Tabela de regras e fórmulas

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Tabela de regras, fórmulas e identidades 
Conjuntos numéricos 
 ℕ = conjunto dos números naturais, a saber: ℕ = ሼ0,1,2,3,4, … ሽ 
 ℤ = conjunto dos números inteiros, a saber: ℤ = ሼ… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4, … ሽ 
 ℚ = conjunto dos números racionais, a saber: ℚ = ቄ௔
௕
: ܽ, ܾ߳ℤ, ܿ݋݉ ܾ ≠ 0ቅ. 
 ℝ\ℚ = conjunto dos números irracionais, ou seja, aqueles que não são racionais. 
 ℝ = conjunto dos números reais, a saber: ℝ = (ℝ\ℚ) ∪ ℚ. Note que: (ℝ\ℚ) ∩ ℚ = ∅. 
 ℂ = conjunto dos números complexos, a saber: ℂ = ൛ܽ + ܾ݅: ܽ, ܾ߳ℝ ݁ ݅ = √−1ൟ 
Propriedade: “Todo número racional, é escrito, na forma decimal, como uma decimal finita ou uma dízima 
periódica. Reciprocamente, todo número que, na forma decimal, é uma dízima periódica, ou tem uma 
quantidade finita de algarismos, é um número racional.” Portanto, os números irracionais são os números que 
não podem ser escritos na forma ௔
௕
 ݋݊݀݁ ܽ, ܾ ߳ ℤ, ܿ݋݉ ܾ ≠ 0, ou são escritos, na forma decimal, com infinitos 
algarismos, porém não são uma dízima periódica. 
Frações 
I. ௔
௕
= ௫
௬
⟺ ܽݕ = ܾݔ Igualdade 
II. ௔
௕
+ ௫
௬
= ௔௬ା௕௫
௕௬
 Adição 
III. ௔
௕
− ௫
௬
= ௔௬ି௕௫
௕௬
 Subtração 
IV. ௔
௕
× ௫
௬
= ௔௫
௕௬
 Multiplicação 
V. ௔
௕
÷ ௫
௬
= ௔
௕
∙ ௬
௫
= ௔௬
௕௫
 Divisão 
VI. ቀ௔
௕
ቁ
ିଵ
= ௕
௔
 Fração inversa 
VII. ቀ௔
௕
ቁ
ି௡
= ቀ௕
௔
ቁ
௡
= ௕
೙
௔೙
 Potência 
Potenciação 
I. ܽ଴ = 1 ; ܽଵ = ܽ 
II. ܽି௡ = ଵ
௔೙
 
III. ܽ௡ ∙ ܽ௠ = ܽ௡ା௠ 
IV. ௔
೙
௔೘
= ܽ௡ି௠ 
V. (ܽ௡)௠ = ܽ௡௠ 
VI. ቀ௔
௕
ቁ
௡
= ௔
೙
௕೙
 
VII. (ܽ ∙ ܾ)௡ = ܽ௡ ∙ ܾ௡ 
VIII. ቀ௔
௕
ቁ
ି௡
= ቀ௕
௔
ቁ
௡
 
Radiciação 
Definição:  Para n inteiro positivo ímpar .abba nn  
  Para n inteiro positivo par .0,0,  baabba nn 
Propriedades: Sejam 0, ba . 
I. nnn baba  
II. n
n
n
b
a
b
a  
III.   n mmn aa  
IV. mnn m aa  
 
V. 
pn pmn m aa   
VI. √ݔ௡೙ = ൜
ݔ , se ݊ for ímpar
|ݔ| , se ݊ for par 
  
 
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Valor Absoluto 
Definição: Seja ܽ ߳ ℝ. Então |ܽ| = ቄ ܽ , se ܽ ≥ 0−ܽ , se ܽ < 0
  
Propriedades: Sejam ܽ, ܾ e ݎ, números reais quaisquer, com ݎ ≥ 0 e ܾ ≠ 0. 
(I) |ܽ| ≥ 0 
(II) ห– ܽห = |ܽ| 
(III) |ܽ௡| = |ܽ|௡, se ݊ é par 
(IV) |ܾܽ| = |ܽ| ∙ |ܾ| 
(V) ቚ௔
௕
ቚ = |௔||௕| 
(VI) |ܽ + ܾ| ≤ |ܽ| + |ܾ| 
(VII) |ܽ| = ݎ ↔ ܽ = ±ݎ 
Produtos Notáveis – Principais Casos 
I. (ܽ + ܾ)(ܽ − ܾ) = ܽଶ − ܾଶ Produto da soma pela diferença 
II. (ܽ + ܾ)ଶ = ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ Quadrado da soma 
III. (ܽ − ܾ)ଶ = ܽଶ − 2ܾܽ + ܾଶ Quadrado da diferença 
IV. (ܽ + ܾ)ଷ = ܽଷ + 3ܽଶܾ + 3ܾܽଶ + ܾଷ Cubo da soma 
V. (ܽ − ܾ)ଷ = ܽଷ − 3ܽଶܾ + 3ܾܽଶ − ܾଷ Cubo da diferença 
Fatoração – Principais Casos 
I. ݔଶ − ݕଶ = (ݔ + ݕ)(ݔ − ݕ) Diferença de quadrados 
II. ݔଶ + 2ݔݕ + ݕଶ = (ݔ + ݕ)ଶ Trinômio quadrado perfeito 
III. ݔଶ − 2ݔݕ + ݕଶ = (ݔ − ݕ)ଶ Trinômio quadrado perfeito 
IV. ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = ܽ(ݔ − ݔଵ)(ݔ − ݔଶ) Trinômio quadrado, onde ݔଵ e ݔଶ são as raízes da equação de 2º grau. 
V. ݔଷ − ݕଷ = (ݔ − ݕ)(ݔଶ + ݔݕ + ݕଶ) Diferença de cubos 
VI. ݔଷ + ݕଷ = (ݔ + ݕ)(ݔଶ − ݔݕ + ݕଶ) Soma de cubos 
Equação do 2º grau 
Equação do 2o grau: é uma equação que pode ser escrita na forma: ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = 0 onde ܽ ≠ 0. 
Raízes (Fórmula de Báskara): ݔ = ି௕ ± √∆
ଶ௔
 (onde ∆ = ܾଶ − 4ܽܿ é chamado discriminante). 
OBS: Se ∆ > 0 então a equação tem 2 raízes reais de distintas 
 Se ∆ = 0 então a equação tem somente 1 raiz (de multiplicidade 2) 
 Se ∆ < 0 então a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas e conjugadas). 
Relações de Girard: Sejam ݔଵ e ݔଶ as raízes de ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = 0 (com ܽ ≠ 0). Então: ൝
ݔଵ + ݔଶ =
ିୠ
௔
 (ܱܵܯܣ)
ݔଵ ∙ ݔଶ =
ୡ
௔
 (ܴܱܲܦܷܱܶ)
  
Logaritmos 
Definição: Sejam ܽ, ܾ ∈ ℝା∗ com ܾ ≠ 1. Então: ݔ = ݈݋݃௕ܽ ⟺ ܾ௫ = ܽ 
Propriedades: Sejam ܾ, ܿ, ݔ, ݕ ∈ ℝା∗ com ܾ, ܿ ≠ 1 e ݊ um número real qualquer. Então: 
I. ݈݋݃௕1 = 0 
II. ݈݋݃௕ܾ = 1 
III. ݈݋݃௕(ܾ௡) = ݊ 
IV. ݈݋݃௕(ݔ ∙ ݕ) = ݈݋݃௕ݔ + ݈݋݃௕ݕ 
V. ݈݋݃௕ ቀ
௫
௬
ቁ = ݈݋݃௕ݔ − ݈݋݃௕ݕ 
VI. ݈݋݃௕(ݔ௡) = ݈݊݋ ௕ݔ 
VII. ܾ௟௢௚್௫ = ݔ 
VIII. ݈݋݃௕ݔ =
௟௢௚೎௫
௟௢௚೎௕
 Mudança de Base 
IX. ݈݋݃௕ݔ = ݈݋݃௕ݕ ↔ ݔ = ݕ 
 
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Definições (no triângulo retângulo): 
I. ݏ݁݊ ݔ = ௖௔௧ ௢௣
௛௜௣௢௧௘௡௨௦௔
 
II. cos ݔ = ௖௔௧ ௔ௗ௝
௛௜௣௢௧௘௡௨௦
 
III. tan ݔ = ௖௔௧ ௢௣
௖௔௧ ௔ௗ௝
= ௦௘௡ ௫
ୡ୭ୱ ௫
 
Principais identidades 
VII. 2 2sen cos 1x x  
VIII. 2 21 tg secx x  
IX. 2 21 cotg cosecx x  
Lei dos senos: ௔
௦௘௡ ஺෠
= ௕
௦௘௡ ஻෠
= ௖
௦௘௡ ஼መ
 
Lei dos cossenos: ൞
aଶ = bଶ + cଶ –
bଶ = aଶ + cଶ –
cଶ = aଶ + bଶ –
Mais identidades 
XIV. 
2 1 cos 2sen
2
xx  
XV. 
2 1 cos 2cos
2
xx  
XVI. sen 2 2 sen cosx x x 
XVII. cos 2ݔ = ܿ݋ݏଶݔ − ݏ݁݊ଶݔ 
Áreas e Volumes de objetos no espaço
 
 PRISMA 
Área Total ܣ௧ = 2ܣ
Volume ܸ = ܣ௕ ∙
Onde: ܣ௕ = área da base, ܣ௟ = área lateral , 
 
 
Trigonometria 
IV. sec ݔ = ଵ
ୡ୭ୱ ௫
 
V. csc ݔ = ଵ
௦௘௡ ௫
 
VI. ܿ݋ݐܽ݊ ݔ = ୡ୭ୱ ௫
௦௘௡ ௫
= ଵ
୲ୟ୬ ௫
 
X. ݏ݁݊(ݔ + ݕ) = ݏ݁݊ ݔ cos ݕ
XI. ݏ݁݊(ݔ − ݕ) = ݏ݁݊ ݔ cos ݕ
XII. cos(ݔ + ݕ) = cos ݔ cos ݕ
XIII. cos(ݔ − ݕ) = cos ݔ cos ݕ
መ 
– 2 ∙ b ∙ c ∙ cos A
– 2 ∙ a ∙ c ∙ cos B
– 2 ∙ a ∙ b ∙ cos C
  
XVIII. 2 sen cos senx y x y sen x y   
XIX. 2 sen sen cos cosx y x y x y   
XX. 2 cos cos cos cosx y x y x y   
XXI. 1 sen 1 cosx x   
Áreas e Volumes de objetos no espaço 
 
 CILINDRO PIRÂMIDE 
ܣ௕ + ܣ௟ ܣ௧ =
∙ ݄ ܸ =
= área lateral , ݄ = altura 
Cateto 
oposto 
A 
C 
b 
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ݕ + ݏ݁݊ ݕ cos ݔ 
ݕ − ݏ݁݊ ݕ cos ݔ 
− ݏ݁݊ ݔ ݏ݁݊ ݕ 
+ ݏ݁ ݔ ݏ݁݊ ݕ 
   2 sen cos senx y x y sen x y    
   2 sen sen cos cosx y x y x y    
   2 cos cos cos cosx y x y x y    
1 sen 1 cos
2
x x      
 
 CONE 
= ܣ௕ + ܣ௟ 
ଵ
ଷ
(ܣ௕ ∙ ݄) 
hipotenusa 
Cateto 
adjacente 
x 
B 
a 
c 
 
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 Área Lateral 
 Volume 
Onde: Sଵ é a área da base maior , Sଶ é a área da base menor 
 
 ESFERA 
 Área ܣ = 4ߨݎଶ 
 Volume ܸ = ସ
ଷ
ߨݎଷ
 
PARALELOGRAMO 
 
Área = 
RETÂNGULO 
 
Área = 
Área = 
QUADRADO 
 
 ܽ 
 
 ܽ 
Área = 
TRAPÉZIO 
 
ÁREA 
LOSANGO 
 
Área = 
 
ܾ 
݄ 
 
 
 TRONCO DE PIRÂMIDE 
 cada face lateral é um trapézio 
 ܸ = ௛
ଷ
൫ܵଵ + ܵଶ + ඥܵଵ ∙ ܵଶ൯ ܸ
é a área da base menor 
 
 FUSO ESFÉRICO 
 regra de 3 
ଷ regra de 3 
Áreas de figuras planas 
Área = ܾܽݏ݁ × ݈ܽݐݑ 
 TRIÂNGULO 
Área = ܾܽݏ݁ × ݈ܽݐݑݎܽ 
ou 
Área = ܾ ∙ ݄ 
 TRIÂNGULO 
 
Área=
 onde 
Área = ܽଶ 
 TRIÂNGULO 
 
REA = (஻ା௕)௛
ଶ
 
 CIRCUNFERÊNCIA 
 
Área = ஽∙ௗ
ଶ
 
 Setor Circular 
 
Área: 
 
Comprimento do arco: 
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 . 
 TRONCO DE CONE 
 ܣ௟ = ߨ݃(ܴ + ݎ) 
ܸ = ௛గ
ଷ
(ܴଶ + ݎଶ + ܴ ∙ ݎ) 
 
 CUNHA ESFÉRICA 
 regra de 3 
 regra de 3 
Área = ௕௔௦௘ ×௔௟௧௨௥௔
ଶ
 
Área=ඥ݌(݌ − ܽ)(݌ − ܾ)(݌ − ܿ) 
 
nde ݌ = ௔ା௕ା௖
ଶ
 
Área = ଵ
ଶ
∙ ܽ ∙ ܾ ∙ ݏ݁݊ ܥመ 
Área = ߨݎଶ 
 
Perímetro: ܥ = 2ߨݎ 
Área: ܵ = ఈோ
మ
ଶ
 ou ܵ = ௅ோ
ଶ
 
Comprimento do arco: ܮ = ߙܴ 
 
 
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Regras de derivação 
I. (݂ ± ݃)´ = ݂´ ± ݃´ : Regra da Soma 
II. (݂݇)´ = ݂݇´ , ݇ constante : Regra da Multiplicação por constante 
III. (݂ ∙ ݃)´ = ݂´ ∙ ݃ + ݂ ∙ ݃´ : Regra do Produto 
IV. ቀ௙
௚
ቁ ´ = ௙´∙௚ି௙∙௚´
௚మ
 : Regra do Quociente: 
V. ቀ݂൫݃(ݔ)൯ቁ ´ = ݂´(݃(ݔ)∙ ݃´(ݔ) : Regra da Cadeia: 
Derivadas das principais funções elementares 
VI. ݂(ݔ) = ܽݔ + ܾ ⇒ ݂´(ݔ) = ܽ 
VII. ݂(ݔ) = ݔ௡ ⇒ ݂´(ݔ) = ݊ݔ௡ିଵ 
VIII. ݂(ݔ) = ln ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = ଵ
௫
 
IX. ݂(ݔ) = ݁௫ ⇒ ݂´(ݔ) = ݁௫ 
X. ݂(ݔ) = sin ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = cos ݔ 
XI. ݂(ݔ) = cos ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = − sin ݔ 
XII. ݂(ݔ) = arctan ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = ଵ
ଵା௫మ
 
XIII. ݂(ݔ) = arcsin ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = ଵ
√ଵି௫మ
 
As próximas são facilmente encontradas usando as 
anteriores e as regras de derivação 
 
XIV. ݂(ݔ) = ݈݋݃௔ݔ ⇒ ݂´(ݔ) =
ଵ
௫ ௟௡ ௔
 
XV. ݂(ݔ) = ܽ௫ ⇒ ݂´(ݔ) = ܽ௫ ln ܽ 
XVI. ݂(ݔ) = tan ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = ݏ݁ܿଶݔ 
XVII. ݂(ݔ) = ܿ݋ݐܽ݊ ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = −ܿݏܿଶݔ 
XVIII. ݂(ݔ) = sec ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = sec ݔ ∙ tan ݔ 
XIX. ݂(ݔ) = csc ݔ ⇒ ݂´(ݔ) = − csc ݔ ∙ ܿ݋ݐܽ݊ ݔ 
Principais regras e técnicas de integração 
I. ׬൫݂ܽ(ݔ) ± ܾ݃(ݔ)൯݀ݔ = ܽ ׬ ݂(ݔ)݀ݔ ± ܾ ׬ ݃(ݔ)݀ݔ Linearidade 
II. ׬ ݑ ݀ݒ = ݑݒ − ׬ ݒ ݀ݑ Integração por Partes 
III. ׬ ݂൫݃(ݔ)൯ ݃´(ݔ) ݀ݔ = ׬ ݂(ݑ) ݀ݑ, ݋݊݀݁ ݑ = ݃(ݔ) Mudança de Variáveis 
Tabela de Integração das principais funções elementares 
IV. ׬ ܽ ݀ݑ = ܽݑ + ܿ 
V. ׬ ݑ௡ ݀ݑ = ௨
೙శభ
௡ାଵ
+ ܿ, ݊ ≠ 1 
VI. ׬ ௗ௨௨ = ln|ݑ| + ܿ 
VII. ׬ ݁௨݀ݑ = ݁௨ + ܿ 
VIII. ׬ sen u du = − cos u + c 
IX. ׬ cos u du = sen u + c 
X. ׬ ୢ୳
√ଵି୳మ
= arc sen u + c 
XI. ׬ ୢ୳୳మାଵ = arctan u + c 
XII. ׬ sec u tan u du = sec u + c 
XIII. ׬ cosec u cotan u du = −cosec u + c 
XIV. ׬ sec ଶu du = tan u + c 
XV. ׬ cosecଶu du = −cotan u + c 
XVI. ׬ a୳ du = ୟ
౫
୪୬ ୟ
+ c, a > 0, ܽ ≠ 1 
As próximas são facilmente encontradas usando as 
anteriores e as técnicas de integração 
 
XVII. ׬ ୢ୳୳మାୟమ =
ଵ
ୟ
arctan ୳
ୟ
+ c 
XVIII. ׬ ୢ୳
√ୟమି୳మ
= arc sen ୳
ୟ
+ c, uଶ < aଶ 
XIX. ׬ tan u du = ln|sec u| + c 
XX. ׬ cotan u du = ln|sen u| + c 
XXI. ׬ sec u du = ln|sec u + tan u| + c 
XXII. ׬ cosec u du = ln|cosec u − cotan u| + c 
XXIII. ׬ ୢ୳୳మାୟమ =
ଵ
ୟ
arctan ୳
ୟ
+ c 
 
 
 
 
 
 
 
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