MICRO I 2017 2 (Aula 15 Exc Consumidor, Var Compensatótia, Var Equivalente)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 15 
 
 
EXCEDENTE DO CONSUMIDOR, VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA, VARIAÇÃO 
EQUIVALENTE 
 
EXCEDENTE DO CONSUMIDOR (EC) 
O excedente do consumidor corresponde ao ganho do consumidor medido pela diferença entre 
o seu preço de reserva1 e preço que ele efetivamente paga pela quantidade do bem demandado. 
Graficamente, o EC é definido como a área sob a curva de demanda marshalliana (ordinária) 
e acima da linha de preço pago pelo consumidor, ou seja, é a área do triângulo ApB. 
 
A área sob a curva de demanda mede a utilidade do consumidor ao consumir uma certa 
quantidade do bem x. Desta forma, o excedente do consumidor pode ser interpretado como 
medida de bem-estar, expresso em unidades monetárias, tornando observável o nível de 
utilidade que é não observável. 
 
Cálculo do Excedente do Consumidor (EC) 
Suponha 𝒑(𝒙) uma função demanda contínua e diferenciável. Então, uma boa aproximação 
do excedente do consumidor é dada por: 
 
1 A expressão “preço de reserva” tem origem no mercado de leilões. Num leilão, cada item tem um preço mínimo pelo qual 
o leiloeiro está disposto a vendê-lo. Se o preço oferecido por um comprador for abaixo deste preço mínimo, o leiloeiro se 
reserva o direito de comprar este item ele mesmo. Este preço ficou conhecido como preço de reserva do vendedor e passou 
a descrever o preço pelo qual alguém está exatamente disposto a comprar ou vender alguma coisa. (VARIAN, 2012) 
𝑬𝑪 = ∫ [𝒑(𝒙) − 𝒑]
�̅�
𝟎
𝒅𝒙 = ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 − 𝒑 ∫ 𝒅𝒙 =
�̅�
𝟎
�̅�
𝟎
∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 − 𝒑�̅�
�̅�
𝟎
 
onde: 
𝑝(𝑥) é a função demanda inversa; 
𝑝 é o preço pago 
𝑥 é a quantidade consumida 
 
Para o caso de uma função demanda não linear, uma aproximação da medida do EC é dada pela 
Integral do Riemann, ou seja, que corresponde a área representada pelo somatório das áreas 
retangulares para cada unidade demandada do bem. 
 
Exemplo Numérico 
Calcule o Excedente do Consumidor para o mercado de um bem hipotético com as seguintes 
funções demanda e oferta: 
𝑝(𝑄) = 400 − 10𝑄 
𝑝(𝑄) = 25 + 𝑄2. 
A solução resulta no ponto de equilíbrio: (𝑄∗, 𝑝∗) = (15, 250) 
𝐸𝐶 = ∫ [𝑝(𝑄) − 𝑝∗]
�̅�
0
𝑑𝑄
= ∫ [400 − 10𝑄 − 250]𝑑𝑄 =
15
0
∫ [150 − 10𝑄]𝑑𝑄
15
0
= 150 ∫ 𝑑𝑄 − 10 ∫ [𝑄]𝑑𝑄
15
0
15
0
= [150𝑄 − 5𝑄2]|0
15 = 150𝑄|0
15 − 5𝑄2|0
15
= 150(15) − 150(0) − 5(152) + 5(02) = 1125 
 
MEDIDAS DE BEM-ESTAR DO CONSUMIDOR 
 
 Variação do Excedente do Consumidor (VEC) 
 Variação Compensatória (VC). 
 Variação Equivalente (VE) 
 
Variação do Excedente do Consumidor (𝑽𝑬𝑪) 
 
Para os economistas, mais relevante do que o medir o nível absoluto do excedente do 
consumidor é a medida da Variação do Excedente do Consumidor (𝑽𝑬𝑪), pois revela as 
perdas ou ganhos como resultado de alguma mudança nos preços, de uma incidência de 
impostos ou de outras políticas que impactam sobre o preço de um bem no mercado. 
Por exemplo, a incidência de um imposto sobre o consumo do bem x, que eleva o preço de p0 
para p1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que no caso de uma cobrança de imposto sobre a venda do bem, seu preço aumenta e 
a VEC será negativa (𝑉𝐸𝐶 < 0), indicando que houve perda de bem-estar. Por outro lado, no 
caso da aplicação de um subsídio, o preço se reduz e a VEC será positiva (𝑉𝐸𝐶 > 0), 
indicando que a política beneficiou o consumidor. 
 
No gráfico abaixo, a VEC pode ser decomposta em duas subáreas: 
(1) área A, que representa a perda gerada relativa às quantidades do bem consumidas; e, 
(2) área B, que representa a perda gerada relativa às quantidades do bem que deixam de ser 
consumidas. 
 
A Variação do Excedente do Consumidor, VEC, será dada por: 
𝑽𝑬𝑪 = 𝑬𝑪(𝒑𝟏) − 𝑬𝑪(𝒑𝟎) = ∫ [𝒑(𝒙) − 𝒑𝟏]
𝒙𝟏
𝟎
𝒅𝒙 − ∫ [𝒑(𝒙) − 𝒑𝟎]
𝒙𝟎
𝟎
𝒅𝒙 
Expandindo-se esta expressão, têm-se, 
= ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 − 𝑝1 ∫ 𝑑𝑥
x1
0
− ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
0
𝑑𝑥 + 𝑝0 ∫ 𝑑𝑥
x0
0
 (1) 
Note que o terceiro termo em (1) pode ser reescrito como 
∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 + ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥, (2) 
Substituindo-se em (1), tem-se, 
𝑉𝐸𝐶 = ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 − 𝑝1 ∫ 𝑑𝑥
x1
0
− (∫ 𝑝(𝑥)
𝑥1
0
𝑑𝑥 + ∫ 𝑝(𝑥)
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥) + 𝑝0 ∫ 𝑑𝑥
x0
0
 (3) 
Que resulta em, 
𝑉𝐸𝐶 = − [∫ [𝑝(𝑥)]
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥 + 𝑝1𝑥1 − 𝑝0𝑥0] (4) 
 
Exemplo Numérico: 
Dados: 
𝑝(𝑥) = 10 −
𝑥
2
 
𝑝0 = 2 → 𝑥0 = 16 
𝑝1 = 3 → 𝑥1 = 14 
𝑉𝐸𝐶 = − [∫ [𝑝(𝑥)]
𝑥0
𝑥1
𝑑𝑥 + 𝑝1𝑥1 − 𝑝0𝑥0] 
 
𝑉𝐸𝐶 = − [∫ (10 −
𝑥
2
)
16
14
𝑑𝑥 + (3.14 − 2.16)] = − [10 ∫ 𝑑𝑥
16
14
−
1
2
∫ 𝑥𝑑𝑥 + 10
16
14
]
= − [10𝑥|14
16 −
1
2
𝑥2
2
|14
16 + 10] = − [10(16 − 14) −
1
4
(162 − 142) + 10]
= − [20 −
60
4
+ 10] = −[20 − 15 + 10] = −15 
 
Observação: 
Usando-se a função demanda ordinária, 𝑥(𝑝) = 20 − 2𝑝 , a VEC é calculada como, 
𝑉𝐸𝐶 = ∫ 𝑥(𝑝)𝑑𝑝 = ∫ [20 − 2𝑝]𝑑𝑝 = [20(3 − 2) − (32 − 22)] = 15 > 0
3
2
𝑝1
𝑝0
 
Mas o exemplo é de um aumento do preço, logo a VEC deveria ser negativa. Para resolver isto, 
deve-se inverter os limites de integração, como abaixo, 
𝑉𝐸𝐶 = ∫ 𝑥(𝑝)𝑑𝑝 = ∫ [20 − 2𝑝]𝑑𝑝 = [20(2 − 3) − (22 − 32)] = −15
2
3
𝑝0
𝑝1
< 0 
Assim, chega-se ao mesmo resultado anterior quando usou-se a função demanda inversa. Pode-
se concluir que a medida da VEC é a mesma tanto com a demanda ordinária (usando-se os 
preços como limites da integração) quanto com a demanda inversa (usando-se as quantidades 
como limites da integração), ou seja, 𝑉𝐸𝐶[𝑝(𝑥)] = 𝑉𝐸𝐶[𝑥(𝑝)]. 
 
Variação Compensatória (VC) 
 
A Variação Compensatória (VC) é uma medida monetária que representa a variação de renda 
que seria necessária para deixar o consumidor tão bem quanto antes de uma variação de preço, 
ou seja, para levá-lo à curva de indiferença original, ou ainda, para compensá-lo pela variação 
do preço. 
No caso de uma elevação do preço do bem, há redução do nível de bem-estar do consumidor e, 
portanto, a VC é negativa. Caso contrário, o nível de bem-estar aumenta e a VC é positiva. 
 
 
 
 
Cálculo da Variação Compensatória (VC) 
Exemplo: Um consumidor encara uma função utilidade 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
1/2
𝑥2
1/2
, paga, 
originalmente, os preços ($1,$1) e tem uma renda de $100. Suponha uma incidência de 
impostos indiretos que eleva o preço do bem 1 para $2. Calcule a variação compensatória. 
A solução do PMU neste caso resulta em: 
(1) Antes da incidência do imposto, 
𝑥1
∗ =
𝑀
2𝑝1
=
100
2(1)
= 50 e 𝑥2
∗ =
𝑀
2𝑝2
=
100
2(1)
= 50 
(2) Após a incidência do imposto, 
𝑥1
∗∗ =
𝑀
2𝑝1
=
100
2(2)
= 25 e 𝑥2
∗∗ =
𝑀
2𝑝2
=
100
2(1)
= 50 
 
Para manter o mesmo nível de utilidade anterior à variação de preço, 
𝑈(𝑥1
∗, 𝑥2
∗) = 𝑈(𝑥1
∗∗, 𝑥2
∗∗) 
𝑈(50, 50) = 𝑈 (
𝑀
2𝑝1
,
𝑀
2𝑝2
) 
50
1
250
1
2 = (
𝑀
2(2)
)
1
2
(
𝑀
2(1)
)
1
2
 
50 =
𝑀
√4√2
 → 𝑀 = 100√2 → 𝑀 = 141,42 
𝑉𝐶 = (100 − 141,42) = −41,42 
 
Conclusão: se a renda do consumidor fosse de $141,42 após o imposto, ele estaria tão bem 
quanto com a renda de $100 aos preços originais (antes do imposto) e manteria o mesmo nível 
de bem-estar anterior (na mesma curva de indiferença original). 
 
Variação Equivalente (VE) 
 
A Variação Equivalente (VE) é uma medida monetária que representa a variação derenda que 
o consumidor estaria disposto a abrir mão para evitar a variação de preço, ou seja, para que sua 
escolha na curva de indiferença posterior possa deixa-lo com o mesmo nível de bem-estar de 
antes da variação no preço, ou ainda, para compensá-lo pela variação do preço. 
No caso de uma elevação do preço, uma vez que prejudica o consumidor, a VE é negativa. Caso 
contrário será positiva. 
 
 
 
 
Cálculo da Variação Equivalente (VE) 
No exemplo da Cobb-Douglas dada acima, 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
1/2
𝑥2
1/2
, tem-se: 
Para manter o mesmo nível de utilidade posterior à variação de preço, 
𝑈(𝑥1
∗, 𝑥2
∗) = 𝑈(𝑥1
∗∗, 𝑥2
∗∗) 
𝑀
2
1/2 𝑀
2
1/2
= 251/2501/2 → 𝑀 ≅ 70 
𝑉𝐸 = (70 − 100) = −30 
Conclusão: o consumidor estaria disposto a pagar $30 para não encarar a elevação do preço do 
bem 1 via imposto. De outra maneira, se o consumidor tivesse uma renda de $70 aos preços 
originais, estaria tão bem quanto com uma renda de $100 aos novos preços, ou seja, estaria com 
o mesmo nível de bem-estar posterior ao da variação de preço. 
 
Observação: 
Uma maneira diferenciada e mais sofisticada de calcular a Variação Compensatória (VC) é 
usando as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo e as relações duais: 
(1) A diferença de bem-estar decorrente da variação de preço em termos da utilidade 
indireta é dada por, 
[𝑣(𝑝1, 𝑀) − 𝑣(𝑝0, 𝑀)] 
(2) No mesmo nível de bem-estar anterior, têm-se, 
𝑣(𝑝1, 𝑀 − 𝑉𝐶) = 𝑣(𝑝0, 𝑀) 
(3) Usando a igualdade acima, pode-se escrever que, 
𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝1, 𝑀 − 𝑉𝐶)) = 𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝0, 𝑀)). 
(4) Mas, pela relação dual 𝑒(𝑝, 𝑣(𝑝, 𝑀)) = 𝑀, tem-se. 
𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝1, 𝑀 − 𝑉𝐶)) = 𝑀 − 𝑉𝐶 ou, 
𝑽𝑪 = 𝑀 − 𝒆(𝒑𝟏, 𝒗(𝒑𝟎, 𝑀)) 
 
Em analogia ao cálculo da VC, uma maneira diferenciada e mais sofisticada de calcular a 
Variação equivalente (VE) é usando as funções utilidade indireta e dispêndio mínimo e as 
relações duais: 
𝑣(𝑝1, 𝑀) = 𝑣(𝑝0, 𝑀 + 𝑉𝐸) 
𝑒(𝑝1, 𝑣(𝑝1, 𝑀)) = 𝑒(𝑝0, 𝑣(𝑝0, 𝑀 + 𝑉𝐸)) 
𝑒(𝑝0, 𝑣(𝑝0, 𝑀 + 𝑉𝐸)) = 𝑀 + 𝑉𝐸 
𝑽𝑬 = 𝒆(𝒑𝟎, 𝒗(𝒑𝟎, 𝑴 + 𝑽𝑬)) − 𝑴 
 
 
 
Considerações Finais: 
Se a mudança de preço melhora a situação de bem-estar do indivíduo, então: 𝑉𝐶 > 0 𝑒 𝑉𝐸 >
0. Caso contrário, isto é, se piora, então, 𝑉𝐶 < 0 𝑒 𝑉𝐸 < 0. 
Note que o sinal de VC e VE é igual ao sinal de VEC. Assim, 
 Se o bem-estar melhora ⟹ 𝑉𝐶 > 0, 𝑉𝐸 > 0 𝑒 𝑉𝐸𝐶 > 0 
 Se o bem-estar piora ⟹ 𝑉𝐶 < 0, 𝑉𝐸 < 0 𝑒 𝑉𝐸𝐶 < 0 
 
Preferências Quase-Lineares 
No caso de funções utilidade quase-lineares, onde a demanda por um bem não depende da 
renda, as medidas VC e VE são iguais, V𝐶 = 𝑉𝐸 
 
 
O Excedente do Produtor 
 
 
O excedente do produtor pode ser medido pela área acima da função oferta e abaixo do nível 
de preço efetivamente praticado. 
𝐸𝑃 = 𝑝𝑠
∗𝑥∗ − ∫ 𝑝𝑠(𝑥)
𝑥∗
0
𝑑𝑥 , 
A Variação do Excedente do Produtor (VEP) 
𝑉𝐸𝑃 = 𝑝𝑠
∗𝑥∗ − ∫ 𝑝𝑠(𝑥)
𝑥∗
0
𝑑𝑥 , 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2012) Cap. 14 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 10 e 11) 
JEHLE & RENY (2001) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Considere o mercado competitivo para um bem qualquer com as seguintes funções de 
demanda e oferta de mercado: 
Demanda: P = 400 – 10Q 
Oferta: P = 25 + Q² 
Onde P é o preço do bem e Q é a quantidade demandada do bem. 
Responda as questões abaixo: 
(a) Qual o preço e a quantidade de equilíbrio desse mercado? 
(b) Calcule o excedente do consumidor nesse mercado. 
(c) Calcule o excedente do consumidor após o governo fixar o máximo de unidades 
vendidas em apenas 10. 
 
2. Considere o mercado competitivo para um bem qualquer com as seguintes funções demanda 
e oferta: 
Demanda: P = a – Q² 
Oferta: P = 3Q² 
Onde “a” é uma função qualquer da renda agregada dos consumidores nesse mercado. 
Responda as questões abaixo: 
(a) Qual o preço e a quantidade de equilíbrio? 
(b) Calcule o excedente do consumidor. 
(c) Suponha a = R/3, onde “a” é a renda agregada dos consumidores nesse mercado. 
Suponha que R=4. Qual a variação no excedente do consumidor quando a renda 
agregada dos consumidores aumenta? 
 
3. Suponha que certo modelo de mercado possui as funções de demanda e oferta dadas, 
respectivamente, por: P = 14 – Q²d e P = 2 + Q0. Nessas condições, calcule o excedente do 
consumidor. 
 
4. Suponha que uma mercadoria Q tenha uma função demanda inversa p = 3⋅q-1/2 e que 
atualmente são vendidas 100 unidades. Qual é o excedente do consumidor desta 
mercadoria? 
 
5. Suponha um consumidor com uma função utilidade U(x1, x2) = x1
1/2
x2
1/2
. Originalmente, 
ele se defronta com os preços ($1,$1) e tem uma renda de $100. No momento seguinte o 
preço do bem 1 aumenta para $2. Determine as variações compensatória e equivalente. 
 
6. A função utilidade quase-linear de um consumidor é dada por 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = √𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 . 
Suponha que o preço do bem 1 varie de p1
0 para p1
1. Pede-se: 
(a) Encontre a expressão da Variação Compensatória (VC); 
(b) Encontre a expressão da Variação Equivalente (VE); 
(c) O que há em comum entre os resultados dos itens anteriores?