Engenharia Econômica

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IVONETE MELO DE CARVALHO 
Engenharia Econômica 
 
Anotações de Aula 
Campo Grande/MS 
 
2 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Este texto tem por finalidade orientar os acadêmicos 
no processo de aprendizagem de conteúdos referen-
tes à Matemática Financeira e Análise de Investi-
mentos que compõem o tema Engenharia Econômi-
ca. Trata-se de um texto que lhe servirá de base de 
estudos para buscar informações refinadas em refe-
rências bibliográficas tradicionais e atuais. Bom es-
tudo para você. 
 
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Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Conteúdo 
CAPÍTULO 1 - NOÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA: ................................................... 6 
COMPORTAMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ...................................................................................................... 6 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS: .............................................................................................................................................. 6 
NOMENCLATURAS UTILIZADAS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA: ........................................................................................ 7 
EXERCÍCIOS: ........................................................................................................................................................................ 8 
GABARITO ......................................................................................................................................................................... 10 
CAPÍTULO 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: JUROS E MONTANTE A TAXA CONSTANTE: ...................... 11 
FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES E MONTANTE SIMPLES ..................................................................................................... 11 
PRAZO COMERCIAL OU PRAZO EXATO. .............................................................................................................................. 12 
JUROS E MONTANTE A TAXA CONSTANTE: ........................................................................................................................ 12 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 12 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 13 
PROPORCIONALIDADE DE TAXAS: ..................................................................................................................................... 14 
DESCONTO E VALOR ATUAL A TAXA CONSTANTE: ........................................................................................................... 14 
 
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DESCONTO E VALOR ATUAL A DESCONTO POR FORA, A TAXA CONSTANTE: .................................................................... 14 
DESCONTO E VALOR ATUAL A DESCONTO POR DENTRO, A TAXA CONSTANTE: ............................................................... 15 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 16 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 17 
RELAÇÃO ENTRE DESCONTO POR FORA (BANCÁRIO) E TAXA DE JUROS: ........................................................................... 17 
RELAÇÃO ENTRE DESCONTO POR DENTRO (RACIONAL) E TAXA DE JUROS: ...................................................................... 17 
RELAÇÃO ENTRE DESCONTO POR FORA (BANCÁRIO) E DESCONTO POR DENTRO (RACIONAL): ......................................... 18 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 18 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 19 
CONTAS GARANTIDAS E O MÉTODO HAMBURGUÊS ......................................................................................................... 20 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 21 
GABARITO ......................................................................................................................................................................... 22 
CAPÍTULO 3 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: JUROS COMPOSTOS A TAXA CONSTATE 
 
CRESCIMENTO EXPONENCIAL: ................................................................................................................................. 23 
JUROS COMPOSTOS A TAXA CONSTATE 
 
CRESCIMENTO EXPONENCIAL: ......................................................................... 23 
USO DO LOGARITMO PARA CALCULAR O PERÍODO NO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: .................................... 24 
USO DO LOGARITMO PARA CALCULAR A TAXA NO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: ......................................... 24 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 25 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 25 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA - DESCONTO POR DENTRO
 
............................................................................................... 26 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
DESCONTO POR FORA : .................................................................................................. 27 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 28 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 29 
TAXAS PROPORCIONAIS: ................................................................................................................................................... 29 
TAXAS EQUIVALENTES: .................................................................................................................................................... 30 
TAXA NOMINAL: ............................................................................................................................................................... 30 
TAXA EFETIVA: ................................................................................................................................................................. 30 
TAXAS UNIFICADAS: ......................................................................................................................................................... 31 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 32 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 33 
CAPÍTULO 4 - SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
RENDAS .........................................................................................34 
FLUXO DE CAIXA ............................................................................................................................................................... 34 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 35 
FORMAÇÃO DE CAPITAL E PAGAMENTO DE DÍVIDAS ....................................................................................................... 35 
RENDAS ............................................................................................................................................................................. 36 
CLASSIFICAÇÃO DE UMA RENDA ....................................................................................................................................... 36 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 37 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
RENDA IMEDIATA - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (FAC) ......................... 38 
FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL (FFC) ......................................................................................................................... 40 
RENDA ANTECIPADA ......................................................................................................................................................... 41 
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (FAC) E FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL (FFC).............................................. 41 
PROBLEMAS: ...................................................................................................................................................................... 42 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 42 
AMORTIZAÇÃO COMPOSTA ...................................................................................................................................... 43 
RENDA IMEDIATA .............................................................................................................................................................. 43 
FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL ............................................................................................................................. 45 
RENDA ANTECIPADA - FATOR DE VALOR ATUAL ............................................................................................................. 45 
FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL ............................................................................................................................. 46 
RENDA DIFERIDA .............................................................................................................................................................. 46 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 47 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 47 
FORMULÁRIO DESTE CONTEÚDO: ...................................................................................................................................... 49 
CAPÍTULO 5 - AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS: ............................................................................................. 50 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC .............................................................................................................. 52 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 52 
GABARITO ......................................................................................................................................................................... 53 
SISTEMA FRANCÊS (OU SISTEMA PRICE) ........................................................................................................................... 54 
CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR NO SISTEMA FRANCÊS ..................................................................................................... 56 
 
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EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 56 
GABARITO ......................................................................................................................................................................... 57 
CAPÍTULO 6 
 
SELEÇÃO DE ALTERNATIVAS PARA INVESTIMENTOS: ....................................................... 59 
CUSTO EFETIVO NOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ........................................................................................................... 59 
EXERCÍCIOS: ...................................................................................................................................................................... 62 
GABARITO: ........................................................................................................................................................................ 62 
MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO: ......................................................................................................................... 64 
MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO: ...................................................................................................................... 65 
MÉTODO DO CUSTO BENEFÍCIO: ....................................................................................................................................... 65 
TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE: ................................................................................................................................... 65 
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................................... 67 
 
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Capítulo 1 - Noções fundamentais da matemática financeira: 
Comportamento do dinheiro ao longo do tempo 
O comportamento do dinheiro considera duas posições na linha do tempo: pre-
sente e futuro. As situações (posições) para o valor transacional são: 
 
Tenho (no presente) e terei (no futuro): capitalização; 
 
Para ter (no futuro) devo ter (no presente): descapitalização. 
Para compreender essa movimentação do dinheiro, utilizaremos os termos a 
seguir, que são denominados elementos fundamentais da matemática financeira. 
É necessário conhecê-los e incorporar seus conceitos, uma vez que muito do 
que estudaremos ao longo deste curso basear-se-á no pleno domínio de tais noções fun-
damentais. 
Conceitos fundamentais: 
Capital (C): Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa 
(física ou jurídica) empresta para outra durante um período de tempo. 
Juros (J): Chamamos de juros ao custo financeiro do empréstimo. 
Prazo (n): é a unidade de tempo pela qual se cede o capital. 
Montante (M): é a soma do principal (capital) com os juros. 
Desconto (D): É um abatimento concedido a um valor monetário em determi-
nadas condições. 
Valor Atual (A): Diferença entre capital (ou valor nominal) e o desconto. 
Valor Nominal (N): é o valor do documento, na data de seu vencimento. É si-
nônimo de valor de face, valor de resgate e de capital. 
Taxa (i, d):Valor do juro (ou do desconto) numa unidade de tempo, expresso 
em porcentagem. 
Renda (R): É um conjunto de capitais, com vencimentos diferentes. 
 
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Capitalização: É a variação do valor do capital, conforme varia o tempo. É im-
portante observar que o processo de capitalização pode ser simples ou composto. Neste 
curso, estudaremos aos dois processos. 
Observação importante: 
 
Valores monetários (juros, desconto, capital, montante, valor atual, valor 
nominal): sempre com duas casas decimais. 
 
Taxas de juros (ou desconto): sempre com seis casas decimais (precisão). 
Nomenclaturas utilizadas em Matemática Financeira: 
i = do inglês Interest, representa os juros envolvidos em quaisquer operações 
financeiras. 
C = do inglês Capital, representa o Capital utilizado numa aplicação financeira. 
M = do inglês aMount, representa o Montante (soma do Capital com os juros). 
n = nesse caso é uma incógnita referente ao período de tempo (dias, semanas, 
meses, anos...) 
a.d. = abreviação usada para designar ao dia 
a.m. = abreviação usada para designar ao mês 
a.a. = abreviação usada para designar ao ano 
d = do inglês Discount, representa o desconto conseguido numa aplicação fi-
nanceira. 
N = do inglês Nominal, representa o valor Nominal ou de face de um documen-
to financeiro. 
A = do inglês Actual, representa o valor real ou atual de um documento finan-
ceiro em uma determinada data. 
V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou 
anuidades 
T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa 
ou anuidades 
an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de paga-
mentos. 
Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma sé-
rie de pagamentos. 
 
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Para compreender a nomenclatura, veja os exemplos: 
1) Ana faz um empréstimo junto ao banco, no valor de R$ 1.000,00, para pa-
gamento daqui a dois meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Neste caso, 
temos: capital = R$ 1.000,00; prazo: 2 meses; taxa de juros: 2% ao mês. 
2) Ana faz um empréstimo junto a uma amiga, no valor de R$ 1.000,00, para 
pagamento daqui a três meses, ficou combinado que devolveria à amiga R$ 1.100,00. 
Neste caso, temos: capital = R$ 1.000,00; prazo = 3 meses; montante = R$ 1.100,00; 
juros = R$ 100,00 (implícito no texto, já que montante = capital + juros 
 
juros = montan-
te 
 
capital). 
Exercícios: 
1. A matemática financeira basicamente estuda o comportamento do dinheiro no tempo. 
Esse valor monetário transacional chama-se: 
a. Moeda 
b. Nota 
c. Capital ou principal 
d. Risco 
e. Inflação 
2. Podemos dizer que juro é basicamente a remuneração do capital empregado. Para o 
investidor é: 
a. Uma promessa do que receberá; 
b. A remuneração do investimento; 
c. O que ele pagará; 
d. O que receberá; 
3. Considerando a afirmação anterior, para o tomador do capital é: 
a. A promessa do que irá pagar; 
b. O custo do capital obtido por empréstimo; 
c. O que ele receberá; 
d. O que será devolvido após o empréstimo. 
4. Chamaremos de montante de uma aplicação que rendeu juros ao resultado do: 
a. Capital acrescido pelos juros produzidos; 
 
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b. Capital subtraído pelos juros produzidos; 
c. Capital multiplicado pelos juros produzidos; 
d. Capital dividido pelos juros produzidos. 
5. Numa operação financeira, a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 rendeu juros de 
R$ 30,00. Os juros obtidos como porcentagem do capital serão de: 
a. 3% 
b. 10% 
c. 20% 
d. 30% 
e. 100% 
6. A aplicação de um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano rendeu juros de R$ 230,00. 
Os juros obtidos como porcentagem do capital para o período de 1 ano foi de: 
a. 10% aa 
b. 20% aa 
c. 23% aa 
d. 27% aa 
e. 30% aa 
7. 310 mês representam: 
a. 3 meses e 3 dias 
b. 3 meses e 6 dias 
c. 3 meses e 10 dias 
d. 3,3 meses 
e. 3 meses e quinze dias 
8. Uma aplicação teve inicio no dia 15/10/1997 e término em 24/02/1998. Considerando 
o mês comercial, o período de duração da operação, em dias corridos, foi de: 
a. 135 
b. 133 
c. 131 
d. 129 
e. 127 
9. Uma aplicação teve inicio no dia 15/10/1997 e término em 24/02/1998. Considerando 
o mês civil, o período de duração da operação, em dias corridos, foi de: 
a. 129 
 
10 
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b. 130 
c. 131 
d. 132 
e. 133 
10. Uma empresa precisa tomar um empréstimo de um ano a uma taxa de juro capitaliza-
da anualmente. Neste caso: 
a. Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização simples 
b. Para taxas iguais é melhor o sistema de capitalização composta 
c. Para taxas iguais tanto faz qual seja o sistema de capitalização 
d. Dependendo do valor é melhor o sistema de capitalização simples 
Gabarito 
1. C 3. B 5. A 7. C 9. D 
2. B 4. A 6. C 8. D 10. C 
 
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Capítulo 2 - Capitalização simples: Juros e montante a taxa 
constante: 
No processo de capitalização simples, a taxa de juros incide sobre 
o capital, o valor dos juros dependente do prazo pelo qual se cede o capital. 
Exemplo: 
Beatriz faz um empréstimo junto ao banco, no valor de R$ 1.000,00, para pa-
gamento daqui a dois meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês, no sistema de 
capitalização simples. Neste caso, Beatriz pagará ao banco 2% ao mês, que significa pa-
gar R$ 20,00 de juros por mês (2% de R$ 1.000,00 são R$ 20,00), logo, em dois meses, 
Beatriz deverá pagar ao banco R$ 40,00, ou seja, R$ 20,00 de juros ao mês, por dois me-
ses. 
Por definição, o valor dos juros simples é dado pelo produto do capital multipli-
cado pela taxa e pelo prazo, ou seja, J = C*i*n. 
Fórmulas de Juros Simples e Montante Simples 
Da fórmula dos juros simples J = C*i*n, obteremos a fórmula do montante sim-
ples: 
JCM
 
(fórmula do montante a juro simples, pela definição) 
Portanto: 
)n*i1(*CM
)n*i1(*Cn*i*CCM
JCM
 
(fórmula do montante a juro simples) 
1
C
Mi
 
(fórmula da taxa de juros no período de tempo) 
Há situações onde a periodicidade do prazo de uma operação financeira difere 
da periodicidade da taxa, por exemplo: o prazo da operação é dado em meses, enquanto 
a taxa é indicada ao ano. Quando isto ocorrer, será necessário transformar uma das 
grandezas envolvidas no processo para que todas fiquem na mesma periodicidade. 
Exemplo: taxa ao mês prazo em anos. Nesse caso, multiplique o número de 
anos por 12 para transformar a grandeza em meses. 
 
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Prazo comercial ou prazo exato. 
No prazo comercial, todos os meses são considerados com 30 dias (= mês 
comercial) e o ano com 360 dias (= ano comercial). Aqui, os juros são chamados de juros 
comerciais ou de juros ordinários. 
Quando consideramos EXATAMENTE os dias transcorridos entre duas datas 
apresentadas, dizemos que apuramos um prazo exato. Note que nesta situação, cada 
mês poderá ter 30, 31 ou 28 (no caso do mês de fevereiro ou 29 no caso do ano ser bis-
sexto) e o ano terá 365 dias (se o ano for bissexto, 366). Os juros aqui calculados serão 
chamados de juros exatos. 
Juros e montante a taxa constante: 
Seja C = capital, M = montante, J = valor do juro, i = taxa de juros e n o período 
de tempo. Nestas condições, teremos:Exemplo: Dados: Capital: R$ 12000,00; i = 1,2% am; n = 4 meses. Calcule o 
montante: 
00,576.12576000.12JCM
,olog
00,5764*
100
2,1
*000.124*%2,1*000.45J
 
Exercícios: 
1. (Bacen-98) Na capitalização simples, calcule os juros correspondentes à aplicação de 
R$ 2.000,00 por 2 meses, à taxa de 4% am. 
2. (Banespa) Paulo empresta a Carlos R$ 1.000.000,00 à taxa de juros de 21,5% aa pe-
lo prazo de um ano. Porém, três meses antes do encerramento do prazo, Carlos re-
solve saldar a dívida. Qual o total de juros pagos por Carlos? 
3. (Banco do Brasil) Que quantia, aplicada a 2,5% am, durante três meses e dez dias, 
rende R$ 28.000,00? 
4. Emprestei R$ 55.000,00 durante 120 dias e recebi juros de R$ 550,00. Calcule a taxa 
mensal de juros simples da operação. 
5. (TRT) Um capital de R$ 100.000,00, aplicado à taxa mensal de 1,5%, rendeu R$ 
30.000,00 de juros simples. Por quanto tempo esse capital esteve aplicado? 
 
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Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
6. Calcule o montante gerado pela aplicação de um capital de R$ 14.500,0 que foi apli-
cado durante 5 meses a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês. 
7. (CEF-01) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 
3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, qual deverá ser o prazo des-
sa aplicação? 
8. (OF. PROM. 01) Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado por um período de 6 meses 
a juros simples, produzindo um montante de R$ 21.780,00. A que taxa mensal foi apli-
cado esse capital? 
9. Uma pessoa depositou certa importância num banco à taxa de2% am. Depois de 6 
meses retirou montante de R$ 7.840,00. Qual foi o capital depositado? 
10. Depositei em um banco certa importância a 2% ao mês e depois de 2 anos e 6 meses, 
recebi, no total, R$ 48.000,00. Qual o valor dos juros simples da operação? 
11. (TRE-SP) Apliquei 53 de um capital à taxa de 12% ao ano e o restante a 18% ao ano. 
Se após 8 meses obtive juros num total de R$ 17.280,00, determine o capital empre-
gado. 
12. (Banco do Brasil) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montan-
te será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 
74.250,00. Qual a taxa mensal aplicada? 
13. Hoje o valor da cota de um fundo de investimento é R$ 17,24 e há 65 dias foi de R$ 
16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo, no período considerado? 
14. Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a 
partir da aplicação de um principal de R$ 10000,00, com uma taxa de juros de 1% ao 
mês, no regime de juros simples. 
15. Determinar o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de juros 
de 10% ao ano, para produzir um montante de R$ 10000,00, num prazo de 15 meses. 
16. Um investidor aplicou um principal de R$ 1000,00 para receber um montante de R$ 
1300,00, no prazo de 36 meses. Determinar, no regime de juros simples, a taxa anual 
de juros. 
Gabarito: 
1. R$ 160,00 9. R$ 7.000,00 
2. R$ 161.250,00 10. R$ 18.000,00 
3. R$ 336.000,00 11. R$ 180.000,00 
 
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Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
4. 0,25% am 12. 5 % 
5. 1 ano e 8 meses 13. 2,986858% no período. 
6. R$ 15.587,50 14. R$ 12.400,00 e R$ 2.400,00 
7. 1 ano e 6 meses 15. R$ 8.888,89 
8. 3,5% 16. 10 % 
Proporcionalidade de taxas: 
Duas taxas são ditas proporcionais quando os montantes sobre o mesmo ca-
pital e no mesmo prazo, forem iguais. 
Exemplo: 3% am (em um ano) é proporcional a 36% aa, pois 
12
%36%3 . 
Desconto e Valor Atual a taxa constante: 
Desconto: É um abatimento concedido a um valor monetário em determinadas 
condições. Pode ser concedido de duas diferentes formas: 
 
Desconto por fora, comercial ou bancário: incide sobre o capital (principal). 
 
Desconto por dentro ou racional: incide sobre o valor atual. 
Desconto e Valor Atual a desconto por fora, a taxa constante: 
Neste caso, o desconto é proporcional ao valor nominal, o prazo e à taxa de 
desconto, isto é: n*d*ND , onde D = valor do desconto, d = taxa de desconto, n = prazo 
na mesma unidade de tempo da taxa e N = valor nominal. 
O valor atual é a diferença entre o capital (principal) e o valor do desconto, isto 
é: )n*d1(*Nn*d*NNDNA , ou seja, )n*d1(*NA . 
Veja o exemplo: 
Para um valor nominal N = 15000,00, uma taxa de desconto d = 5% am, por 
um período n = 3 meses, calcular o valor do desconto simples por fora e o valor atual do 
capital. 
00,250.2D
3*05,0*000.15D
n*d*ND
 
 
15 
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Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
00,750.12A
250.2000.15A
DNA
ou
00,750.12A
)3*05,01(*000.15A
)n*d1(*NA
e
 
Desconto e Valor Atual a desconto por dentro, a taxa constante: 
Neste caso, o valor atual de um valor nominal N, em um prazo n, é outro capi-
tal A tal que, investido a uma taxa de juros i, no mesmo prazo n, produz o montante N, 
isto é: 
n*i1
NA)in1(AN
 
O desconto, neste caso, é a diferença entre o capital (principal) e o valor atual, 
isto é: 
n*i1
n*i*ND
n*i1
N)n*i1(*ND
n*i1
NND
AND
 
. 
Veja o exemplo: 
Para um capital C = 15000,00 (ou valor nominal N), uma taxa de desconto i = 
5% am, por um período n = 3 meses, calcular o valor do desconto e o valor atual do capi-
tal. 
Cin 15000.0,05.3 2250D 1956,52
1 in 1 0,05.3 1,15
e
C 15000 15000A 13043,48
1 in 1 0,05.3 1,15
ou
A 15000,00 13043,48 1956,52
 
 
16 
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Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Exercícios: 
1. Um título com 123 dias a decorrer até seu vencimento esta sendo negociado a juros 
simples, com uma taxa de rentabilidade de 1,3% ao mês. Determinar o valor da apli-
cação que proporciona um resgate de R$ 1.000,00. 
2. Um título com valor de resgate de R$ 1.000,00, com 80 dias a decorrer até seu venci-
mento, está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de desconto por fora de 
15% ao ano. Determinar: 
a. o valor do principal desse título; 
b. o valor do desconto simples; 
c. a rentabilidade mensal desse título até seu vencimento. 
3. Uma duplicata de valor nominal R$ 9000,00 foi descontada num banco dois meses 
antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% am. Obtenha: 
a. O desconto comercial; 
b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título; 
c. A taxa efetiva de juros no período; 
d. A taxa mensal de juros simples no período; 
4. Uma duplicata de valor igual a R$ 12.000,00 foi descontada num banco, 48 dias antes 
de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1% am. Obtenha: 
a. O desconto 
b. O valor líquido recebido pela empresa; 
c. A taxa efetiva de juros no período; 
d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação; 
5. Um fundo de investimento adquiriu por R$ 48.800,00, um título governamental com 
valor de face de R$ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era 
de 49 dias, calcule: 
a. A taxa efetiva de juros do período; 
b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação. 
6. Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 12.000,00, 45 dias antes de seu venci-
mento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de R$ 11.720,00, calcule a taxa 
mensal de desconto comercial da operação. 
7. Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor 
descontado (valor líquido) de R$ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto co-
mercial utilizada foi de 2,2% am. obtenha o prazo de vencimento deste título. 
 
17 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
8. Uma duplicata, cujo prazo até o vencimentoera de 90 dias, foi descontada num banco 
à taxa de desconto comercial de 1,8% am. Calcule o valor de face do título, sabendo-
se que a empresa recebeu um valor líquido de R$ 3.500,00 e que o banco cobrou uma 
taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título. 
Gabarito: 
1. R$ 949,39 
2. a) R$ 966,66 b) R$ 33,33 c) 1,293371% ao mês. 
3. a) R$ 360,00 b) R$ 8.640,00 c) 4,166667% no período d) 2,083333% am. 
4. a) R$ 403,20 b) R$ 11.596,80 c) 3,476821% no período d) 2,173013% am. 
5. a) 2,459016% no período b) 1,505520% ao mês. 
6. 1,5555556% ao mês. 
7. 85 dias ou 2,84 meses. 
8. R$ 3.739,32 
Relação entre desconto por fora (bancário) e taxa de juros: 
Vimos anteriormente que: C A(1 in) (1)
A C(1 dn) (2)
 
Substituindo a equação (1) na equação (2), obteremos: 
A A(1 in)(1 dn) 1 (1 in)(1 dn)
 
1 1 1 in 11 dn 1 dn dn
1 in 1 in 1 in
in
in in 1 i1 indn d d . d
1 in n 1 in n 1 in
 
Relação entre desconto por dentro (racional) e taxa de juros: 
Vimos anteriormente que: 
C A(1 in) (1)
CA (2)
1 dn
 
Substituindo a equação (1) na equação (2), obteremos: 
 
18 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
A(1 in) 1 inA 1 1 dn 1 in d i
1 dn 1 dn
 
Podemos concluir, então, que a taxa de desconto por dentro é igual à taxa de 
juros. 
Relação entre desconto por fora (bancário) e desconto por dentro (racional): 
Como d = i e 
in1
id , poderemos escrever: 
nd1
dd
D
D
F , sem perda de gene-
ralidades. 
Veja o exemplo: 
Para uma taxa de juros i = 5% am, por um período n = 3 meses, calcular a taxa 
de desconto bancário. 
0,05 0,05 0,05d 4,35%
1 0,05.3 1 0,15 1,15
 
Para uma taxa de desconto bancário d = 5% am, por um período n = 3 meses, 
calcular a taxa de desconto racional. 
D
D D D
D
D D
d0,05 0,05 0,15d d 0,85d 0,05
1 3d
0,05d d 0,0588 5,88%
0,85
 
Exercícios: 
1. Se a taxa de desconto comercial for de 4% am e o prazo de vencimento de uma dupli-
cata for de 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? 
2. Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontada num banco, pro-
porcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% am. Qual a taxa de des-
conto utilizada? 
3. Qual a taxa de desconto bancário que equivale a uma taxa de desconto racional de 
15% ao mês, correspondente a um período de 3 meses? Comprovar exemplificando. 
4. Qual o valor dos juros de um capital de R$ 125.000,00, aplicado a 12% am. durante 6 
meses? 
5. Um capital de R$ 180.000,00 foi aplicado durante 12 meses e propiciou juros de R$ 
216.000,00. Qual a taxa de aplicação? 
 
19 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
6. Uma aplicação de R$ 160.000,00 a 8% ao mês rendeu juros de R$ 38.400,00. Qual o 
período de aplicação? 
7. Qual o valor do capital que em 10 meses, a uma taxa de 13% ao mês propiciará juros 
de R$ 305.500,00? 
8. Quanto terá Dona Gertrudes após 7 meses, se aplicar uma capital de R$ 500.000,00 a 
6% ao mês? 
9. A que taxa devo colocar um capital para que depois de 5 meses ele dobre? 
10. Durante quanto tempo se deve aplicar certo capital para que a 10% ao mês ele tripli-
que? 
11. Qual um valor resultante de um capital de R$ 600.000,00,aplicado durante um ano às 
seguintes taxas: 5% ao mês durante o primeiro trimestre; 7% ao mês durante o se-
gundo, 8% ao mês durante o terceiro e 10% ao mês durante o último trimestre? 
12. Qual o valor do desconto comercial de um capital de R$ 200.000,00 com vencimento 
para 3 meses a taxa de desconto de 9% ao mês? 
13. Um título de R$ 120.000,00 foi descontado, por fora, 2 meses antes de seu vencimen-
to, obtendo-se R$ 102.000,00. Determinar a taxa de desconto. 
14. Quais os valores de desconto comercial e racional, e respectivos valores atuais, de um 
capital de R$ 10.000,00, a uma taxa de 8% ao mês, descontado 3 meses antes de seu 
vencimento? 
15. Se um título de R$ 420.000,00 fosse descontado a uma taxa de desconto comercial 
de 10% ao mês, considerando um período de 5 meses, qual deveria ser a taxa de a-
plicação do valor recebido para que no final se receba o mesmo valor do título? 
Gabarito: 
1. 4,545455% 
2. 2,830189% se o desconto for por fora; 3% se o desconto for por dentro. 
3. 6,617647% am 
4. R$ 90.000,00 
5. 10% am 
6. 3 meses 
7. R$ 235.000,00 
8. R$ 710.000,00 
9. 20% am. 
 
20 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
10. 20 meses 
11. R$ 1.140.000,00 
12. R$ 54.000,00 
13. 7,5% am. 
14. Descontos: R$ 7.600,00 e R$ 8.064,52 e Valores Atuais: R$ 2.400,00 e R$ 1.935,48 
15. 20% am. 
Contas Garantidas e o Método Hamburguês 
Contas garantidas são uma forma de crédito rotativo, com limite mínimo defini-
do e encargos financeiros calculados por capitalização simples (na maioria dos bancos) 
 
este cálculo é denominado método hamburguês. 
O método consiste na contagem dos dias em que o saldo devedor permanece 
inalterado, como dias corridos. A forma mais conhecida de conta garantida é o chamado 
cheque especial . 
Veja o exemplo: 
Fulano de Tal mantém uma conta no Banco Bancário SA, com um limite de 
crédito de R$ 2.500,00. Ao final de setembro de 2005, retira um extrato daquele mês. 
Como o banco cobra 12% de juros simples ao mês, a título de encargos, o total de juros 
que Fulano pagará será de R$ 28,10. Observe o passo a passo do cálculo. 
Extrato de movimentação financeira 
 
mês de setembro/2005 
Data Histórico Débito (d) Crédito (c) Disponível $ Saldo (d/c) 
01/09/05 Saldo anterior ------ 2.725,00 225,00 c 
03/09/05 Cheque 960010 1.000,00 d 1.725,00 775,00 d 
08/09/05 Débito automático 525,00 d 1.200,00 1.300,00 d 
10/09/05 Depósito on line 1.400,00 c 2.600,00 100,00 c 
24/09/05 Saque 150,00 d 2.450,00 50,00 d 
29/09/05 Saque 250,00 d 2.200,00 300,00 d 
30/09/05 Saldo 2.200,00 300,00 d 
 
Para solucionar o problema, devemos seguir o seguinte raciocínio: a) contar os 
dias corridos em que a conta ficou descoberta; b) multiplicar o saldo devedor pela quanti-
dade de dias em que a conta ficou descoberta; c) somar os saldos devedores gerados; e, 
d) multiplicar pela taxa de juros do período. 
A tabela apresentada a seguir, facilita a solução: 
 
21 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Data Saldo (d/c) Número de dias a descoberto 
Número de dias x 
saldo 
01/09/05 225,00 c
 
--- ---------- 
03/09/05 775,00 d
 
5 3.875,00 
08/09/05 1.300,00 d
 
2 2.600,00 
10/09/05 100,00 c
 
--- ---------- 
24/09/05 50,00 d
 
5 250,00 
29/09/05 300,00 d
 
1 300,00 
total 7.025,00 
 
Os juros a serem pagos são 0,12J 7025. 28,10
30
 
Muito importante: o valor dos juros debitados no primeiro dia do mês seguinte 
inclui o saldo devedor existente no último dia do mês. 
Exercícios: 
1. O Senhor Paul MacMoney retirou o extrato apresentado logo abaixo de sua conta cor-
rente (limite de cheque especial de R$ 2.000,00). Sabendo que o Senhor MacMoney 
pagará R$ 27,75 de juros e que o banco usa o Método Hamburguês, determine a taxa 
mensal de juros simples cobrada pelo banco. 
Extrato de movimentação financeira 
Data histórico Débito (d) Crédito (c) Disponível $ Saldo (d/c) 
01/06/XX Saldo anterior ----------
 
2.000,00
 
0,00
 
05/06/XX Aviso de débito 400,00 d
 
1.600,00
 
400,00 d
 
09/06/XX Saque 80,00 d
 
1.520,00
 
480,00 d
 
15/06/XX Depósito on line 480,00 c
 
2.000,00
 
0,00
 
23/06/XX Aviso de débito 320,00 d
 
1.680,00
 
320,00 d
 
26/06/XX saque 105,00 d
 
1.575,00
 
425,00 d
 
2. (FTE-RS-93)Um banco cobra uma taxa de juros simples de 30% ao mês sobre os sal-
dos negativos das contas de cheques especiais. Considerando-se o extrato mensal da 
conta corrente a seguir, calcule o valor dos juros que o banco cobrou no respectivo 
mês: 
 
22 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Dia Lançamento Valor Saldo 
01/04/93 Saldo do mês anterior 0,00 1.000,00 
05/04/93 Cheque descontado 1.500,00 (-) 500,00 (-) 
10/04/93 Cheque descontado 2.000,00 2.500,00 (-) 
16/04/93 Depósito 1.500,00 1.000,00 (-) 
25/04/93 Depósito 2.000,00 1.000,00 
30/04/93 Saldo depósito 0,00 1.000,00 
Gabarito 
1. i = 10% 2. R$ 265,00 
 
23 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Capítulo 3 - Capitalização Composta: Juros compostos a taxa 
constante 
 
Crescimento Exponencial: 
No regime de juro compostos, os juros de cada período são adicionados ao 
principal (capital) para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Veja o exemplo: 
investimento de R$ 1.000,00 por 4 anos a uma taxa de 8% ao ano. 
Ano
 
Saldo no início do 
ano 
Juros do ano Saldo no final do ano 
1 1000,00 8%.1000,00 = 80,00 1080,00 
2 1080,00 8%.1080,00 = 86,40 1166,40 
3 1166,40 8%.1166,40 = 93,31 1259,71 
4 1259,71 8%.1259,71 = 100,72 1360,49 
Nesse caso, juros também rendem juros, ou seja, os juros são capitalizados 
(os juros passam a compor o capital). 
Juros compostos a taxa constate 
 
Crescimento Exponencial: 
Podemos afirmar que no regime de juros compostos o capital cresce exponen-
cialmente ou em progressão geométrica, ao longo do tempo. Veja: 
49,1360M
48896,1360M
08,1.1000M
)1.08,01(1000M
)it1(1000M
)it1()it1()it1()it1(1000M
4
4
4
 
Observe que o valor encontrado ao final da expressão é o mesmo encontrado 
na tabela de capitalização. 
Consideradas as condições do exemplo acima, podemos dizer que, no sistema 
de capitalização de juros, ou juros compostos, o montante será obtido pela expressão: 
n)i1(CM , onde M = montante, C = capital inicial, i = taxa de juros no período, n = pe-
ríodo de aplicação. 
 
24 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
A taxa acumulada de juros no período é dada por: 1
C
Mi nAC
 
Uso do logaritmo para calcular o período no sistema de capitalização composta: 
O cálculo de logaritmos é ferramenta poderosíssima na resolução de exercícios 
de capitalização composta, no que diz respeito ao cálculo do período ou ao cálculo da 
taxa de juros. 
Vamos, primeiramente, estudar uma fórmula para determinar o período: 
A partir de n)i1(CM podemos fazer 
C
M)i1( n , aplicando logaritmo nos dois 
membros da expressão, teremos: 
)i1log(
C
Mlog
n
C
Mlog)i1log(n
C
Mlog)i1log( n . 
Em resumo: )i1log(
C
Mlog
n
 
Veja o exemplo: Por quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 1000,00, a 
uma taxa de juros de 2 % ao mês, para render um montante de R$ 1.126,16? 
Substituindo os dados do problema na fórmula de resolução, teremos: 
meses6n
02,1log
12616,1log
n)02,01log(
1000
16,1126log
n)i1log(
C
Mlog
n
 
Uso do logaritmo para calcular a taxa no sistema de capitalização composta: 
Vamos, agora, estudar uma fórmula para determinar o taxa de juros através do 
uso do logaritmo: 
A partir de n)i1(CM
 
podemos fazer 
C
M)i1( n , aplicando logaritmo nos dois membros 
da expressão, teremos: 
110i)aritmologdedefiniçãopela(10i1
n
C
Mlog
)i1log(
C
Mlog)i1log(n
C
Mlog)i1log(
n
C
Mlog
n
C
Mlog
n
. 
 
25 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Em resumo: 110i
)
n
C
Mlog
(
 
Veja o exemplo: Um capital de R$ 1000,00 foi aplicado por 12 meses rendendo 
um montante de R$ 1.200,00. Determine a taxa mensal de juros dessa aplicação. 
Substituindo os dados do problema na fórmula de resolução, teremos: 
am%530947,1i
110i110i110i 12
2,1log
12
1000
1200log
n
C
Mlog
 
Exercícios: 
1. Qual o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros compostos, pelo prazo de 
6 meses, a taxa de 2% am? 
2. Alberto aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, a taxa de 24% aa: 
a. Qual o montante? 
b. Qual a taxa mensal de juros da aplicação? 
c. Qual a taxa semestral de juros da aplicação? 
3. Uma pessoa aplica hoje R$ 4.000,00 e aplicara R$ 12.000,00 daqui a 3 meses num 
fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% ao mês. Qual seu montante daqui a 
6 meses? 
4. Qual o capital que, aplicado a juros compostos, durante 9 anos, à taxa de 10% ao ano 
produz um montante de R$ 175.000,00? 
5. Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, gerando 
um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal? 
6. Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, rendendo um juro igual 
ao capital aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação? 
7. Um fogão é vendido à vista por R$ 600,00, ou então a prazo, sendo 20% do preço a 
vista como entrada, mais uma parcela de R$ 550,00 dois meses após a compra. Qual 
a taxa mensal de juros compostos do financiamento? 
8. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 2,2% 
am. para que duplique? 
Gabarito: 
1. R$ 56.308,12 
 
26 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
2. a. R$ 7.440,00 b. 1,808758% c. 11,355287% 
3. R$ 17.626,54 
4. R$ 74.217,08 
5. 1,553449% 
6. 7,177346% 
7. 7,043604% 
8. 31,85 meses 
Capitalização Composta - Desconto por dentro
 
A partir de n)i1(*CM
 
podemos escrever que 
n)i1(
MC
 
que fornece o va-
lor do principal C a partir do montante M em função da taxa i e do prazo n . 
O valor do desconto por dentro ( DD ) ou racional (expresso em reais) é obtido 
pela aplicação da expressão geral para desconto, isto é: 
n
n
n
n
n )i1(
]1)i1[(*ND)i1(
N)i1(*N
)i1(
NNAND
 
Em resumo: 
n
n
)i1(
]1)i1[(*ND
 
Exemplos: 
1. Determinar o valor do investimento inicial que deve ser realizado no regime de juros 
compostos, com uma taxa efetiva de 1% am. para produzir um montante acumulado 
de R$ 1.000,00 no final de 12 meses. Determinar o valor do desconto por dentro , ex-
presso em reais. 
n = 12 meses; i = 1% am; M = R$ 1000,00; C = ?: D = ? 
56,11244,8871000D
e44,887
01,1
1000
)01,01(
1000C 1212
 
ou 
56,112
01,1
]101,1[1000
)01,01(
]1)01,01[(1000D 12
12
12
12
 
2. Um certificado de depósito bancário (CDB) tem um valor de resgate de R$ 1.000,00 e 
um prazo de 90 dias a decorrer até seu vencimento. Determinar o valor a ser aplicado 
 
27 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 10% ao ano. Realizar 
os cálculos no regime de juros compostos, considerando o ano comercial com 360 di-
as. 
Primeiro passo: cálculo da taxa equivalente: Supondo: C = 100; M = 110 e n = 360, 
teremos: 
%000264784,0ii1000264784,1i110
)i1log(000114979,0)i1log(
360
041392685,0
)i1log(360041392685,0)i1log(3601,1log
)i1(1,1)i1(
100
110)i1(100110
000114979,0
360360360
 
Segundo passo: cálculo do valor atual: 
45,976C)000264784,01(
1000C 90
 
Capitalização Composta 
 
Desconto por fora : 
A expressão genérica do valor do desconto por fora no regime de juros com-
postos é baseada no fluxo de caixa. No regime de juros compostos os descontos de cada 
período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital 
existente no iníciodo período de desconto. Assim temos: 
a) no primeiro período de desconto (n = 1) 
capital no início do período: C 
desconto no período: C*d 
capital no final do período: )d1(CCdCDCA
 
b) no segundo período de desconto (n = 2) 
capital no início do período: )d1(C
 
desconto no período: d).d1(C
 
capital no final do período: 2)d1(C)d1)(d1(Cd)d1(C)d1(CA
 
c) no enésimo período de desconto, o valor atual é dado por: 
n)d1(*CA
 
Logo, o desconto por fora é dado por: 
])d1(1[CD)d1(CCACD nFnF
 
 
28 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Em resumo: ])d1(1[CD nF
 
Exemplo: Um título com valor de R$ 10.000,00, com 60 dias para seu venci-
mento é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto por fora 
igual a 1,2%am.. Determine o valor presente (valor atual ou capital) do título e o valor do 
desconto composto, expresso em reais. 
Sendo: M = 10000 n = 2 d = 1,2% am 
Calcular: C e d 
56,238D]976144,01[10000])012,01(1[10000D
ou
56,23844,976110000D
44,9761C)012,01(10000C)d1(CA
2
2n
 
Exercícios: 
1. Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de 
desconto composto por fora 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto 
adotada atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a 
taxa de juros efetiva da operação. 
2. Uma empresa deve R$ 80.000,00 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 10 
meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipa-
damente o empréstimo e solicita ao banco um desconto. O banco informa que opera 
de acordo com o conceito de desconto composto por fora , sendo sua taxa de des-
conto para este tipo de operação de 3,5% ao mês. Pede-se calcular o valor líquido 
que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação antecipada do empréstimo. 
3. Um título foi descontado a uma taxa de 3% ao mês 5 meses antes de seu vencimento. 
Sabe-se que a operação produziu um desconto de R$ 39.000,00. Admitindo-se o con-
ceito de desconto composto por fora , calcular o valor nominal do título. 
4. Uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu vencimen-
to. O valor nominal deste título é de R$ 50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de 
desconto racional (por dentro), determine o valor líquido recebido (valor descontado) 
pela pessoa, na operação. 
5. Determine o valor do desconto do exercício anterior. 
 
29 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
6. Um título foi descontado 5 meses antes de seu vencimento. O valor nominal do título é 
de R$ 42.000,00 e a taxa de desconto de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido libera-
do nesta operação sabendo-se que foi utilizado o desconto composto por dentro . 
7. Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R$ 12.000,00 
descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês. 
8. Um banco libera a um cliente R$ 6.800,00 provenientes do desconto de um título de 
valor nominal R$ 9.000,00 descontado a taxa de 4% ao mês. Calcular o prazo de an-
tecipação em que foi descontado este título. 
Gabarito: 
1. Desconto: R$ 4.991,88 
 
Valor descontado: R$ 30.008,12 
 
taxa efetiva: 5,263163% 
am 
2. Valor antecipado: R$ 69.374,40 
3. R$ 276.074,92 
4. R$ 43.814,83 
5. R$ 6.185,17 
6. R$ 35.362,87 
7. R$ 1.128,59 
8. 7 meses e 4 dias ou 7,5 meses ou 214 dias 
Taxas Proporcionais: 
Diz-se que duas (ou mais) taxas são proporcionais quando a razão entre elas é 
a mesma que entre seus períodos. 
Exemplos: 
1. 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois 
3612.31.36
1236
13
 
2. 0,4% ao dia é proporcional a 12% ao mês, pois 
1230*4,01*12
3012
14,0
 
 
30 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Taxas Equivalentes: 
Duas taxas expressas em períodos diferentes são equivalentes quando, apli-
cadas a um mesmo capital e num mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo mon-
tante. 
Esse conceito está diretamente ligado ao regime de juros compostos. Lem-
brando que n)i1(CM
 
suponhamos: 
Pela definição, PnPCnC )i1(CMou)i1(CM
 
1i1ii1i1
)i1()i1(
)i1()i1(
)i1(C)i1(C
Pn
Cn
CPPPn
Cn
C
Pn
1
Pn
PPn
1
Cn
C
Pn
P
Cn
C
Pn
P
Cn
C
 
Exemplo:1. Qual a taxa mensal equivalente a 460% ao ano? 
%4381,15154381,01124381,11)6,41(i 12
1
P
 
2. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 
25% ao ano? 
%7371,5057371,01)25,01(i
%87,1018769,01)25,01(i
12
3
Pt
12
1
Pm
 
Taxa Nominal: 
Taxa nominal é aquela referente a período que não coincide com o período de 
capitalização de juros não correspondendo ao ganho/custo financeiro do negócio. Geral-
mente tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros. 
Exemplo: 40% ao ano com periodicidade mensal. 
Taxa Efetiva: 
É aquela que corresponde de fato, ao ganho ou custo financeiro do negócio. 
Toda taxa cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros é 
uma taxa efetiva. 
 
31 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Exemplo: 40% ao ano, com periodicidade anual. 
Obtenção da taxa efetiva: 
a) a partir da taxa nominal: basta aplicar o conceito de taxas proporcio-
nais (juros simples) 
nominaltaxadaperíodonocontidas
çõescapitalizadenúmerok
nominaltaxai
efetivataxai
onde
k
ii n
e
n
e 
Exemplo: 40% aa com capitalização mensal: am%3,3
12
40ie
 
b) a partir de outra taxa efetiva: aplica-se, aqui, o conceito de taxas equivalen-
tes. 
taxasdasperíodososentrerelação
n
n
conhecidataxai
eequivalenttaxaouprocuradataxai
onde1i1i
P
C
C
P
Pn
Cn
CP 
Exemplo: determinar a taxa anual equivalente à taxa efetiva de 3% ao mês. 
anoao%576,42425760,0]1)03,01[(i 12e
 
Taxas Unificadas: 
Primeiro e mais importante: unificar taxas não significa somar taxas. 
O problema é: tendo duas taxas, torná-las única de forma que provoque o 
mesmo ganho ou custo financeiro se aplicadas isoladamente uma sobre a outra. 
Exemplo: Caderneta de poupança 
 
Juros (0,5% ao mês) + TR (variável) 
Para obter a fórmula geral de unificação, partiremos da fórmula geral de juros 
compostos: 
)i1(MM)II
)i1(CM)I
212
11
 
Substituindo: I) em II), teremos: 
)i1)(i1(CM)III 212
 
Escrevendo a equação do montante para taxas unificadas, teremos: 
unificadataxaionde)i1(CM)IV uu2
 
 
32 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Igualando: III) e IV), teremos 
1)i1)(i1(i)i1)(i1(i1)i1)(i1(C)i1(C 21u21u21u
 
Exemplos: 
1. Unificar as taxas am%5ieam%10i 21
 
%5,15155,0i1)05,01)(10,01(i uu
 
2. Suponha que em 1 de novembro, a tabela da caderneta de poupança indi-
que: índice de atualização: 0,6099% e juros de 0,5% am. Calcule taxa unificada. 
%1129,1011129485,01)006099,01)(005,01(iu
 
3. Um empregador resolve dar reajuste de 30% aos seus funcionários, sendo a 
primeira parcela de 10% novembro e o restante em dezembro. Calcular o percentual da 
segunda parcela. 
%18,18i1818,0i
i1
1,1
3,1i1
1,1
3,1)i1)(1,01(13,0
1)i1)(i1(i
22
222
21u
 
Exercícios: 
1. Calcule: 
a. A taxa semestral equivalente a 5,3% ao mês. 
b. A taxa diária equivalente a 15% ao mês. 
c. A taxa bimestral equivalente a 40% no semestre. 
d. As taxas: diária, mensal, trimestral, semestral e anual equivalentes a 10,7% ao bi-
mestre. 
e. A taxa mensal equivalente a 120% ao ano. 
2. Determine a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominalde 7,5% ao mês com 
capitalização diária (calendário comercial). 
3. Obter a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 78,01% ao ano com capitaliza-
ção semestral. 
4. Foi aplicado R$ 10.000,00 a taxa de 60% ao mês, capitalizada diariamente. Determine 
o montante resgatado ao final de 4 dias. 
5. Encontrar a taxa unificada referente à atualização monetária de 15% e a taxa de juros 
de 1,3% incidentes sobre o mesmo capital. 
6. Unificar as seguintes taxas: 
a. 30% e 2% 
 
33 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
b. 115% e 10% 
c. 0,8426% e 0,5% 
d. 13%, 12%, 5% e 4% 
7. Encontrar a taxa que atinja um reajuste total de 80%, dado em duas parcelas, sendo a 
primeira de 40%. 
8. Qual o percentual de reajuste que falta para atingir o aumento salarial de 35% em du-
as parcelas sendo que a primeira foi de 10%? 
Gabarito: 
1. a) 36,32% b) 0,47% c) 11,87% d) 0,17% ad 5,21% am 16,47% at 35,66% as 84,03% 
aa e) 6,79% am 
2. 7,7783% 
3. 93,2239% 
4. R$ 10.824,32 
5. 16,5% 
6. a) 32,6% b) 136,5% c) 1,3468% d) 38,2% 
7. 28,57% 
8. 22,73% 
 
34 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Capítulo 4 - Séries de Pagamentos 
 
Rendas 
Fluxo de Caixa 
O fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou 
de pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo. 
A representação gráfica do fluxo de caixa é feita por meio de um eixo horizontal 
orientado para direita, graduado positivamente, e por setas verticais. Sendo que: 
a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em dias, meses, anos, en-
tre outros. Os pontos 0, 1, 2, 3, 4,... n substituem as datas de calendário e são estipulados 
em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. 
Assim, o ponto 0 (zero) representa a data inicial (hoje); o ponto 1 (um) indica o final do 
primeiro período e assim por diante. 
b) Saídas de caixa, correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são 
representadas por setas apontadas para baixo. 
c) Entradas de caixa, correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e 
são representadas por setas apontadas para cima. 
Exemplo: um banco concede um empréstimo de R$ 40.000,00 a um cliente, pa-
ra pagamento em 6 prestações iguais de R$ 9.000,00. Representemos graficamente o 
fluxo de caixa. 
Do ponto de vista do banco, a representação gráfica do fluxo de caixa é: 
 
Observe: há uma saída inicial de caixa no valor de R$40.000,00 e a entrada de 
6 parcelas de R$9.000,00 cada uma nos meses seguintes. 
Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no sentido inver-
so, veja: 
 
 
35 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Exercícios: 
1) Represente o fluxo de caixa das seguintes situações: 
Recebimentos Previstos Pagamentos Previstos 
Dia Valor Dia Valor 
05 10000 09 12000 
11 28000 14 14000 
17 9000 17 7000 
25 16000 28 20000 
 
2) Uma pessoa adquiriu um bem de R$ 12.000,00 e efetuou o pagamento em 3 presta-
ções iguais de R$ 5.000,00, sendo a primeira no ato do empréstimo. 
3) Uma pessoa adquiriu um bem de R$ 12.000,00 e pagou-o em 3 prestações iguais de 
R$ 5.000,00, sendo a primeira um mês após receber o bem. 
4) Depositei em uma caderneta de poupança R$ 300,00 por mês, durante 1 ano, sendo o 
primeiro depósito realizado na data da abertura da conta. Obtive com isso, um mon-
tante de R$ 4.300,00 no final de um ano. 
5) Depositei em uma caderneta de poupança R$ 300,00 por mês, durante 1 ano, sendo o 
primeiro depósito realizado no final do primeiro mês. Obtive com isso, um montante 
de R$ 4.300,00 no final de um ano. 
Formação de Capital e Pagamento de Dívidas 
Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses 
uma certa quantia em, por exemplo, uma caderneta de poupança, quando queremos 
comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações, a serem pagas mensalmen-
te. 
Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida deposi-
tando ou pagando certa quantia, em épocas distintas. 
No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização. 
Então: 
 
Capitalização é a ação de investimento periódica de uma quantia fixa, com 
taxa de juros fixos, com vistas a compor um determinado capital. 
 
Amortização é a ação de saldar uma dívida por meio de parcelas periódi-
cas, constantes ou não. 
 
36 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de paga-
mentos ou recebimentos, e com vencimentos sucessivos t1, t2, t3,... tn, ou seja, represen-
tam processos de capitalização ou de amortização. 
Rendas 
Uma sucessão de depósitos ou de prestações destinados a formar um capital 
ou pagar uma dívida é denominada renda. 
Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são denominados ter-
mos da renda. O intervalo de tempo que ocorre entre os vencimentos de dois termos 
consecutivos é chamado período de renda. 
Por exemplo: no caso da compra de uma TV em 7 prestações mensais de R$ 
40,00, cada uma das prestações é um termo da renda e o período é mensal. 
Classificação de uma renda 
As rendas são classificadas em: 
a) Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus 
vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. Exemplo: compra de bens 
a prazo. 
b) Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não po-
de ser previamente determinado. Exemplo: pagamento de um seguro de vida (o número 
de termos é indeterminado). 
Em relação ao período da renda: 
a) Periódica: o período da renda é sempre o mesmo 
b) Não Periódica: quando o período da renda não é sempre o mesmo. 
Observe que se o período é o mês a renda é mensal, se o período é o trimestre 
a renda é trimestral. 
Quanto aos termos: 
a) Constante: se os termos são iguais. 
b) Variável: quando os termos não são iguais. 
Quanto à data do vencimento do primeiro termo. 
a) Imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do 
primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Assim, o 
vencimento do último termo (Tn) ocorre no fim do período n. Exemplo: compra de um bem 
 
37 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatu-
ra do contrato. 
b) Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data 
zero. O vencimento do último termo ocorre no início do período n. Exemplo: depósito 
mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determina-
do. 
c) Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um 
determinado número de períodos, a contar da data zero. O vencimento do último termo 
ocorre no fim de m+n períodos. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações 
mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses. 
Exercícios: 
Represente a situação em forma de fluxo de caixa identificando que tipo de 
renda e sua subclassificação: 
1) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 por mês durante 5 meses, sendo o primeiro de-
pósito na data da abertura da conta, e recebeu R$ 14.000,00 após 5 meses. 
2) Um terreno é colocado à venda por R$ 180.000,00 à vista ou em 10 prestações bi-
mestrais, sendo a primeira prestação recebida no quarto bimestre. 
3) Uma pessoa adquiriu um bem de R$ 12.000,00 e pagou-o em três prestações bimes-
trais iguais, sendo a primeira 1 bimestre logo que recebeu o bem. 
4) Uma pessoa depositou em um bancoR$ 300,00 por mês, durante dois semestres. 
Faça o fluxo em relação ao banco. 
5) Um comerciante investiu R$ 450,75 por mês em uma instituição financeira, durante 7 
bimestres. 
6) A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Compre o que quiser e pague em 5 
vezes. Leve o produto hoje e tenha dois meses de carência . O preço a vista é de R$ 
1.200,00. 
7) Carro financiado em 2 anos com prestações bimestrais iguais de R$ 5.054,03, saben-
do que a primeira prestação do carro será paga no ato da assinatura do contrato. 
8) Um comerciante pagou R$ 1.000,00 por mês por um empréstimo realizado em uma 
instituição financeira, durante 2 anos, sendo a primeira paga ao final do primeiro mês. 
 
38 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
Renda Imediata - Fator de acumulação de capital 
(FAC) 
Consideremos o seguinte problema: determinar o valor do montante, no final 
do quinto mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de 
R$ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é 
aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a trinta dias da data tomada como base (mo-
mento zero), e que a última, no final do quinto mês, é coincidente com o momento em que 
é pedido o montante. 
Observação: nos problemas que envolvem Rendas, usaremos R para o valor 
das prestações. VA para o valor atual, ou seja, o capital inicial e M para montante, ou va-
lor final. 
Veja: foram dados: R=100,00; i = 4% am; n = 5 meses; M = ? 
Considerando o fluxo de caixa, o problema pode ser esquematizado: 
 
Para calcular o montante pedido, vamos utilizar somente os conhecimentos 
que já temos sobre o cálculo do montante. Como apenas sabemos resolver problemas 
com um único pagamento, vamos calcular o montante de cada prestação no final do 5º 
mês, individualmente, através da fórmula nM C * (1 i) . Para simplificar nosso raciocínio, 
re-escreveremos a fórmula do montante para cada prestação assim: nM R * (1 i) . As-
sim, o montante da primeira, obtido da fórmula já conhecida, será dado por: 
4
1M 100 *1,04 116,99
 
O expoente 4 da expressão (1,04)4 representa o número de meses a decorrer 
entre a data da primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu montante. 
Essa mesma consideração é válida para todas as demais prestações. Assim, o 
montante da terceira parcela é obtido como segue: 32M 100 *1,04 108,16
 
Como a última parcela é aplicada exatamente no dia em que se pede o valor 
do montante, não terá rendimento algum. O montante desta prestação pode ser assim 
especificado: 05M 100 *1,04 100,00
 
Em resumo, os montantes de cada uma das 5 aplicações são calculados como 
segue: 
 
39 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
M1 = 100. (1,04)4 = 100. 1,16986 = 116,99 
M2 = 100. (1,04)3 = 100. 1,12486 = 112,49 
M3 = 100. (1,04)2 = 100. 1,08160 = 108,16 
M4 = 100. (1,04)1 = 100. 1,04000 = 104,00 
M5 = 100. (1,04)0 = 100. 1,00000 = 100,00 
Mt =.............................................. = 541,63 
Portanto, o montante de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, de R$ 
100,00 cada uma, à taxa de 4% ao mês, dentro do conceito de renda imediata, é de R$ 
541,63. 
Entretanto, esse cálculo, como foi feito, é muito trabalhoso. Com o objetivo de 
facilitar o trabalho, vamos tentar aplicar uma fórmula que permita chegar ao valor final 
através de um caminho mais curto e rápido. 
Sabemos que Mt = M1 + M2 + M3 + M4 + M5. 
Substituindo cada M por seus respectivos valores, sem efetuarmos os cálculos, 
temos: 
Mt = 100. (1,04)4 + 100. (1,04)3 + 100. (1,04)2 + 100. (1,04)1 + 100. (1,04)0 
Como o valor 100 é constante em todos os termos, pode ser colocado em evi-
dência: 
Mt = 100. [(1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1 + (1,04)0] ou 
Mt = 100. [(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4] 
Como a série (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 representa a soma 
de uma progressão geométrica de razão 1,04, podemos aplicar a fórmula: 
1q
aqaS 1
n
1
 
que dá a soma dos termos de uma PG, em que a1 representa o primeiro termo da série, n 
o número de termos e q a razão. Sabendo-se que a1 = (1,04)0 = 1, q = 1,04 e n = 5, tere-
mos: 
)1(63,541
104,1
]104,1[*100VA
5
t
 
Como é fácil observar, encontramos o valor do montante correspondente à a-
plicação de 5 parcelas iguais sem calcular os montantes individuais. 
No problema: R = 100, n = 5 e i = 0,04, substituindo na expressão (1) os valo-
res numéricos por seus símbolos correspondentes, obteremos a seguinte fórmula genéri-
 
40 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
ca: 
i
]1)i1[(RM
n
(2) onde 
i
]1)i1[( n
 
é o fator de acumulação de capital 
 
FAC 
(i,n). Para facilitar, podemos, também, escrever: )n,i(FAC.RM
 
A utilização do FAC é realizada por meio de uma tabela que facilita os cálculos. 
(os interessados poderão reproduzir a tabela que se encontra no apêndice C, da 5ª edi-
ção de Matemática Financeira de Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeo, publicado pela 
Editora Saraiva em 2001. Existem exemplares disponíveis na Biblioteca Central, Campus 
I, Bloco II) 
No problema anterior, poderíamos ter escrito M = 100. FAC (4%, 5). 
Comentário: com o advento das calculadoras eletrônicas científicas e da série 
HP12C o uso de tabelas tornou-se obsoleto. Os elementos que compõem as tabelas de 
cálculo também recebem o nome de cantoneiras. 
IMPORTANTE: quando não se especificar que tipo de renda está sendo 
trabalhada em determinada situação, ou ainda, se não se evidenciar que o fato está 
ocorrendo hoje, ou com um período de carência, estaremos diante de um problema 
de renda imediata. 
Como os problemas de renda imediata envolvem o M, R, n, i, podemos traba-
lhar com a fórmula de diferentes maneiras, de acordo com os dados do exercício e do que 
se pede. Com isso, há a necessidade de conhecermos os outros fatores de capitalização 
existentes nas tabelas financeiras. Entre eles: Fator de acumulação de capital (FAC); Fa-
tor de formação de capital (FFC); Fator de valor atual (VAA); Fator de recuperação de ca-
pital (FRC). 
Fator de formação de capital (FFC) 
O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do montante deduzida anterior-
mente 
i
]1)i1[(RM
n
. Essa fórmula, como vimos, é utilizada para obter o valor do 
montante, quando são conhecidos o valor das prestações, a taxa e o número de presta-
ções. Quando a incógnita é o valor das prestações, basta fazer: 
1)i1(
MiR
n
 
ou R = 
M.FFC (i, n). 
 
41 
Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Renda Antecipada 
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem 
no início de cada período unitário. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebi-
da no momento "zero", ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou 
de qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações. 
Como veremos, todos os problemas de séries de pagamentos antecipados po-
derão ser resolvidos a partir dos fatores definidos para série de pagamentos com termos 
vencidos (ou renda imediata), bastando multiplicá-los ou dividi-los por (1 + i). 
Fator de acumulação de capital (FAC) e Fator de formação de capital (FFC) 
Seja resolver o seguinte problema: Qual o montante, no final do 5º mês, resul-
tante da aplicação de 5 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 100,00, à taxa 
de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato). 
Em termos de fluxo de caixa, o problema pode ser esquematizado como segue:Sabendo que o montante "FV" é o somatório dos montantes individuais de ca-
da prestação, e que a primeira aplicação feita no momento "zero" é capitalizada por 5 pe-
ríodos, a segunda por 4, a terceira por 3, e assim sucessivamente, até a última, a qual é 
capitalizada por 1 período, podemos escrever: 
M = 100. (1,04)5 + 100. (1,04)4 + 100. (1,04)3 +100. (1,04)2 +100. (1,04)1 
M = 100. [(1,04)5 + (1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1] ou 
M = 100. [(1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 + (1,04)5] 
Aplicando a soma da PG, teremos: 30,563
104,1
]04,104,1.04,1[100M
5
. 
Substituindo na expressão anterior, os valores numéricos por respectivos sím-
bolos, temos: 
i
]1)i1)[(i1(RM
n
, ou ainda, M = R. (1 + i) 
i
1)i1( n
, ou ainda, M = 
R. (1 + i). FAC (i,n) 
 
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Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
Problemas: 
1. Quanto terá, ao final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante 
esse prazo, em um Fundo de Renda Fixa , à taxa de 3% ao mês ? 
2. Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num Fundo de Renda Fixa , durante 
5 anos, sendo o primeiro depósito no final do primeiro período, para que possa resga-
tar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona um rendi-
mento de 2% ao mês? 
3. Quantas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao 
trimestre, para acumular o montante de R$ 100.516,08 no final de certo prazo? Qual 
esse prazo? 
4. A que taxa devo aplicar R$ 15.036,28 por ano para que eu obtenha um montante de 
R$ 500.000,00 ao final de 10 anos? l 
5. Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 
meses, um montante de R$ 300.000,00, sabendo que o rendimento firmado é de 
34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em número de 36? 
6. Quantas aplicações mensais de R$ 1.000,00 são necessárias para se obter um mon-
tante de R$ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês, e que a primeira a-
plicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resga-
te daquele valor? 
7. Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de 
R$ 500,00, o resgate de um montante de R$ 58.166,29 no final do 60º mês. Sabendo-
se que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendi-
mento proporcionada pelo Fundo. 
8. Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas mensais 
e consecutivas, à taxa de 2,25% ao mês, sendo as 4 primeiras de R$ 12.000,00 cada 
uma e as 4 restantes de R$ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que se trata de uma sé-
rie de pagamentos com termos antecipados. 
9. Quanto um aplicador poderá resgatar, no final de 2 anos, se adquirir trimestralmente, 
no início dos 5 primeiros trimestres, R$ 10.000,00 sabendo-se que o rendimento é de 
9% ao trimestre e que a primeira aplicação é feita "hoje" ? 
Gabarito: 
1. R$ 52.204,19 
 
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2. R$ 1753,59 
3. 15 meses 
4. 25% ao ano. 
5. R$ 5107,77 
6. 23 parcelas. 
7. 2% am 
8. R$ 131628,63 
9. R$ 84479,07 
AMORTIZAÇÃO COMPOSTA 
Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um emprésti-
mo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de 
quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa. 
Destacamos que na capitalização composta, os fatores que a compreendiam 
eram os Fator de acumulação de capital (FAC) e Fator de formação de capital (FFC). Já 
na amortização composta serão os Fatores de valor atual (VAA) e Fator de recuperação 
de capital (FRC). 
Renda Imediata 
Da mesma forma que deduzimos o Fator de Acumulação de Capital, vamos 
deduzir o Fator de Valor Atual
 
para a série de pagamentos iguais ou uniformes. Partire-
mos do seguinte problema prático: Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, po-
de ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 100,00 
cada uma? 
O que se quer é o valor presente dessa série de 5 parcelas iguais. Mais uma 
vez, utilizaremos as ferramentas que conhecemos para solucionar esses problemas. Com 
relação a valor presente ou atual, somente sabemos resolver os casos com pagamentos 
simples, ou seja, aqueles que apresentam um único pagamento. Assim, vamos resolver o 
problema por partes, admitindo-se que cada prestação corresponda a um financiamento 
isolado. 
Dados: VA = ? R = 100,00 i = 4% n = 5 
 
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Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
No problema, cada prestação R = 100 representa o montante (ou valor futuro) 
individual de um capital inicial que desconhecemos, aplicado à taxa de 4% ao mês, e por 
prazos que vão de 1 a 5 meses. O que queremos é determinar o capital inicial ou valor 
presente dessas prestações no momento zero . 
Para a primeira prestação, temos: 15,96
04,1
100VA 11
 
Para a segunda prestação, temos: 46,92
04,1
100VA 22
 
Para a terceira prestação, temos: 90,88
04,1
100VA 33
 
Para a quarta prestação, temos: 48,85
04,1
100VA 44
 
Para a quinta prestação, temos: 19,82
04,1
100VA 55
 
Resumindo, temos: 
VAt = 445,18 (soma dos cinco capitais ). 
Utilizaremos conhecimentos da matemática elementar, como no FAC, para 
simplificar esses cálculos. 
VAt = VA1 + VA2 + VA3 + VA4 + VA5, ou seja: 
VAt = 54321 )04,1(
100
)04,1(
100
)04,1(
100
)04,1(
100
)04,1(
100 
Colocando o valor 100 em evidência, teremos: 
VAt = 100. 54321 )04,1(
1
)04,1(
1
)04,1(
1
)04,1(
1
)04,1(
1 
Os termos que aparecem nos colchetes constituem a soma de PG de razão 
04,1
1
. 
Como trabalhar com expressões fracionárias é um pouco mais complexo, va-
mos, com uma simples operação, transformar esta série numa soma de mais fácil visuali-
zação e cálculo. Para tanto, aplicaremos o conceito de MMC, isto é, Mínimo Múltiplo Co-
mum. 
MMC = (1,04)5, que é o número divisível por qualquer um dos denominadores 
da série. 
Efetuando os cálculos, teremos: 
 
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Engenharia Econômica, anotações de aula
 
Organização do texto: Ivonete Melo de Carvalho, Me.
 
VAt = 100 5
1234
)04,1(
1)04,1()04,1()04,1()04,1( 
O numerador da expressão entre colchetes constitui-se numa soma de PG, de 
razão 1,04, com número de termos igual a 5; esta série, sendo escrita em ordem inversa, 
tem como primeiro termo o número 1, que nada mais é do que (1,04)0. (Lembre-se: todo 
número real 
 
diferente de zero 
 
elevado a zero é igual a 1) 
Aplicando a fórmula da soma de uma PG, teremos: 
VAt = 100. 5
5
)04,1(
104,1
1)04,1.(1
 
= 100. 18,445
04,0)04,1(
1)04,1(
5
5
. 
Substituindo na expressão numérica acima os respectivos símbolos, temos: 
VAt = R. 
i .n
n
)i1(
1)i1(
 
Sendo 
i .n
n
)i1(
1)i1(
 
o Fator de Valor Atual, representado por VAA (i,n). 
Fator de Recuperação de Capital 
É deduzido de: VA = R. 
i .n
n
)i1(
1)i1(
 
isolando-se R: R = 
i.)i1(
1)i1(
PV
n
n
 
Em que 
1)i1(
i.)i1(
n
n
 
é o Fator de Recuperação de Capital 
 
FRC (i,n) 
Observação: o FFC é o inverso do FAC, e que o FRC é o inverso do VAA: 
FFC = 
FAC
1 
e FRC = 
FVA
1 
O FRC é o fator, sem dúvida, mais utilizado na prática. 
Renda Antecipada - Fator de Valor Atual 
A fórmula para a resolução de problemas de valor atual (renda antecipada) po-
de ser deduzida, utilizando-se o mesmo caminho seguido anteriormente para as dedu-
ções já vistas. Entretanto, no atual estágio, já sabemos que para obter o valor presente de 
uma série de pagamentos, podemos inicialmente calcular