
III. u=15(-0,6;0,8;0) → u=(-9,12,0);
-u=15(-0,6;0,8;0) → -u=(9,-12,0).
RESP.: A
13- w=αu+βv → (-17,12) = α(-2,0)+β(3,-4) → (-17,12) = (-2α,0) + (3β,-4β) → (-17,12)=(-2α+3β,-4β). Colocando no sistema, temos que: -2α+3β=-17 e -4β=12. Logo, -4β=12 → β=12/-4 → β=-3 e -2α+3β=-17 → -2α-9=-17 → -2α=-17+9 → -2α=-8 → α=-8/-2 → α=4.
RESP.:A
14- Usando a notação de Grassman: (O-A)+(E-D)+(Q-F)+(H-I)+(L-P) = (O-A)+(D-O)+(P-D) = (P-A)
RESP.: A
15- AQ=CG+AC+(2/3)*GH
AQ=AE+AC+(2/3)*AB 
RESP.:E
16- As afirmações I e II estão corretas pois: I. 2u-4v= 2.(1,-2) -4.(-4,0) = (2+16, -4) → (18, -4).
II. (1, -2) + (-4, 0) = (-3, -2) → √((-3)²+(-2)²) → √(9+4) → √13.
A afirmação III está incorreta pois: III. 1/(-4)≠(-2)/0. 
RESP.:D
17- (x+12)/6=3/9 → 9(x+12)=3*6 → 9x+108=18 → 9x=-90 → x=-10. 
RESP.:B
18- S=(3,-6); 
|S|=√(3²+(-6)²) → |S|=√45 → |S|=√(5.3²)→ |S|=3√5. 
RESP.:D
19- A=(-1, 3) ; B=(0, -4)
AB=(0-(-1), -4-3) → AB=(1, -7); 
U=(-4, 28);
1/(-4)=(-7)/28) → (-7).(-4)=28.1 → 28=28.
RESP.: B
20- A=(-1, 0); B=(-2, 1); AB=(-2-(-1), 1-0) → AB=(-1, 1)
||AB||=√(1²+(-1)²) → ||AB||=√2 → AB/||AB||=((-1/√2),(1/√2)), racionalizando: AB/||AB||=((-√2/2),(√2/2)).
RESP.: B
21- Substituindo t por 2 na equação, temos: V(2) = 6*(2)³+1,5*2 → V(2)= 48+3 → V(2)=51 litros.
RESP.:C
22- A taxa de variação do volume de água no tanque no instante t=2 minutos é dada por: V(t)= 6t³+1,5t → V’(t)=18t²+1,5. Substituindo: V’(2)=18*2²+1,5 → V’(2)= 73,5 L/min.
RESP.: B
23- Utilizando a regra do produto, temos que: y’=(x+16)’.senx+(x+16).(senx)’ → y’=1.senx+(x+16).cosx → y’=senx+(x+16)cosx.
RESP.:B
24- Para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x³-8 basta derivar a função e substituir x por -2, cujo resultado é o coeficiente angular, ou seja, a inclinação da reta no ponto de abcissa igual a -2: f’(x)=3x² → f’(-2)=3(-2)² → f’(-2)=3.4 → f’(-2)=12.
RESP.:A
25- Utilizando a regra da cadeia para derivar sen(2x), temos: (sen(2x))’ = 2cos(2x). Para obter a derivada de f(x)=e^x.sen(2x), utiliza-se a regra do produto, logo: f’(x) = (e^x)’sen(2x)+e^x(sen(2x))’ → f’(x)=e^x(sen(2x)+2cos(2x)). Substituindo x por 0, temos que f’(0) = 1 (0+2) → f’(0) = 2.
RESP.:A
26- Apenas a afirmativa II é verdadeira, pois: I. Por definição, o produto escalar entre os vetores é sempre um número real, portanto: u=(2,-4); v=(0,-3); u.v=2.0+(-3).(-4) → u.v=12;
II. Conforme visto na afirmativa anterior: u=(2,-4); v=(0,-3); u.v=2.0+(-3).(-4) → u.v=12;
III. u=2i+4j; v=3j; então: u=(2,4); v=(0,3); u.v=2.0+4.3 → u.v=12.
RESP.:E
27- u=(2,-4);v=(1,-2); 
2u=2.(2,-4); 5v=5.(1,-2);
2u.5v=4.5+((-8).(-10)) → 2u.5v=20+80 → 2u.5v=100
RESP.:C
28- u^v = |i j k|
	 |2 -4 2|
	 |1 -4 0|
Pelas determinantes, temos: |-4 2| |2 2| |2 -4|
 |-4 0| = 8 = 8i |1 0| = -2 = 2j |1 -4| = -4 = -4k
Portanto, (8,2,-4) = 8i+2j-4k.
Área do paralelogramo=||u^v||=√(8²+2²+(-4)²) → ||u^v||=√(84) → ||u^v||=2√21. 
RESP.: A
29- Área do paralelogramo = |u^v|=|u|.|v|.senⱷ; 
Área do triângulo=|u^v|/2 → A=(2.3.sen30)/2 → A=(6.0,5)/2 → A=1,5 unidades.
RESP.: E
30- O vetor w somente será ortogonal a u e v, se e somente se obedecer a condição: w//u^v; por determinante encontra-se o resultado de u^v=i-2j+5k=(1,-2,5).
O vetor w que está na alternativa a é ortogonal a u e v, mas seu módulo é igual a √30; na alternativa b o vetor w é ortogonal a u e v pois são paralelos e calculando o módulo de w encontramos 2√30.
RESP.:B
31) u.v=(1,-2,-1).(2,1,0) → u.v=1.2+(-2.1)+(-1.0) → u.v=2-2+0 → u.v=0.
RESP.:A
32) (u+v).(u+2v) → |u|²+2uv+vu+2|v|² → 3²+0+2.4² → 9+32=41.
RESP.:C
33) u.v=0 → (1,x,8).(2,1,-4)=0 → 2+x-32=0 → x=32-2 → x=30.
RESP.:B
34) u^v = |i j k|
	 |0 -3 -1|
	 |2 4 0|
Pelas determinantes, temos: |-3 -1| |0 -1| |0 -3|
 |4 0| = 4 = 4i |2 0| = 2 = -2j |2 4| = 6 = 6k
Portanto, (4,-2,6) = 4i-2j+6k.
RESP.:A
35) Pela regra da cadeia, temos que: I. f(x)=e^cosx → f’(x)= e^cosx.(-senx) = -senx.e^cosx.
II. f(x)=ln(x²+4) → f’(x)=1/x²+4.2x = 2x/x²+4.
III. f(x)=√3x+6 → f’(x)=1/2(√3x+6).3 = 3/2(√3x+6).
Portanto, todas as afirmativas estão corretas.
RESP.:D
36) A afirmativa I é incorreta pois a derivada da função f(x)=sen(2x+4), utilizando a regra da cadeia é f’(x)=2cos(2x+4).
As afirmativas II e III estão corretas, seguindo o raciocínio pela regra da cadeia, temos: f(x)=cos(3x+6) → f’(x)=-sen(3x+6)(3x+6)’ → f’(x)=-3sen(3x+6) e f(x)=(x²+4x)³ → f’(x)=3(x²+4x)².(x²+4x)’ → f’(x)=3(x²+4x)²(2x+4) → f’(x)= (x²+4x)²(6x+12).
RESP.:C
37) Para verificação das afirmativas, basta derivar a função F(x) considerada primitiva em cada afirmação.
I. f(x) = x³+4 → f’(x)=3x²
II. f(x)= x^4 +2 → f’(x)=4x³
III. f(x)=x^5 -2 → f’(x)=5x^4
Todas as afirmativas estão corretas.
RESP.:D
38) ∫14t-6t²dt = 7t²-2t³+C
A primitiva da função v(t) =14t-6t² é a função S(t)= 7t²-2t³+C. Substituindo o tempo por t=1s e igualando o espaço a S=16, encontramos a constante: 16=7.1-2.1+C → 16=7-2+C → 16=5+C → C=16-5 → C=11. Portanto a equação do espaço em função do tempo é: S(t)=7t²-2t³+11.
RESP.:B
39) ∫(2x+cosx)dx=x²+senx+C
RESP.:A
40) As afirmativas I e II estão corretas, ou seja, ∫(senx+4)dx = -cosx+4x+c e ∫(1/x-12)dx= ln|x|-12x+c. A afirmativa III é incorreta pois: ∫(x.e^x)dx= xe^x – e^x+c.
RESP.:C