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Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
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Capítulo II 
 
PLANIMETRIA 
 
1. Introdução 
 
 Um alinhamento topográfico é um segmento de reta materializado por dois pontos nos seus 
extremos. Tem extensão, sentido e orientação. 
Por exemplo: 
 
 
Figura 2.1 
 
Orientação: 45° 
Sentido: de A para B. 
Extensão: x metros. 
 
2. Definição de Rumo, Azimute e Ângulo interno 
 
 Rumo é o menor ângulo formado entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em questão. O 
Rumo varia de 0º a 90º e necessita a indicação do quadrante em que se encontra o alinhamento (Fig. 
2.2). 
 
Figura 2.2 
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Considerando-se a Fig. 2.3, por exemplo: 
 
 
Figura 2.3 
 
ROA = 35º NE 
ROB = 35º SE 
ROC = 70º SW 
ROD = 20º NW 
 
 Azimute é o ângulo formado entre o Norte e o alinhamento em questão. É medido a partir do 
Norte, no sentido horário, podendo variar de 0º a 360º. 
 Considerando-se a Fig. 2.4, por exemplo: 
 
 
 
Figura 2.4 
 
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AzOA = 35º 
AzOB = 145º 
AzOC = 250º 
AzOD = 340º 
Conversão de Rumo em Azimute e vice-versa 
 
 Quadrante NE: Az = 180º R = Az 
 Quadrante SE: Az = 180º - R R = 180º - Az 
 Quadrante SW: Az = 180º + R R = Az - 180º 
 Quadrante NW: Az = 360º - R R = 360º - Az 
 
 A seqüência apresentada na Fig. 2.5, mostra o rumo e o azimute nos diversos quadrantes. 
 
 
 
Figura 2.5 
 
Rumos e azimutes, magnéticos e verdadeiros 
 
 Até o momento, ao falar em rumos e azimutes não foi especificado a sua referência, a partir 
do Norte verdadeiro ou magnético. Quando o azimute é medido a partir da linha Norte-Sul verdadeira 
ou geográfica, o azimute é verdadeiro; quando é medido a partir da linha Norte-Sul magnética, o 
azimute é magnético. O mesmo se dá para os rumos. 
 A diferença angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é a Declinação magnética 
local. A declinação magnética é sempre medida do Norte verdadeiro para o magnético. 
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 As agulhas imantadas colocadas em bússolas fornecem os azimutes magnéticos; para 
transformá-los em verdadeiros é necessário que se conheça a declinação magnética local e fazer a 
transformação adequada. 
A posição do Norte verdadeiro pode ser conhecida, diretamente, através de observações aos 
astros (sol e estrelas), obtendo-se assim o azimute verdadeiro. 
 A declinação magnética pode variar em função dos fatores tempo e lugar. Os tipos de 
variação são: 
• Variação geográfica: numa mesma época, cada local apresenta um determinado valor para a 
declinação. Os pontos da Terra que, num dado instante, tem o mesmo valor de declinação, 
quando ligados por linhas imaginárias, formam as linhas isogônicas. 
• Variação secular: com o decorrer dos séculos, o pólo norte magnético caminha em torno do 
pólo norte verdadeiro, havendo grandes alterações no valor da declinação em um lugar, 
mudando inclusive de sentido (de E para W, por ex.). 
• Variação anual: esta variação não é bem definida e sua distribuição não é uniforme pelos 
meses do ano, sendo pequena e sem importância para trabalhos topográficos comuns. As linhas 
que unem locais de mesma varaiação annual da declinação são ditas isopóricas. 
 
Sabendo-se disto, quando se vão utilizar azimutes magnéticos de antigos levantamentos, 
devem-se reajustar os seus valores para a época atual. Este procedimento é chamado de 
reaviventação de rumos e azimutes. 
 
 
 
 
Figura 2.6 
 
 
AzBC = AzAB + DAbd (2.1) 
 
AzCD = AzBC – DBce (2.2) 
 
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Azn = Azn-1 ± Dde (2.3) 
 
 Ângulo Interno é o ângulo formado por dois alinhamentos consecutivos de um polígono, é 
sempre medido no sentido horário e tomado internamente. 
 
POLIGONAL FECHADA: 
 
 
 
Figura 2.7 
 
ΣAi = (n – 2).180° (2.4) 
 
POLIGONAL ABERTA: 
 
• Caminhamento à esquerda ou no sentido horário 
 
 
 
Figura 2.8 
 
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Az23 = Az12 – Ai2 + 180° 
Az34 = Az23 – Ai3 + 180° 
 
• Caminhamento à direita ou no sentido anti-horário 
 
 
 
Figura 2.9 
 
Az23 = Az12 + Ai2 - 180° 
Az34 = Az23 + Ai3 - 180° 
 
Generalizando tem-se a Fórmula geral dos azimutes: 
 
 Azn = Azn -1 ± Ai ± 180º (2.5) 
 
onde: 
Azn é o azimute do alinhamento; 
Azn-1 é o azimute do alinhamento anterior; e 
Ai é o ângulo horizontal interno. 
 
 Se o caminhamento na poligonal for à direita ou no sentido anti-horário, soma-se o valor do 
ângulo interno ao azimute do alinhamento anterior (Azn -1 + Ai); se o caminhamento na poligonal for à 
esquerda ou no sentido horário, subtrai-se o valor do ângulo interno do azimute do alinhamento 
anterior (Azn -1 - Ai). 
 Se (Azn-1 ± Ai) > 180º , subtrai-se 180º; se (Azn-1 ± Ai) < 180º , soma-se 180º. 
 
 
 
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3. Medidas de distâncias: métodos e instrumentos (analógicos e eletrônicos) 
 
 
 A medida entre dois pontos, em topografia, corresponde à medida da distância horizontal 
entre esses dois pontos, mesmo que o terreno seja inclinado. 
 A medição de uma distância pode ser efetuada por processo direto, por processo indireto ou, 
por processos eletrônicos, sendo este último o mais moderno e mais preciso. 
 
3.1. Medida direta de distâncias 
 
 A determinação da extensão de um alinhamento pode ser feita por medida direta quando o 
instrumento é aplicado no terreno ao longo do alinhamento. 
 
Instrumentos 
 
 Os instrumentos destinados para a medida direta são genericamente denominados de 
diastímetros. Entre os principais têm-se: 
(a) Corrente de agrimensor: é composta de barras de ferro ligadas por elos, dois em cada 
extremidade, para facilitar a articulação; cada barra, com um elo de cada lado, mede20 cm e a 
corrente toda é de 20 m. De metro em metro, encontra-se presa uma medalha onde se acha gravado 
o nº de metros desde o início da corrente. Nas extremidades da corrente existem as manoplas, as 
quais permitem a extensão para eliminar a catenária (curvatura que o peso da própria corrente 
ocasiona). 
 Atualmente se encontra em desuso devido à pouca precisão e praticidade. 
(b) Trena de aço: é uma fita de aço graduada em centímetros, enrolada no interior de uma 
caixa através de uma manivela. Geralmente o primeiro decímetro é milimetrado, para medidas de 
maior precisão. Ocorrem em comprimentos variados, até 50 m, sendo mais comuns as de 20 e 30 m. 
 Apesar de apresentar boa precisão nas medidas, a trena de aço é muito pouco prática no uso 
comum. Pode sofrer influência da variação de temperatura (dilatação e contração do aço); parte-se 
facilmente; pode enferrujar-se rapidamente, necessitando ao final de cada dia de trabalho, limpá-la 
com querosene e besuntá-la com vaselina; e não pode ser arrastada pelo solo, pois gastará a 
gravação dos números e dos traços que constituem sua marcação. 
(c) Fita de aço: são também trenas de aço, porém são enroladas em círculos descobertos 
munidos de um cabo de madeira. Não são gravadas de ponta a ponta, apenas o primeiro e o último 
decímetro são milimetrados, a parte intermediária é marcada a cada 50 cm, tendo nos metros inteiros 
uma chapinha com o número. 
 São mais rústicas que as trenas, permitindo serem arrastadas pelo solo sem maiores 
prejuízos. 
(d) Trena plástica: são fitas plásticas reforçadas com fibra de vidro. Tem diversos 
comprimentos, sendo que a mais utilizada é a de 20 m. São normalmente práticas e apresentam uma 
precisão razoável, o que as torna intensamente utilizadas. 
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Acessórios 
 
 Existe uma série de acessórios utilizados na medida direta de distância, dentre os quais se 
apresentam os principais: 
 
(a) Baliza: vara de ferro ou madeira, de 2 m de comprimento, pintadas geralmente de branco 
e vermelho. Tem a função de destacar o ponto sobre o terreno. A sua extremidade inferior tem forma 
cônica, para facilitar sua fixação no terreno. 
 A verticalidade da baliza é muito importante, podendo vir acompanhada de um nível de bolha. 
 (b) Fichas: pequenas barras de ferro (≅ 30 cm), pontiagudas em uma das extremidades e 
com alças na outra, para serem cravadas no solo. São utilizadas para controle do número de vezes 
que o diastímetro é aplicado para a obtenção da medida de uma grandeza. 
 São normalmente compostas por grupos de 10 fichas, presas a uma argola. 
(c) Piquetes e estacas: peças de madeira que são cravadas no terreno para a determinação 
dos pontos. O piquete, geralmente com 20 cm, é cravado na posição do ponto visado, enquanto que 
a estaca, com aproximadamente 40 cm, é cravada a aproximadamente 50 cm do piquete, para 
facilitar a localização deste. 
(d) Dinamômetro: aparelho destinado a medir as tensões aplicadas às trenas, para correção 
dos valores obtidos, nas medidas de maior precisão. 
(e) Termômetro: para medir a temperatura no momento da medição, para efetuar correções 
nas medidas de precisão. 
 
Execução da medida 
 
 Seja, por exemplo, medir o comprimento horizontal do alinhamento AB, com um diastímetro e 
cujo perfil está representado na Fig. 2.10. 
 
 
Figura 2.10 
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Com o teodolito instalado e calado no ponto A (o teodolito é opcional, pode ser posta apenas 
uma baliza), colima-se uma baliza posta sobre o ponto B. O balizeiro de ré segura a graduação zero 
da trena sobre o ponto A e o balizeiro de vante caminha segurando a outra extremidade da trena e 
uma baliza, até que a trena fique estendida. Neste momento, o operador do instrumento indica se o 
balizeiro de vante deve deslocar a baliza para a esquerda ou direita, a fim da linha de visada coincidir 
com o eixo da baliza. Estabelecida a posição correta da baliza na direção AB, a graduação zero da 
trena é mantida firme no ponto A e a graduação 20 m é encostada na baliza, estando a trena na 
horizontal e bem esticada, para diminuir ao máximo a catenária; e assinala-se no terreno o ponto 1, 
com uma ficha; deste modo estará medido um trecho de 20 m. 
 O balizeiro de ré segue para o ponto 1 com o zero da graduação da trena, e o balizeiro de 
vante, caminha na direção do ponto B, com a outra extremidade da trena e a baliza, para efetuar a 
medida do trecho 12, de modo idêntico ao anterior. Procede-se da mesma forma na medida do trecho 
23, com uma trenada de 20 m. 
 Quando o terreno é fortemente inclinado, como no trecho 35, reduz-se a extensão da trena e 
completa-se a medição. 
 A DHAB será: 3.20 + 2.10 + 8,2 = 88,2 m. 
 
3.2. Medida indireta de distâncias 
 
 O processo de medida é indireto quando a distância é obtida em função da medida de outras 
grandezas, não havendo, portanto, necessidade de percorrer a distância. 
 A medida indireta das distâncias é baseada na resolução de triângulos isósceles ou 
retângulos. 
 A taqueometria, do grego “takhys” (rápido), “metren” (medição), compreende uma série de 
operações que constituem um processo rápido e econômico para a obtenção indireta da distância 
horizontal e diferença de nível. 
 
Instrumentos 
 
 O instrumento utilizado são os teodolitos providos de fios estadimétricos, que além de medir 
ângulos, acumulam também a propriedade de medir óticamente as distâncias horizontais e verticais. 
 O instrumento empregado fornece os dados referentes às leituras processadas na mira com 
auxílio dos fios estadimétricos, bem como o ângulo de inclinação do terreno lido, no limbo vertical do 
aparelho. 
 Se observarmos um teodolito, através da ocular, veremos uma série de fios paralelos e 
perpendiculares entre si, como pode ser visto na Fig. 2.11. 
 
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Figura 2.11 
 
As miras são réguas de madeira ou metal usadas no nivelamento para determinação de 
distâncias verticais, medidas entre a projeção do traço do retículo horizontal da luneta na mira e o 
ponto do terreno onde a mira está instalada. 
 As miras mais utilizadas são as “miras falantes”. Geralmente apresentam 4 metros de 
comprimento, sendo graduadas em centímetros. Os centímetros são pintados alternadamente em 
preto e branco, os decímetros numerados em preto e os metros assinalados por círculos pintados em 
preto ou vermelho. 
 As miras normalmente são de encaixe. São constituídas de três peças, encaixadas a primeira 
dentro da segunda e esta na terceira. Um dispositivo com mola fixa uma peça na outra quando a 
mira está completamente distendida, de maneira que a graduação de uma seja a continuação de 
outra. 
 Existem miras com graduação direta e graduação indireta, para leitura com instrumentos de 
luneta de imagem direta ou indireta, respectivamente. 
 Algumas miras vêm acompanhadas de nível esférico, que auxiliam na tarefa de mantê-las 
verticalizadas (Fig. 2.12). 
 A leitura na mira é constituída de um número de quatro casas decimais (metro, decímetro, 
centímetro e milímetro por estimativa). O ponto indica o número de metros; o algarismo o número de 
decímetros; os traços pretos e brancosalternados, o número de centímetros e o número de 
milímetros são estimados. 
 
Princípio da estadimetria 
 
 Pode-se analisar o que se passa na luneta com as linhas de vista inicialmente com a luneta 
em posição horizontal, conforme pode ser visto na Fig. 2.13. 
 
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Figura 2.12 
 
 
 
 
Figura 2.13 
 
 
onde: 
 P é a vista do observador; 
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 C é o eixo vertical do instrumento; 
 F é o foco do sistema; 
 O-O é a ocular da luneta; 
 O’ -O’ é a objetiva da luneta; 
 A é o ponto estação; 
 B é o ponto onde está a mira; 
 c é a distância entre o eixo vertical do instrumento e a objetiva; 
 f é a distância focal; 
 S é distância entre o foco e a mira; e 
 D é a distância entre os pontos A e B. 
 
 Baseando-se na semelhança dos triângulos O’O’I e LsLiF: 
 
 S / f = LsLi / O’O’ (2.6) 
 
Podendo-se dizer: 
 O’O’ = ab = distância entre os dois retículos, que chamamos de intervalo i. Em Ls é feita a 
leitura superior da mira e em Li é feita a leitura inferior. A diferença de leitura Ls - Li nos dá o intervalo 
de leitura de mira ou número gerador (I), portanto: 
 
 S / f = I / i ∴ S = I.(f / i) (2.7) 
 
 Mas quer-se obter D; a distância entre as estacas A e B, sendo D = S + f + C, portanto: 
 
 D = I.(f / i) + (f + C) (2.8) 
 
a relação f / i é chamada de constante multiplicativa e (f + C) é chamada de constante aditiva. 
 Nos teodolitos atuais a constante multiplicativa é igual a 100, para facilitar os cálculos. 
 Nos teodolitos antigos, as medidas eram efetuadas a partir da objetiva (teodolitos não 
analáticos). Para se obter a medida a partir do centro ótico da luneta era necessário adicionar a 
distância entre a objetiva e o centro ótico da luneta, denominada constante aditiva. Nos teodolitos 
atuais (teodolitos analáticos) o ângulo diastimométrico (ângulo formado entre o foco da objetiva e os 
fios estadimétricos) forma-se no centro ótico da luneta, fazendo com que a constante aditiva seja 
igual a zero. 
 Então, a fórmula para o cálculo da distância entre os dois pontos, isto é, o ponto onde está o 
teodolito e o ponto onde está a mira verticalizada, desde que a luneta esteja em posição horizontal, é 
igual ao intervalo de leituras da mira (I) multiplicado pela constante multiplicativa: 
 
 D = I.100 (2.9) 
 
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 Na Fig. 2.14 observa-se linha de vista central inclinanda com um ângulo qualquer (α). 
 Ainda, por semelhança de triângulos tem-se: 
 
 S / f = Ls’Li’ / I (2.10) 
 
Portanto, 
 
 S = Ls’Li’.(f / i) (2.11) 
 
A distância D = S + f + C, portanto, 
 
 D = Ls’Li’ .(f / i) + (f + C) (2.12) 
 
 
 
Figura 2.14 
 
 
Porém, não se conhece a distância Ls’Li’ já que a mira é colocada na posição vertical e Ls’Li’, 
imaginariamente, seria obtida se a mira fosse colocada inclinada perpendicularmente a linha de vista 
central CM. Relacionando Ls’Li’ com LsLi, pode-se dizer que a reta Ls’Li’ é perpendicular à linha de 
vista central e logicamente os ângulos β e γ são diferentes do ângulo reto, já que as linhas de vista 
superior e inferior não são paralelas à linha de vista central. 
 Mas suponha-se que β e γ = 90º, tem-se: 
 
 Ls’M = LsM.cos α (2.13) 
e 
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 Li’M = LiM.cos α (2.14) 
 
Resolvendo: 
 
 Ls’M + Li’M = (LsM + LiM).cos α (2.15) 
 
 Portanto, Ls’Li’ = LsLi .cos α , mas LsLi = I que é o intervalo de leituras de mira, assim: 
 Ls’Li’ = I.cos α ; logo, 
 
 D = I.(f / i).cos α + (f + C) (2.16) 
 
 Assim, a distância horizontal, DH = D . cos α , substituindo, tem-se: 
 
 DH = I.(f / i).cos2 α + (f + C) .cos α (2.17) 
 
Voltando-se, agora, a analisar a suposição de β e γ serem igualados a 90º. Realmente não 
são, porém a diferença é desprezível. β é um pouco maior que 90º e γ é um pouco menor. Faz-se β = 
90º + e e γ = 90º - e , sendo “e” a diferença para 90º. Dos triângulos Ls’LsM e Li’LiM: 
 
 LsM / Ls’M = sen 90º + e / sen [90º - (α + e)] (2.18) 
 
 LiM / Li’M = sen 90º - e / sen [90º - (α - e)] (2.19) 
 
Portanto, 
 LsM + LiM = (Ls’M + Li’M).[cos e / cos (α + e)] + [cos e / cos (α - e)] (2.20) 
 
 
 LsB = Ls’ Li’ .[(cos e / cos (α + e)) + (cos e / cos (α - e))] (2.21) 
 
Por transformações trigonométricas, tem-se: 
 
 Ls’ Li ’ = Ls Li .cos α - Ls Li .(sen2 α / cos α).tg2e (2.22) 
 
 Sendo a constante multiplicativa igual a 100, o valor de “e” será: 
 
tg e = 0,5 / 100 = 0,005 , portanto e = 0º 17’ 11” . 
 
 Simplificando a fórmula do cálculo da distância horizontal, tem-se: 
 
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DH = 100.I.cos2 α (2.23) 
ou 
DH = 100.I.sen2 Z (2.24) 
no caso do teodolito ter o limbo vertical zerado no zênite. 
 
3.3. Medida eletrônica de distâncias 
 
Instrumentos 
 
 O distanciômetro eletrônico (DE) é o instrumento utilizado na medição eletrônica de 
distâncias. O primeiro distanciômetro eletrônico surgiu em 1943,graças ao cientista sueco E. 
Bergstran, que projetou o primeiro DE, que recebeu o nome de Geodimiter NASM-2. 
 O aparecimento dos DEs facilitou muito a medição de distâncias, além de aumentar a 
qualidade das medidas. A precisão das medidas de distâncias saltou da ordem do milímetro para 
décimos de milímetros. 
 O DE, que inicialmente, devido às suas dimensões, era utilizado sozinho, com o avanço da 
tecnologia, passou a ser montado sobre um teodolito. Essa combinação, evidentemente aumentou a 
eficiência da coleta de dados nos trabalhos topográficos. A combinação de um teodolito eletrônico 
com um distanciômetro eletrônico em um único instrumento denomina-se “estação total” (do inglês 
“total station”). A estação total tem a facilidade de um controle central único. 
 
Princípio de medida de distâncias utilizando ondas eletromagnéticas 
 
 O princípio de funcionamento de um distanciômetro eletrônico é baseado na medida da 
diferença de fase, isto é, a medida de tempo que uma onda eletromagnética leva para percorrer duas 
vezes a distância entre o aparelho receptor e um refletor instalado em outro extremo. 
 Pode-se dividir as ondas eletromagnéticas usadas na medida precisa de distâncias, de 
acordo com o seu comprimento de onda, nas seguintes classes: 
 (a) micro-ondas, com comprimento de onda entre 1 e 10 cm; 
 (b) luz visível, com comprimento de onda médio de 0,5 µm; e 
 (c) infravermelho, com comprimento de onda entre 0,72 e 0,94 µm. 
 Quase todos os equipamentos de medição eletrônica de distâncias usados em 
levantamentos são baseados em métodos que utilizam a medida da diferença de fase, considerada 
como parte de um ciclo expresso em unidades de tempo ou de comprimento. 
 Um sinal modulado é transmitido de uma das extremidades da linha a ser medida. Na outra 
extremidade, esse sinal é refletido para a estação origem e o sinal modulado de retorno é então 
analisado. 
 Na Fig. 2.15 tem-se o esquema do percurso de uma onda eletromagnética numa distância D. 
 
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23 
 
 
 
 
Figura 2.15 
 
 
A distância D, entre o sinal transmitido e o sinal refletido, pode ser expressa da seguinte 
forma: 
 
 D = m. λ / 2 + U (2.26) 
onde: 
m representa o número de meio-comprimento de onda; 
λ representa o comprimento da onda de modulação básica; e 
U representa a tração do meio-comprimento de onda. 
 
O instrumento obtém eletronicamente os valores de m e de U. Geralmente m é obtido pela 
combinação apropriada de ondas com frequências diferentes. U é resultado da transformação do 
valor obtido eletronicamente para a diferença de fase, e para a obtenção deste valor, diferentes 
distanciômetros podem utilizar diferentes componentes eletrônicos. 
 O comprimento de onda λ é uma função da frequência de modulação f e da velocidade v de 
propagação das ondas eletromagnéticas: 
 
 λ = v / f (2.26) 
 
 No vácuo, a velocidade de propagação é constante para todas as ondas eletromagnéticas, 
sendo igual a: c = 299.792,5 km/s; conforme recomendação da União Geodésica e Geofísica 
Internacional (1957). 
 Na atmosfera, a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas (v) é sempre menor 
que a velocidade de propagação no vácuo e pode ser calculada por: 
 
 v = c / n (2.27) 
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onde n é o índice de refração do ar, que é uma função da densidade do ar e do comprimento da onda 
portadora. 
 O valor de n pode ser determinado com base em medidas meteorológicas da temperatura, 
pressão e umidade do ar ao longo da linha que liga os dois pontos cuja distância é desejada. Por esta 
razão, o valor do comprimento do sinal modulado é desconhecido durante a medição, a menos que o 
índice de refração seja conhecido, então: 
 
 λ = c / n.f (2.28) 
 
pode ser calculado. A frequência f de modulação pode ser estabilizada e é usualmente conhecida 
com alto grau de precisão. 
 O fabricante usualmente dá o valor de λ = λ1 para condições atmosféricas específicas, isto é, 
para um certo valor de n = n1. Então: 
 
 λ1 = c / n1.f (2.29) 
 
 Por esta razão, a distância que é registrada pelo medidor eletrônico de distâncias é igual a: 
 D1 = U1 + m. λ1 / 2 (2.30) 
 
onde U1 é uma fração de λ1 / 2. 
 
 Se durante as medidas o índice de refração é diferente do valor padrão do fabricante, então, 
o valor do comprimento de onda será: 
 
 λ2 = c / n2.f (2.31) 
 
e a distância medida é: 
 
 D = m. λ2 / 2 + u2 (2.32) 
 
 Das equações (2.31) e (2.32) tira-se: 
 
 λ2 = λ1 .n1 / n2 (2.33) 
 
e, finalmente, a distância correta pode ser igual a: 
 
 D = u1.n1 / n2 + m. λ1.n1 / 2.n2 = D1.n1 / n2 (2.34) 
 
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25 
 
 A equação (2.34) corresponde a fórmula básica para a correção da distância medida de 
acordo com as condições atmosféricas no instante em que foi efetuada a medição. 
 O centro eletrônico do instrumento medidor eletrônico de distâncias geralmente não coincide 
exatamente com o centro geométrico de centragem, logo, tem-se que acrescentar (ou subtrair) à 
distância uma constante denominada “erro de zero” ou “constante aditiva” (Zo). Devem-se realizar 
correções adicionais para reduzir a distância medida na superfície ao elipsóide ou ao plano de 
referêcia de trabalho. 
 A distância final reduzida Do é calculada da seguinte forma: 
 
 Do = D1.n1 / n2 + Zo + ∆D (2.35) 
 
onde: 
D1 é a distância medida; 
n1 é o índice de refração aceito pelo laboratório de calibração; 
n2 é o índice de refração durante a medida de campo (a ser determinado pelo observador); 
Zo é o erro de zero; e 
∆D é uma composição de correções devido às reduções da medida efetuada na superfície terrestre 
até atingir o elipsóide ou o plano de referência de trabalho. 
 
Instrumentos que usam micro-ondas:Os instrumentos que usam micro-ondas tem comprimentos de onda da ordem de alguns 
centímetros. Nos equipamentos telurômetros, os primeiros modelos tinham comprimentos de onda de 
3 a 10 cm, e o modelo mais recente, o MRA-4, tem um valor de λ em torno de 9 mm. 
 Devido ao curto comprimento de onda, a propagação é direta, podendo em certas 
circunstâncias haver reflexões no solo. 
 Os sinais são irradiados de dipolos de meia onda, colocados no ponto focal do refletor 
parabólico, com isso obtém-se uma propagação bastante direcional, sendo o ângulo do cone de 
divergência uma função das dimensões do refletor e comprimento de onda usado. 
 Como o sinal é direto, o alcance do instrumento é limitado à linha de visada, o que implica em 
distâncias normalmente menores que 100 km. 
 O equipamento pode ser utilizado de dia ou à noite, e mesmo a fraca visibilidade não impede 
as operações de medida. No caso de chuva o alcance diminui, principalmente com o uso de 
comprimentos de onda menores, como é o caso do MRA-4. 
 Os equipamentos com micro-ondas utilizam a modulação em frequência da onda portadora, e 
utilizam diversas frequências para a eliminação de ambiguidades. 
 A frequência mais alta define o limite de precisão possível, sendo que os instrumentos mais 
recentes utilizam uma frequência em torno de 7,5 MHz. A medida é o dobro deste valor, o que 
corresponde a um meio de comprimento de onda de 10 m. Como é possível medir 1 / 1.000 partes do 
ciclo, tem-se uma resolução de 1 cm. Como há a possibilidade de medir longas distâncias e 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
26 
 
considerando-se a resolução de 1 cm, as condições atmosféricas tem grande influência, e 
normalmente são feitas medidas meteorológicas nas extremidades da linha. As experiências têm 
indicado que uma precisão da ordem de 3 ppm (partes por milhão) pode ser obtida com cuidadosas 
observações meteorológicas. 
 Na realidade, é da definição aproximadamente precisa do índice de refração do percurso no 
instante da medição, que se pode obter uma maior ou menor precisão. 
 Nas pequenas distâncias, da ordem de 1 km, os erros instrumentais têm maior peso, 
bastando efetuar as medidas em uma das extremidades da linha. 
 Os equipamentos com micro-ondas foram concebidos para medidas geodésicas, isto é, 
bases de triangulações, poligonações de precisão ou trilaterações de lados curtos, mas a segurança 
nas medidas, facilidade de operação, preço relativamente baixo, permitiu uma utilização mais ampla, 
de maneira que qualquer distância superior a 100 m pode, com grandes vantagens, ser medida com 
equipamento eletrônico, havendo necessidade de obtenção de uma precisão acima de 1/10.000 ou 
1/20.000. 
 Somente os últimos modelos permitem sua utilização em túneis, pois os feixes dos primeiros 
era muito grande, produzindo problemas com reflexões. 
 
Instrumentos que usam luz visível: 
 
 Nos instrumentos que usam luz visível, uma lâmpada emite luz que passa por um primeiro 
prisma de Nicol (ou filtro polaroide) que produz uma polarização segundo um plano, e se a célula 
Kerr não estiver funcionando, a luz não passa pelo segundo prisma de Nicol, por estar o mesmo 
cruzado em relação ao primeiro. 
 Porém, a célula Kerr sob a influência da voltagem aplicada pelo oscilador controlado por 
cristal, gira o plano de polarização em função da diferença de potencial em cada instante, portanto, 
uma parte do feixe pode atravessar o segundo prisma de Nicol. Em outras palavras, a quantidade de 
luz transmitida é proporcional à voltagem e, portanto, à rotação produzida pela célula Kerr, e o feixe 
agora modulado em intensidade na frequência de modulação, é transmitido por um espelho côncavo 
para o refletor. O feixe de luz que retorna para o instrumento é recebido por um outro espelho que 
focaliza o feixe no foco do primeiro cátodo da válvula fotomultiplicadora. 
 A corrente que flui da válvula fotomultiplicadora varia com a intensidade da luz que incide no 
segundo espelho e com a voltagem aplicada a ela, de acordo com o segundo gerador controlado por 
cristal. 
 O primeiro gerador funciona na frequência de aproximadamente 30 MHz e o segundo em 
aproximadamente 30,0015 MHz, ou seja, 1,5 KHz acima do primeiro. 
 O sinal de saída do fotomultiplicador tem um valor de 1,5 KHz e fase φ2 relacionada com o 
sinal de saída de 30 MHz. 
 Por outro lado, os sinais dos dois geradores controlados por cristal são levados para um 
misturador que determina a diferença dos sinais de 1,5 KHz, com a fase φ1 da onda emitida que é a 
referência de medida de fase. 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
27 
 
 Portanto, pode ser medida a diferença de fase φ2 e φ1 utilizando um resolvedor, isto é, a fase 
de referência φ1 é retardada até que os dois valores, φ1 e φ2, se igualem dando um valor de zero no 
indicador de nulo, sendo o seu valor indicado no dial de leitura digital. 
 Nestes instrumentos a propagação da luz é direta e dificilmente ocorrem reflexões 
secundárias, pois a maior parte das superfícies encontradas na natureza não produz fortes reflexões 
para esse comprimento de onda. Por outro lado, durante o dia sempre existe a entrada de outras 
luzes no sistema ótico, reduzindo, assim, sua potencialidade de medida. 
 O feixe é altamente colimado com uma divergência de apenas frações do grau, razão pela 
qual o receptor ótico tem um diâmetro bastante pequeno e, portanto, pequeno ângulo de aceitação. 
 Com exceção dos equipamentos providos com laser, o alcance em geral é bem menor do 
que os instrumentos que usam micro-ondas, sendo que à noite o alcance aumenta. Por outro lado, o 
chuvisco ou neblina diminuem bastante o alcance. 
 O índice de refração afetado pelas condições atmosféricas é pouco influenciável para o curto 
comprimento de onda usado, e a umidade que tem grande importância nas medidas com micro-
ondas é de pequena influência no geodímetro, principalmente devido a essas razões, o erro externo 
agora é considerado com um valor de 1 ppm. Para linhas curtas basta tomar as medidas 
meteorológicas em uma extremidade da linha. A curvatura do percurso somente é levada em conta 
para as maiores distâncias e o seu valor é bastante pequeno. 
 Com luz visível, as leis da ótica geométrica podem ser aplicadas com maior precisão aos 
transmissores e refletores dos sinais, pois o percurso da onda é mais bem definido e também é mais 
estável. 
 Em geral, os equipamentos eletro-ópticos são mais apropriados para medir distâncias 
menores para a obtenção de alta precisão, sendo o erro de zero o mais importante fator de sua 
limitação em precisão. 
 O uso do equipamento é bastante aplicado na engenharia civil, podendo ser usado na 
abertura de túneis ou minas, barragens, pontes, instalação de máquinas, etc.; e no levantamento de 
campo, medidas de bases de triangulações, poligonais de precisão ou trilaterações de lados curtos. 
 
Instrumentos que usam infravermelho: 
 
 Os instrumentos que usam infravermelho como onda portadora têm um comprimento de onda 
em torno de 0,9 µm. 
 O índice de refração padrão usados para os instrumentos a infravermelho é tomado 
geralmente como 1,00028 e para uma precisão de 1 ppm a temperatura deve ser obtida com erro 
inferior a 3 mm Hg. 
 Na região do infravermelho a atmosfera tem uma forte absorção, com exceção da região 
entre 0,72 µm e 0,94 µm, que é chamado de “janela do infravermelho”, que implica no uso desta 
região em todos osinstrumentos. 
 Todos os equipamentos que funcionam na região do infravermelho são limitados pela 
potência de saída da fonte, que é um diodo luminescente de arseniato de gálio, que emite radiação 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
28 
 
incoerente de aproximadamente 0,9 µm e que tem como principal característica a de poder ser 
modulado diretamente em intensidade. 
 O diodo consiste em dois extratos semicondutores, um dos quais é um condutor positivo 
(falta de elétrons) e o outro negativo (excesso de elétrons). Na zona de depleção, os elétrons podem 
ser levados a um estado de maior energia com a aplicação de uma corrente de excitação, e a energia 
se desprende sob a forma de radiação luminosa espontânea. A radiação emitida pelo diodo é 
proporcional à corrente de excitação, ou corrente aplicada. 
 
Outros instrumentos 
 
 Outro instrumento utilizado para a medição eletrônica de distâncias é a trena laser DISTO, 
fabricada exclusivamente pela empresa Leica (Wild do Brasil S.A.). A trena laser não possui a 
precisão de um distanciômetro eletrônico, porém possui uma precisão razoável e é muito prática, por 
ser de reduzido tamanho. 
 A trena laser é um instrumento eletro-ótico de medição de pequenas distâncias. Utiliza o raio 
laser visível. 
 O raio laser projeta um ponto luminoso que indica exatamente o lugar medido. 
 Com o refletor a trena laser tem um alcance de até 100 m, e sem, de até 30 m. 
 A trena laser pode ser conectada no teodolito e, ainda, pode-se acoplar à trena um telescópio 
para medidas mais longas. 
 A trena laser é bastante utilizada para efetuar medidas em minas subterrâneas, onde muitas 
vezes o acesso a um ponto é difícil. Como o instrumento calcula rapidamente a área e o volume de 
superfícies medidas, a partir de valores memorizados, se torna muito útil para cálculos preliminares 
de custos e mão-de-obra. 
 
 
4. Medidas de ângulos: métodos e instrumentos (analógicos e eletrônicos) 
 
4.1. Instrumentos 
 
Teodolito ótico (Mecânico) 
 
 0 Teodolito é um instrumento capaz de medir tanto ângulos horizontais como verticais. 
 O teodolito consta essencialmente das seguintes partes: uma base provida de três ou quatro 
parafusos niveladores (parafusos calantes), contendo um limbo graduado destinado à leitura dos 
ângulos horizontais. Em torno do eixo concêntrico com o círculo horizontal giram os montantes da 
luneta e o limbo vertical do instrumento. O eixo YY’ é denominado eixo vertical de rotação ou eixo 
principal. O eixo XX’ é denominado de eixo horizontal ou eixo secundário (Fig. 2.16). 
 Para a leitura dos ângulos horizontais, os montantes arrastam consigo a alidade do 
instrumento, que possui dois índices de referência diametralmente opostos; estes índices podem ser 
de vernier ou micrômetro e permitem apreciar frações dos ângulos menores que cada divisão do 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
29 
 
limbo horizontal. Para a leitura dos ângulos verticais a luneta gira em torno do eixo horizontal XX’, 
levando em seu movimento índices de leitura, também por vernier ou por micrômetro, podendo-se 
apreciar as frações da divisão do círculo vertical. 
 São, então, em número de três os eixos fundamentais do instrumento: eixo principal (YY’), 
eixo secundário (XX’) e o eixo de colimação (LL’). O eixo principal passa pelo centro do aparelho e 
pelo centro do limbo horizontal; o eixo secundário é o eixo de rotação da luneta, e o eixo de 
colimação passa pelo centro do aparelho e pelo cruzamento dos fios do retículo. Estes três eixos, 
portanto, cruzam-se no centro do instrumento. 
 
 
Figura 2.16 
 
Componentes de um Teodolito 
 
 A seguir serão apresentadas as componentes de um teodolito e as suas funções: 
 
(a) Elementos de visada: 
• Luneta astronômica: fornece imagem invertida; e 
• Luneta terrestre: fornecem imagem direta. 
 
 A luneta do teodolito é constituída de um tubo em cujas extremidades se situam a objetiva e a 
ocular. A objetiva é um sistema de lentes com a função de fornecer a imagem do objeto visado, e a 
ocular é uma lente cuja função é aumentar as dimensões do objeto. Na extremidade da ocular estão 
alojados os fios de retículo, formados por dois fios ortogonais: um é o fio colimador (vertical) e o outro 
é o fio nivelador (horizontal). 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
30 
 
 
(b) Elementos de leitura de ângulos: 
 Nos teodolitos, as leituras de ângulos são feitas nos limbos graduados. Geralmente, quando 
se mede um determinado ângulo, o índice de leitura do visor cai entre duas divisões do limbo, de 
maneira que é preciso medir esta fração do limbo, para se ter o ângulo determinado com a 
aproximação do instrumento. Assim, torna-se necessário adaptar ao limbo dispositivos capazes de 
medir frações da menor divisão. Tais dispositivos são: 
• nônio ou vernier; 
• microscópio de estima; 
• microscópio de escala; 
• microscópio de vernier; e 
• microscópio micrométrico. 
 
(c) Elementos de sustentação: 
• tripé; 
• plataforma ou prato do tripé; e 
• parafuso de fixação (fio de prumo). 
 
(d) Elementos de manobra: 
• parafusos calantes ou niveladores; 
• parafuso do movimento geral (controla o movimento da alidade); 
• parafuso do movimento particular (controla o movimento do limbo); e 
• fixação do eixo horizontal de rotação da luneta. 
 
(e) Elementos de ajuste: 
• parafuso de chamada do limbo horizontal; 
• parafuso de chamada do limbo vertical; e 
• parafuso de chamada do movimento geral. 
 
 Os elementos de ajuste são elementos indispensáveis para a obtenção de uma coincidência 
perfeita da linha de colimação com o objeto visado. 
 
(f) Elementos acessórios: 
• níveis de bolha de ar: destinados ao nivelamento do aparelho; 
• fio de prumo ou prumo ótico: permite a coincidência do centro do instrumento com o ponto 
da estação; 
• lupas ou microscópios: para facilitar a leitura do limbo; 
• bússola; e 
• alça de mira. 
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31 
 
 
Teodolito eletrônico 
 
 Os teodolitos eletrônicos são instrumentos que permitem a medição eletrônica dos ângulos 
verticais e horizontais. 
 Os teodolitos eletrônicos surgiram na década de 70. A diferença essencial em relação aos 
teodolitos clássicos se dá na substituição do leitor ótico de um círculo graduado por um sistema de 
captores eletrônicos. 
 Os teodolitos eletrônicos possuem as mesmas características construtivas de um teodolito 
clássico, sendo um aparelho de alta precisão, composto por partes mecânicas e eletrônicas. 
 A medida eletrônica dos ângulos é baseada na leitura digital de um círculo graduado em 
forma binária. 
 Além da leitura automática de ângulos, uma outra característica importante dos teodolitos 
eletrônicos é a existência de um compensador eletrônico. O compensador eletrônico permite corrigir, 
automaticamente, os possíveis erros de calagem do eixo vertical do teodolito e corrigir, desta forma, 
os valores das direções horizontais e verticais lidas. 
 Em termos de eficiência, o teodolito eletrônico apresenta fundamentalmente três vantagenscom relação aos teodolitos mecânicos: 
 (a) os ângulos medidos passaram a ser exibidos diretamente em um visor de cristal líquido; 
 (b) os distanciômetros eletrônicos passaram a ser conectados diretamente ao teodolito; o 
processador central do teodolito passou a controlar também o distanciômetro; e 
 (c) a leitura automática dos ângulos e das distâncias, na composição teodolito 
eletrônico/distanciômetro, permitiu a adição de uma caderneta eletrônica ao conjunto. 
 
4.2. Métodos de medições de ângulos 
 
 Em geral, nos levantamentos topográficos são empregados 4 processos de medição de 
ângulos horizontais: 
 
 (a) medida simples; 
 (b) ângulo duplo; 
 (c) repetição; e 
 (d) reiteração. 
 
Medida simples 
 
 É o processo mais simples de medição de um ângulo, pois o valor do ângulo é medido uma 
única vez. 
 Considerando-se a Fig. 2.17, seja medir o ângulo α entre dois alinhamentos OA e OB. 
 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
32 
 
Procedimento: 
 
1) instalar e nivelar o teodolito no ponto O; 
2) soltar os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo; 
3) acertar, aproximadamente, o zero do vernier e o do limbo horizontal e fixar o parafuso de 
movimento do limbo; 
4) acertar, exatamente, zero a zero, usando o parafuso micrométrico do movimento do limbo; 
5) girar a alidade, visar o ponto A com o auxílio da alça de mira e fixar o movimento da alidade; 
6) fazer a colimação perfeita do ponto A com o parafuso micrométrico do movimento da alidade; 
7) soltar os parafusos de movimento do limbo e da alidade e visar o ponto B, com a alça de mira; 
8) fixar o parafuso do movimento da alidade e fazer a colimação perfeita do ponto B com o auxílio do 
parafuso micrométrico; 
9) fixar o parafuso do movimento do limbo e fazer a leitura do ângulo α. 
 
 A realização da medida de ângulos horizontais é sempre feita no sentido horário, ou seja, da 
esquerda para a direita. 
 Zerar o vernier com o limbo horizontal é opcional: pode-se visar o ponto A e anota-se a leitura 
do limbo horizontal (LA). O zero do limbo horizontal está em uma posição qualquer, e em seguida 
visa-se o ponto B, anotando-se a leitura do limbo (LB); então α = LB - LA. 
 
 
Figura 2.17 
 
Ângulo duplo 
 
 O procedimento é o mesmo efetuado na medição simples, do ítem 1 ao 9, com acréscimo: 
10) depois de obter a leitura do ângulo α; solta-se o parafuso do movimento da alidade e mantém-se 
fixo o parafuso do movimento do limbo; 
11) visa-se novamente o ponto A e fixa-se o movimento da alidade; 
12) faz-se a perfeita colimação com o parafuso micrométrico; 
13) soltam-se os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo e torna-se a visar o ponto B; 
fixando-se então, o movimento da alidade; 
14) faz-se a colimação perfeita do ponto B com o parafuso micrométrico e então fixa-se o limbo; 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
33 
 
15) o ângulo lido no limbo representa o duplo valor do ângulo procurado = 2α; podendo haver apenas 
o erro de precisão do instrumento. 
 
 
5. Levantamento planimétrico por Caminhamento Perimétrico 
 
 Por levantamento planimétrico se entende como sendo o conjunto de operações que tem por 
objeto a determinação da posição relativa de feições naturais ou artificiais na superfície terrestre 
destinada à determinação da projeção horizontal. Nos levantamentos planimétricos pode-se 
considerar duas fases distintas. A inicial é constituída pelos trabalhos de campo. A outra é formada 
pelos trabalhos de escritório incluindo entre outras operações o planejamento do trabalho a realizar, 
os cálculos, plantas e a elaboração de relatórios. 
 Na fase dos trabalhos de campo, nos levantamentos planimétricos, deve-se considerar o 
instrumental a ser utilizado no levantamento, os métodos existentes de levantamento e o problema da 
orientação do trabalho. 
 Os levantamentos planimétricos, geralmente, têm por objetivo: 
 a) determinar a situação de determinados detalhes na configuração do terreno; e 
 b) a sinalização ou a locação de pontos ou de distâncias e azimutes de alinhamentos dados, 
que haverão de servir de base para o projeto de certas obras. 
 Pode ser que um mesmo levantamento planimétrico satisfaça aos dois objetivos anteriores. 
 O método do caminhamento perimétrico consiste em percorrer o polígono efetuando-se a 
medida de cada um dos lados, e dos ângulos horizontais em cada um dos vértices. Os ângulos 
horizontais podem ser medidos pelos processos das deflexões ou ângulos internos, sendo mais 
comum o processo dos ângulos internos. 
 Mede-se, ainda, a orientação de um dos lados do polígono. 
 Costuma-se percorrer a poligonal no sentido anti-horário. 
 Quanto à forma as poligonais podem ser classificadas em: (a) poligonais fechadas, que 
iniciam e terminam no mesmo ponto. Estas poligonais são controladas com erro angular e linear, 
podendo ter as coordenadas dos vértices ajustadas; (b) poligonais apoiadas ou fechadas em bases 
diferentes, partem de pontos com coordenadas conhecidas e chegam em pontos com coordenadas 
também conhecidas; e (c) poligonais abertas, aquelas que partem de pontos conhecidos por suas 
coordenadas e terminam em pontos de coordenadas não conhecidas. 
 Ainda, quanto à precisão, as poligonais são classificadas como principais ou secundárias. A 
poligonal principal é a que constitui o arcabouço do levantamento, geralmente posicionada nos limites 
da área a ser levantada. A poligonal secundária são poligonais apoiadas ou que se desenvolvem 
entre dois vértices da poligonal principal. 
 É o método de levantamento de poligonais mais utilizado na prática, por ser o mais preciso. 
Quando a poligonal é eletrônica, ou seja, a medição das distâncias é feita pelo distanciômetro 
eletrônico, a precisão do levantamento aumenta consideravelmente. 
 
 
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34 
 
Procedimentos de campo 
 
 Para realizar um caminhamento perimétrico com medição dos ângulos internos, deve-se 
orientar o caminhamento da poligonal no sentido contrário à graduação do limbo, a fim de se ter a 
leitura direta dos ângulos. 
 A medida dos ângulos, geralmente é feita pelo método do ângulo duplo ou da reiteração, 
sempre no sentido horário. 
 A medida das distâncias é normalmente feita de forma direta, com a trena, ou então com 
distanciômetro eletrônico. 
 É necessário, ainda, orientar um dos alinhamentos da poligonal. Orientar um alinhamento é 
assegurar sua posição em respeito a alguma direção inicial. As linhas que representam a direção 
inicial em topografia são as linhas do meridiano verdadeiro e do meridiano magnético, assim como a 
imagem de um meridiano central de um fuso. 
 Um meridiano verdadeiro é a linha traçada sobre a superfície da Terra por um plano 
passando ao longo de um ponto dado e o eixo de rotação da Terra. 
 Um meridiano magnético é dado por um plano vertical através dos pólos da agulha 
magnética em um ponto dado. 
 Um meridiano central é o que passa através do meio do fuso. 
 A linha do meridiano verdadeiro é estabelecida a partir de observações astronômicas. 
Alternativamente pode ser encontrada fazendo-se uso de teodolitos giroscópios, desde que se 
conheçam suas constantes de calibração. 
 A linha do meridiano magnético é estabelecidapelo eixo da agulha de uma bússola. 
 Os meridianos verdadeiros e magnéticos em um mesmo ponto da superfície terrestre 
dificilmente coincidem, e formam entre si um ângulo δ denominado de declinação magnética. 
 A declinação magnética será negativa se o meridiano magnético deflete a oeste do 
verdadeiro e será positiva em caso contrário. 
 Para que um trabalho fique orientado, torna-se necessário determinar o azimute de um 
alinhamento. O azimute pode ser medido em relação ao meridiano verdadeiro ou magnético, devendo 
ser acrescido esses termos à palavra azimute. Assim, pode-se ter azimute verdadeiro ou azimute 
magnético. 
 
 
 Exemplo: 
Seja o levantamento planimétrico pelo método do caminhamento perimétrico da poligonal fechada 
ABCD: 
 
 
 
 
 
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35 
 
Planilha de Campo: 
 
Estação Ponto 
Visado 
Angulo horizontal DH(m) 
Simples Duplo 
A 
 
D 0°00’ 90°14’30” 27,83 
B 90°14’30” 180°29’ 137,42 
B 
 
A 0°00’ 89°44’ 137,42 
C 89°44’ 179°29’ 28,17 
C 
 
B 0°00’ 90°05’ 28,17 
D 90°05’ 180°09’ 137,36 
D 
 
C 0°00’ 89°55’ 137,86 
A 89°55’ 179°49’ 27,83 
 
Observações e croqui: 
 
AzAB = 159º15’ 
 
 
Figura 2.18 
 
Cálculo do Erro angular de fechamento da poligonal: 
 
ΣAi = (n–2)180° 
 
Onde: 
Ai = ângulo lido = ângulo duplo/2 
n = n° de vértices 
 
Portanto: 
 
ΣAi = (4-2)180° = 360° 
ΣAi lidos =359°58’00” 
 
EA=ΣAi lidos–ΣAi 
 
Onde: 
EA = erro angular 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
36 
 
 
Portanto: 
 
EA=359°58’00” – 360°= – 0°02’ 
 
EAT = ± 1’ √ n 
 
Onde: 
 
EAT = erro angular tolerável 
n = n° de vértices 
 
Portanto: 
 
EAT = ± 1’ √ 4 = ± 2’ 
 
 
5.1. Distribuição dos erros 
 
 Vamos demonstrar este item através de um exemplo prático de um levantamento 
planimétrico através do método do Caminhamento perimétrico. Seja o polígono abcd, levantado 
através de uma poligonal de apoio ABCD. 
 
 
 Croqui: 
 
 
 
 
 
Figura 2.19 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
37 
 
 
Planilha de campo: 
 
Estação Ponto 
visado
Ângulo horizontal DH (m) 
Simples Duplo 
 
A 
D 0°00’00” 90°49’50” 31,00 
B 90°49’50” 181°39’40” 65,62 
a 19°23’40” – – – 8,07 
 
B 
A 0°00’00” 88°35’00” 65,02 
C 88°35’00” 177°10’00” 31,61 
b 73°04’20” – – – 8,46 
 
C 
B 0°00’00” 90°45’10” 31,61 
D 90°45’10” 181°30’20” 65,28 
c 16°08’10” – – – 5,83 
 
D 
C 0°00’00” 89°49’20” 65,28 
A 89°49’20” 179°38’40” 31,00 
d 62°02’00’ – – – 6,00 
 
 
 
 
 Planilha de calculo analítico: 
 
 
Est P.V. Ai 
Lido 
Ai comp. Az. DH 
(m) 
Proj. Calc. Correções Proj. Comp. Coordenadas 
X Y Cx Cy X’ Y’ X Y 
A B 90°49’50” 90°50’00” 313°12’50” 65,62 -47,82 44,93 0,03 00,4 -47,85 44,89 0,00 0,00 
B C 88°35’00” 88°35’10” 221°48’00” 31,61 -21,07 -23,56 0,02 0,02 -21,09 -23,58 -47,85 44,89
C D 90°45’10” 90°45’20” 132°33’20” 65,28 48,09 -44,15 0,03 0,04 48,06 -44,19 -68,94 21,31
D A 89°49’20” 89°49’30” 42°22’50” 31,00 20,90 22,90 0,02 0,02 20,88 22,88 -20,88 -22,88
 Σ 359°59’20” 360° — — — 193,51 ∆X=0,10 ∆Y=0,12 0,10 0,12 0,00 0,00 — — — — 
 
 
 
 
a) Erro angular: 
 
Angulo lido = ang. Duplo/2 
 
 O erro angular é determinado pela fórmula: 
 
EA =ΣAi – [(n-2) . 180°] 
 
Onde: 
EA = erro angular; 
ΣAi = somatório dos ângulos internos lidos; e 
n = número de vértices da poligonal. 
 
Neste caso: 
 
∑AiLIDOS = 90º49’50” + 88º35’00” + 90º45’10” + 89º49’20” = 359º59’20” 
 
Portanto, o EA = 0°00’40” 
 
O erro angular tolerável é dado pela fórmula: 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
38 
 
 
EAT = P. √ n 
 
Onde: 
EAT = erro angular tolerável; e 
P = precisão do instrumento. 
 
b) Distribuição do erro angular: 
 
 Normalmente o erro angular é distribuído por vértice em quantidades iguais, embora a prática 
tem demonstrado que nas maiores distâncias os erros angulares são menores. 
 
 Ai comp.=EA/n 
 
c) Ângulo compensado: 
 
 O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro no ângulo lido. 
 O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da poligonal. O sinal da 
correção deverá ser contrário ao do erro. 
 
d) Azimutes: 
 
 A partir do primeiro azimute, medido no campo, são calculados os azimutes dos demais 
alinhamentos. 
 
Azn =(Azn-1 + Ai ) +180° 
 
Onde: 
Azn = azimute do alinhamento; 
Azn-1 = azimute do alinhamento anterior; e 
Ai = ângulo interno do vértice comum aos dois alinhamentos. 
 
 Se o caminhamento for à direita ou no sentido anti-horário, a fórmula fica: 
Azn =(Azn-1 + Ai ) +180° , porém, se o caminhamento for à esquerda ou no sentido horário a fórmula 
fica: Azn =(Azn-1 - Ai ) +180°. 
 
 Se Azn-1 + Ai < 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) + 180°, porém, se Azn-1 + Ai > 180º, a 
fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) - 180°. 
 
Neste caso, 
 
 AzBC = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 88º35’10”) - 180º = 221º48’00” 
 AzCD = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 90º45’20”) - 180º = 132º33’20” 
 AzDA = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 89º49’30”) - 180º = 42º22’50” 
 
 
e) Projeções: 
 
 As projeções são calculadas da seguinte forma: 
 
x =DH . sem Az 
y =DH . cos Az 
 
Onde: 
 
x = projeção no eixo x; 
y = projeção no eixo y; 
DH = distância horizontal do alinhamento; e 
Az = azimute do alinhamento. 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
39 
 
 
Neste caso: 
 
 xAB = DHAB . sen AzAB = 65,62 . sen 313º12’50” = - 47,82 
 yAB = DHAB . cos AzAB = 65,62 . cos 313º12’50” = 44,93 
 
 xBC = DHBC . sen AzBC = 31,61 . sen 221º48’00” = - 21,07 
 yBC = DHBC . cos AzBC = 31,61 . cos 221º48’00” = - 23,56 
 
 xCD = DHCD . sen AzCD = 65,28 . sen 132º33’20” = 48,09 
 yCD = DHCD . cos AzCD = 65,28 . cos 132º33’20” = - 44,15 
 
 xDA = DHDA . sen AzDA = 31,00 . sen 42º22’50” = 20,90 
 yDA = DHDA . cos AzDA = 31,00 . cos 42º22’50” = 22,90 
 
f) Erro linear: 
 
 O erro linear é determinado pela fórmula: 
 
EL = √ (∆x)2 + (∆y)2 
 
Onde: 
 
EL = erro linear; 
∆x = somatório das projeções do eixo x; e 
∆y = somatório das projeções do eixo y. 
 
Neste caso, EL = 0,16 m 
 
O erro linear tolerável é dado pela fórmula: 
 
ELT = 0,8 . √ PERÍMETRO (km) 
 
 
Onde: 
 
ELT = erro linear tolerável. 
 
Neste caso, ELT = 0,35 m 
 
 
g) Correção das projeções: 
 
 A correção do erro linear, nos eixos x e y, é dada pela fórmula: 
 
Cx = ∆x . DH/perim. 
Cy = ∆y . DH/perim. 
 
Onde: 
 
Cx = correção da projeção no eixo x; 
Cy = correção da projeção no eixo y; 
DH = distância horizontal do alinhamento; 
∆x = somatório das projeções do eixo x; e 
∆y = somatório das projeções do eixo y. 
 
Atenção, o sinal da correção é contrário ao sinal do erro. 
 
Neste caso: 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek40 
 
 
 CxAB = ∆x . DHAB / PERÍMETRO = 0,10 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,03 
 CyAB = ∆y . DHAB / PERÍMETRO = 0,12 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,04 
 CxBC = ∆x . DHBC / PERÍMETRO = 0,10 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02 
 CyBC = ∆y . DHBC / PERÍMETRO = 0,12 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02 
 
 CxCD = ∆x . DHCD / PERÍMETRO = 0,10 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,03 
 CyCD = ∆y . DHCD / PERÍMETRO = 0,12 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,04 
 
 CxDA = ∆x . DHDA / PERÍMETRO = 0,10 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02 
 CyDA = ∆y . DHDA / PERÍMETRO = 0,12 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02 
 
 
h) Projeções compensadas: 
 
 A projeção compensada é calculada adicionando ou subtraindo o erro na projeção calculada: 
 
X’= x + |Cx| 
Y’= y + |Cy| 
 
Onde: 
X’ e Y’ = projeções compensadas nos eixos X e Y, respectivamente; 
X e y = projeções calculadas nos eixos X e Y, respectivamente; e 
Cx e Cy = correções das projeções nos eixos x e y, respectivamente. 
 
 
Neste caso: 
 
 X’AB = xAB ± ⏐CxAB ⏐= - 47,82 - 0,03 = - 47,85 
 Y’AB = yAB ± ⏐CyAB ⏐= 44,93 - 0,04 = 44,89 
 
 X’BC = xBC ± ⏐CxBC ⏐= - 21,07 - 0,02 = - 21,09 
 Y’BC = yBC ± ⏐CyBC ⏐= - 23,56 - 0,02 = - 23,58 
 
 X’CD = xCD ± ⏐CxCD ⏐= 48,09 - 0,03 = 48,06 
 Y’CD = yCD ± ⏐CyCD ⏐= - 44,15 - 0,04 = - 44,19 
 
 X’DA = xDA ± ⏐CxDA ⏐= 20,90 - 0,02 = 20,88 
 Y’DA = yDA ± ⏐CyDA ⏐= 22,90 - 0,02 = 22,88 
 
Obs: Se a correção está correta, o somatório das projeções deverá ser igual a zero. 
 
 
5.2. Cálculo de Coordenadas 
 
 
a) Coordenadas dos vértices da poligonal de apoio: 
 
 As coordenadas são calculadas por soma algébrica das projeções compensadas, partindo 
das coordenadas do ponto inicial: 
 
Xn= Xn-1+X’ 
Yn= Yn-1+Y’ 
 
Onde: 
Xn= abcissa do ponto; 
Yn= Ordenada do ponto; 
Xn-1= abcissa do ponto anterior; 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
41 
 
Yn-1 = ordenada do ponto anterior; 
X’ = projeção compensada no eixo x; e 
Y’ = projeção compensada no eixo y. 
 
OBS: ponto conhecido é colocado na origem. 
 
Neste caso: 
 
 Vamos arbitrar que XA = 0,00 e YA = 0,00. 
 
 XB = XA + X’AB = 0,00 + (- 47,85) = - 47,85 
 YB = YA + Y’AB = 0,00 + 44,89 = 44,89 
 
 XC = XB + X’BC = - 47,85 + (- 21,09) = - 68,94 
 YC = YB + Y’BC = 44,89 + (- 23,58) = 21,31 
 
 XD = XC + X’CD = - 68,94 + 48,06 = - 20,88 
 YD = YC + Y’CD = 21,31 + (- 44,19) = - 22,88 
 
 
b) Cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal de interesse: 
 
 
Est P V Ai DH(m) Az Projeções Coordenadas 
X Y X Y 
A a 19°23’40” 8,07 241°46’30” -7,11 -3,82 -7,11 -3,82 
B b 73°04’20” 8,46 206°17’10” -3,75 -7,59 -51,60 37,31 
C c 16°08’10” 5,83 57°56’10” 4,94 3,09 -64,00 24,40 
D d 62°02’00” 6,00 14°35’20” 1,51 5,81 -19,37 -17,07 
 
 
 
 
 
Vértice a: 
 
AzAa = (AzDA + Ai) ± 180º = (42º22’50” + 19º23’40”) + 180º = 241º46’30” 
 
X’Aa = DHAa . sen AzAa = 8,07 . sen 241º46’30” = - 7,11 
Y’Aa = DHAa . cos AzAa = 8,07 . cos 241º46’30” = - 3,82 
 
Xa = XA + X’Aa = 0,00 + (- 7,11) = - 7,11 
Ya = YA + Y’Aa = 0,00 + (- 3,82) = - 3,82 
Vértice b: 
 
AzBb = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 73º04’20”) - 180º = 206º17’10” 
 
X’Bb = DHBb . sen AzBb = 8,46 . sen 206º17’10” = - 3,75 
Y’Bb = DHBb . cos AzBb = 8,46 . cos 206º17’10” = - 7,58 
 
Xb = XB + X’Bb = - 47,85 + (- 3,75) = - 51,60 
Yb = YB + Y’Bb = 44,89 + (- 7,58) = 37,31 
 
 
Vértice c: 
 
AzCc = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 16º08’10”) - 180º = 57º56’10” 
 
X’Cc = DHCc . sen AzCc = 5,83 . sen 57º56’10” = 4,94 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
42 
 
Y’Cc = DHCc . cos AzCc = 5,83 . cos 57º56’10” = 3,09 
 
Xc = XC + X’Cc = - 68,94 + 4,94 = - 64,00 
Yc = YC + Y’Cc = 21,31 + 3,09 = 24,40 
 
 
Vértice d: 
 
AzDd = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 62º02’00”) - 180º = 14º35’20” 
 
X’Dd = DHDd . sen AzDd = 6,00 . sen 14º35’20” = 1,51 
Y’Dd = DHDd . cos AzDd = 6,00 . cos 14º35’20” = 5,81 
 
Xd = XD + X’Dd = - 20,88 + 1,51 = - 19,37 
Yd = YD + Y’Dd = - 22,88 + 5,81 = - 17,07 
 
 
 
 
5.3. Reconstituição de poligonais 
 
 
 É possível, a partir das coordenadas dos vértices de uma poligonal, calcular os seus 
elementos: 
 
a) Cálculo da distância horizontal: 
 _________________ 
 DH12 = √ (X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2 
 
b) Cálculo de azimutes: 
 
 arc tg R12 = (X2 - X1) / (Y2 - Y1) 
 
Definição do quadrante: 
+/+ → NE Az = R 
+/- → SE Az = 180º - R 
-/- → SW Az = 180º + R 
-/+ → NW Az = 360º - R 
 Após a definição do quadrante, transforma-se o rumo em azimute. 
 
c) Cálculo dos ângulos internos: 
 
 Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º 
 Ai = Azn - Azn-1 ± 180º 
 
 
 
5.4. Cálculo da área 
 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
43 
 
 
 A área de uma superfície plana limitada por uma poligonal fechada pode ser determinada 
analiticamente quando são conhecidas as coordenadas ortogonais dos seus vértices. É um método 
deduzido para áreas formadas de lados retos. 
 Para se calcular a área interna a uma poligonal, pode-se considerar os trapézios formados 
por cada lado da poligonal. 
 Da poligonal 0123, tem-se 
 
 
 
Figura 2.20 
 
 
S = S0123 + SF12G + SG23H - SE03H 
 
A fórmula para cálculo da área do trapézio é 
 
Strapézio = (B + b) . h / 2 
 
 
Onde: 
 
B = base maior; 
B = base menor; e 
H = altura. 
 
Portanto: 
 
 
S0123 = (Y1 + Y0) . (X1 - X0) = X1Y1 - X0Y1 + X1Y0 - X0Y0 
2 2 
 
SF12G = (Y2 + Y1) . (X2 - X1) = X2Y2 - X1Y2 + X2Y1 - X1Y1 
2 2 
 
SG23H = (Y2 + Y3) . (X3 - X2) = X3Y2 - X2Y2 + X3Y3 - X2Y3 
2 2 
 
SE03H = (Y3 + Y0) . (X3 - X0) = X3Y3 - X0Y3 + X3Y0 - X0Y0 
2 2 
 
2 . S0123 = X1Y1 - X0Y1 + X1Y0 - X0Y0 + X2Y2 - X1Y2 + X2Y1 - X1Y1 + 
 + X3Y2 - X2Y2 + X3Y3 - X2Y3 - X3Y3 + X0Y3 - X3Y0 + X0Y0 
 
Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
44 
 
2 . S0123 = - X0Y1 + X1Y0 - X1Y0 + X2Y1 + X3Y2 - X2Y3 + X0Y3 - X3Y0 
 
Isolando X0, X1, X2 e X3: 
 
2 . S0123 = X0 (Y3 - Y1) + X1 (Y0 - Y2) + X2 (Y1 - Y3) + X3 (Y2 - Y0) 
 
Multiplicando por (-1): 
 
-2 . S0123 = X0 (Y1 - Y3) + X1 (Y2 - Y0) + X2 (Y3 - Y1) + X3 (Y0 - Y2) 
 
Generalizando: 
 
 m 
2 . S0123 = ΣXi (Yi+1 - Yi-1) 
 i=1 
 
Já isolando Y0, Y1, Y2 e Y3: 
 
2 . S0123 = Y0 (X1 - X3) + Y1 (X2 - X0) + Y2 (X3 - X1) + Y3 (X0 - X2) 
 
Generalizando: 
 
 m 
2 . S0123 = ΣYi (Xi+1 - Xi-1) 
 i=1 
 
 
 No nosso caso: 
 
2 . S = {- 7,11 . [37,31 - (-17,07]} + {- 51,60 . [24,40 - (- 3,82)]} + 
+ [64,00 . (- 17,07 - 37,31)] + [- 19,37 . (- 3,82 - 24,40)] 
2 . A = - 386,6418 + (- 1456,1520) + 3480,3200 + 546,6214 = 2184,1476 
S = 1092,0738 m2 
ou 
 
2 . S = {- 3,82 . [- 51,60 - (-19,37)]} + {37,31 . [- 64,00 - (- 7,11)]} + 
+ {24,40 . [- 19,37 - (- 51,60)]} + {- 17,07 . [- 7,11 - (- 64,00)]} 
 
2. S = - 2184,1476 
 
S = 1092,0738 m2 
 
 
 
6. Normas técnicas para desenho de plantas 
 
 
 A planta deve ser feita com escala entre 1:200 e 1:300 (a que for mais conveniente para o 
Papel A2), através do método das COORDENADAS TOTAIS. O trabalho deve ser desenhado com 
auxílio do software AutoCad, obedecendo as especificações acima.