Lista de exercicios de Limites

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Lista 1: Limites
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Calcule os seguintes limites, caso existam:
a) lim
x→−1
x2 + 2
b) lim
x→3
x− 3
x2 − 5x + 6
c) lim
x→1−
√
x− 1
x− 1
d) lim
t→4
1
2−√t
e) lim
x→∞
x2 + 2x
2− x
f) lim
x→−∞
3x3 − 2x + 4
2x3 − 3x2 + 4x− 2
g) lim
x→0+
√
x + 4− x2
x− 1
h) lim
x→1
√
x + 2−√3
x− 1
i) lim
x→4−
x3 − 3x2 − 4x
x2 − x− 12
j) lim
t→7
√
x + 2− 3
x− 7
k) lim
h→0
(3 + h)−1 − 3−1
h
Questa˜o 2: Diga se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas nos pontos dados.
a) f(x) = 5x2 − 6x + 1, em x = 2.
b) f(x) =
x + 2
x + 1
, em x = 1.
c) f(x) =
x + 1
x− 1 , em x = 1.
d) f(x) =
√
x− 2
x− 4 , em x = 4.
e) f(x) =
{
x + 1, para x ≤ 2
2, para x > 2
, em x = 2.
f) f(x) =
{
x2 + 1, para x ≤ 3
2x + 4, para x > 3
, em x = 3.
Questa˜o 3: Verifique se as func¸o˜es a seguir sa˜o cont´ınuas nos intervalos dados. Caso na˜o sejam, indique
os pontos onde ha´ descontinuidade.
a) f(x) =
3x
x + 5
, no intervalo (−1, 5).
b) f(x) =
3x
x + 5
, no intervalo [−1, 5].
c) f(x) = 5x2 − 11, para 0 ≤ x < 10.
d) y =
2x5 + 1
x + 2
, para −2 ≤ x < 2.
e) y =
x− 1
x2 + 3x− 10 , no intervalo (−5, 2].
Questa˜o 4: Encontre as ass´ıntotas horizontais e verticais das seguintes func¸o˜es, se existirem.
a) y =
x
x + 4
b) y =
x3
x2 + 3x− 10
c) y =
x
4
√
x4 + 1
d) y =
2x + 1
x− 2
e) y =
2x2 + x− 1
x2 + x− 2
f) y =
x3 − x
x2 − 6x + 5
Questa˜o 5: Sob condic¸o˜es espec´ıficas, a velocidade de uma gota de chuva caindo, varia com o tempo
da seguinte forma:
v(t) = v?(1− e− gtv? )
onde v? e´ a velocidade terminal da gota de chuva e g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
Encontre lim
t→∞ v(t).
Questa˜o 6: O raio da Terra e´ de aproximadamente 6400 quiloˆmetros. Um corpo situado a x quiloˆmetros
do centro da Terra pesa m(x) kg, em que
m(x) =

Ax, para x ≤ 4000
B
x2
para x > 4000
e A e B sa˜o constantes positivas. Qual deve ser a relac¸a˜o entre essas constantes para que
m(x) seja cont´ınua para qualquer valor de x?
Questa˜o 7: Estima-se que daqui a t anos a populac¸a˜o de um certo bairro sera´ p mil habitantes, em que
p(t) = 20− 7
t + 2
Um estudo ambiental mostra que a concentrac¸a˜o me´dia de mono´xido de carbono no ar sera´
c partes por milha˜o (ppm) quando a populac¸a˜o for de p mil habitantes, onde
c(p) = 0, 4
√
p2 + p + 21
Qual sera´ o n´ıvel de poluic¸a˜o c a longo prazo?
Questa˜o 8: Se a temperatura do ar em certo dia e´ 80 ◦F , a sensac¸a˜o te´rmica I(h) (tambe´m em ◦F )
e´ dada aproximadamente pela seguinte func¸a˜o, onde h e´ a umidade relativa do ar (em
porcentagem):
I(h) =

80, para 0 ≤ h ≤ 40
80 + 0, 1(h− 40), para 40 < h ≤ 80
0, 005h2 − 0, 65h + 104, para 80 < h ≤ 100
a) Qual a sensac¸a˜o te´rmica quando a umidade relativa do ar e´ 30%? E quando a umidade
relativa do ar e´ 90%?
b) Que umidade relativa do ar resulta em uma sensac¸a˜o te´rmica de 83 ◦F?
c) A sensac¸a˜o te´rmica e´ cont´ınua em h = 40? E em h = 80?
GABARITO :
Questa˜o 1: a) 3
b) 1
c)
1
2
d) @
e) −∞
f)
3
2
g) −2
h)
1
2
√
3
i)
20
7
j)
1
6
k) −1
9
Questa˜o 2: a) Sim.
b) Sim.
c) Na˜o.
d) Na˜o.
e) Na˜o.
f) Sim.
Questa˜o 3: a) Cont´ınua.
b) Descont´ınua em x = 5.
c) Cont´ınua.
d) Descont´ınua em x = −2.
e) Descont´ınua em x = 2.
Questa˜o 4: a) Verticais: x = −4
Horizontais: y = 1
b) Verticais: x = −5 e x = 2
Horizontais: Na˜o possui.
c) Verticais: Na˜o possui.
Horizontais: y = −1 e y = 1
d) Verticais: x = 2
Horizontais: y = 2
e) Verticais: x = −2 e x = 1
Horizontais: y = 2
f) Verticais: x = 1 e x = 5
Horizontais: Na˜o possui.
Questa˜o 5: lim
t→∞ v(t) = v
?
Questa˜o 6: A =
B
(4000)3
Questa˜o 7: c∞ → 8, 4 ppm.
Questa˜o 8: a) 80 ◦F e 86 ◦F , respectivamente.
b) 70%.
c) Sim, a sensac¸a˜o te´rmica e´ cont´ınua nos dois casos.