Analise dimensional

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Analise 
Dimensional
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
Quantidade Símbolo Dimensões
Comprimento l L
Tempo t T
Massa m M
Força F ML/T2
Velocidade V L/T
Aceleração a L/T2
Freqüência ω T-1
Gravidade g L/T2
Área A L2
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
Quantidade Símbolo Dimensões
Vazão Q L3/T
Fluxo de massa M/T
Pressão p M/LT2
Tensão τ M/LT2
Massa específica ρ M/L3
Peso específico γ M/L2T2
Viscosidade µ M/LT
Viscosidade cinemática ν L2/T
m
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
Quantidade Símbolo Dimensões
Trabalho W ML2/T2
Potencia, fluxo de calor ML2/T3
Tensão superficial σ M/T2
Módulo da elasticidade 
volumétrica
Β M/LT2
Q,W 
Teorema pi de Buckingham
)x,...,x,x,x(fx n4321 =
)h,d,,,V(fp µρ=∆
Dependente Independentes
n- número de variáveis
É o teorema que nos permite determinar os números 
adimensionais a partir da função característica.
Teorema pi de Buckingham
)mn(K −=
),...,,(f mn3211 −pipipi=pi
K - Grupos adimensionais;
n – numero de variáveis(grandeza / quantidade);
m - número dimensões básicas;
Partindo-se da função 
característica, f (F, V, ρ, µ, 
d) = 0, a aplicação do 
teorema dos π respeita a 
seguinte seqüência:
1º PASSO: 
Determinar o número de variáveis 
que influenciam o fenômeno - n 
n = 5
2º PASSO: 
Escrevemos a equação 
dimensional de cada uma das 
variáveis. 
[F] = F 
[V] = L x T-1 
[ρ] = F x L-4 x T2 
[µ] = F x L-2 x T 
[D] = L 
Teorema pi de Buckingham
3º PASSO: 
Determinamos o número de 
dimensões envolvidas no 
fenômeno - m. 
m = 3 
4º PASSO: Determinamos o 
número de adimensionais que 
caracterizam o fenômeno - 
K 
K = n - m K = 2 ∴
5º PASSO: 
Estabelecemos a base dos 
números adimensionais. 
Definição de base - É um 
conjunto de variáveis 
independentes comuns aos 
adimensionais a serem 
determinados, com exceção dos 
seus expoentes. 
Variáveis independentes- São 
aquelas que apresentam as suas 
equações dimensionais diferentes 
entre si de pelo menos uma 
grandeza fundamental. 
Para o exemplo, temos: 
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como 
variáveis independentes. 
ρ e µ como variáveis dependentes. 
Teorema pi de Buckingham
Bases possíveis para o 
exemplo: 
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ 
V D. 
Para obtermos os 
adimensionais já 
estabelecidos para os 
estudos de Mecânica dos 
Fluidos, geralmente 
adotamos a base ρ V D, ou a 
que mais se assemelha a 
esta. Para o exemplo, 
adotamos a base ρ V D.
6º PASSO : 
Escrevemos os 
números adimensionais, 
multiplicando a base 
adotada por cada uma 
das variáveis que 
restaram na função 
característica após a 
sua retirada. 
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F 
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Teorema pi de Buckingham
Para obtermos os expoentes da base, 
substituímos cada uma das variáveis por sua 
respectiva equação dimensional, inclusive o 
número adimensional.
Para pi1 tem-se:
Teorema pi de Buckingham
Para pi2 tem-se:
Teorema pi de Buckingham
Grupos Adimensionais 
FORÇAS ENCONTRADAS NOS FLUIDOS EM ESCOAMENTO
Significado Físico
inercial força
pressão de forçaEu ∝
viscosa força
inercial forçaRe ∝
gravidade da força
inercial forçaFr ∝
Escoamento nos quais a queda 
pressão é significativa
Escoamento influenciados por 
efeitos viscosos
Escoamento influenciados pela 
gravidade:escoamento de 
superfície livre
Significado Físico
ilidadecompressib de força
inercial forçaM ∝
inercial força
centrífuga forçaSt ∝
lsuperficia tensão de força
inercial forçaWe ∝
Compressibilidade 
importante V >0,3c
Componente não permanente se 
repete periodicamente
A tensão superficial 
influencia o 
escoamento 
Parâmetros Adimensionais Comuns
σ
ρ
=
ω
=
=
=
µ
ρ
=
ρ
∆
=
lV We Weber,de Número
V
lSt Strouhal, de Número
c
VM Mach, de Número
lg
VFr Froude, de Número
lVRe Reynolds, de Número
V
p Eu Euler, de Número
2
2




σ
ρω
µ
ρ
=
ρ
∆ lV,
V
l,
c
V,
lg
V,lVf
V
p 22
12
Exercício
Em um forno de convecção assistido por 
ventilador, a taxa de transferência de calor para um 
assado, Q (energia por unidade de tempo), depende 
por suposição, do calor específico do ar, “Cp”, da 
diferença de temperatura, “teta”, de uma escala de 
comprimento “L”, da massa específica, da 
viscosidade e da velocidade do ar de resfriamento. 
Quantas dimensões básicas estão incluídas nestas 
variáveis? Determine o número de parâmetros 
necessários para caracterizar o forno. Avalie os 
parâmetros Pi.
Exercício
 A figura ao lado mostra um escoamento de ar 
incidindo sobre uma placa vertical que apresenta 
altura igual a “h”. Admita que a pressão (“p”) no 
ponto central da placa exposta ao escoamento 
principal é função de “h”, da velocidade do ar ao 
longe, “V”, e da viscosidade do, “µ”. 
Como “p” variará se 
dobrarmos a velocidade do 
escoamento ao longe? Utilize a 
análise dimensional para 
responder a pergunta.
Semelhança
Estudo da previsão das 
condições do protótipo 
a partir de observações 
de modelos
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais 
obtidos da análise dimensional
Modelo em escala de 
edifícios grandes de uma 
cidade. O escoamento de 
ar ao redor dos edifícios é 
estudada. Os elementos 
ásperos no chão geram a 
turbulência desejada nas 
paredes. 
Exemplos
TESTES COM MODELOS
Semelhança
� Semelhança geométrica
29
HP
LP
BP
MODELO EM ESCALA 
REDUZIDA
Hm
Lm
Bm
PROTÓTIPO
p
m
p
m
p
m
H
H
B
B
L
L
===α
ESCALA GEOMÉTRICA
OBSERVAÇÃO: O modelo pode ser reduzido ou aumentado
TESTES COM MODELOS
Semelhança
� Semelhança cinemática
30
PROTÓTIPO
MODELO EM ESCALA REDUZIDA
VP
Vm
TESTES COM MODELOS
Semelhança
� Semelhança dinâmica
31
PROTÓTIPO
MODELO EM ESCALA REDUZIDA
VP
Vm
Dp
Dm
 D = f(L,B,H, ρ, µ, V)
CD = φ (B/L, H/L, 
Re)
p
p
m
m
L
B
L
B
=
p
p
m
m
L
H
L
H
=
p
ppp
pm
m
mmm LVReReLV
µ
ρ
===
µ
ρ
pp
2
pp2
1
p
pDmD
mm
2
mm2
1
m
HBV
D
CD
HBV
D
ρ
===
ρ
Exercício
A vazão em volume do óleo SAE 30W (viscosidade 
absoluta igual a 0,2 Kg/(m.s)) num oleoduto (diâmetro 
igual a 914 mm) é igual a 0,40 m3/s. O diâmetro dos tubos 
de um modelo deste oleoduto é 76,2 mm e os 
experimentos devem ser realizados com água. Qual deve 
ser a velocidade média no escoamento de água no modelo 
para que o número de Reynolds no modelo seja igual 
aquele do protótipo.
Exercício
É razoável admitir que o aumento de pressão 
detectado pela onda gerada numa explosão é função da 
quantidade de energia “liberada” na explosão, E, da massa 
específica do ar (rô), da velocidade do som no ar (c), e da 
distância medida a partir do centro da explosão, d (veja 
figura abaixo). (a) Construa a forma adimensional desta 
relação. (b) Considere a forma adimensional desta relação. 
(b) Considere duas explosões: a explosão protótipo com 
“liberação” de energia E e a modelo com “liberação” de 
energia Em = 0,001E. Determine a distância do centro de 
explosão do modelo onde ocorre um aumento de pressão 
igual aquele detectado a 1,6 km do centro de explosão do 
protótipo.
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