fisica aplicada na engenharia
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fisica aplicada na engenharia


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ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 1 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Introdução 
Grandezas Físicas 
Existem cinco grandezas fundamentais no Sistema Internacional (SI): 
· comprimento (L) 
· massa (M) 
· tempo (T) 
· corrente eléctrica (I) 
· temperatura (Q) 
Sistemas de unidades 
· Sistema Internacional de Unidades - SI (o mais usado em física): 
o Comprimento: metro (m) 
o massa: quilograma (kg) 
o tempo: segundo (s) 
o Temperatura: Kelvin (K) 
o Corrente Eléctrica: Ampere (A) 
Este sistema é também conhecido por sistema mks devido a meter-kilogram-
second. 
· Sistema Gaussiano (usado principalmente em química): 
o comprimento: centimetro (cm) 
o massa: grama (g) 
o tempo: segundo (s) 
Este sistema é frequentemente referido como sistema cgs devido a centimeter-
gram-second. 
· Sistema Britânico de Engenharia: 
o Comprimento: pé (ft) 
o massa: slug 
o tempo: segundo (s) 
 
Notação Científica 
Por vezes é conveniente expressar números pequenos ou grandes em notação científica. 
 
Por exemplo: 5,000 = 5 x 103 e 0.0004 = 4 x 10- 4. 
Os prefixos comuns mais usados são apresentados como potências de 10 e estão 
apresentados na tabela seguinte. 
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Tabela. Prefixos usados com o sistema métrico de unidades. 
Potência Prefixo Abreviatura 
10- 9 nano N 
10- 6 micro 
 
10- 3 milli M 
10- 2 centi C 
10- 1 deci D 
103 kilo K 
106 Mega M 
Por exemplo: 
a) 60.000 m = 6,0000 x 104 m = 60,000 km 
b) 0,003 s = 3 x 10- 3 s = 3 ms 
 
Análise dimensional 
A análise dimensional refere-se à natureza qualitativa da quantidade física 
(comprimento, massa, tempo). Os parentesis rectos denotam a dimensão ou unidades de 
uma quantidade física (verificar tabela seguinte): 
Tabela: Dimensões 
Quantidade dimensão Unidades SI 
Área [A] = L 2 m 2 
Volume [V]=L 3 m 3 
Velocidade [v] = L/T m/s 
Aceleração [a] = L/T2 m/s 2 
Massa [m] = M kg 
Observação: A análise dimensional pode ser usada para a obtenção ou verificação de 
fórmulas usando as dimensões como quantidades algébricas. Apenas se podem somar 
ou subtrair quantidades que possuam a mesma dimensão. As quantidades em dois 
membros de uma equação terão de ter a mesma dimensão. 
Nota: A análise dimensional não fornece factores numéricos. Por exemplo: a distância 
(x) percorrida por um carro num determinado tempo (t), partindo do repouso com 
aceleração constante (a) é dado por: x = (1/2)at 2. Esta equação pode ser verificada 
através de análise dimensional: 
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m.e. [x] = L 
m.d. (1/2)at2 = (1/2) [a][t 2] = (L/T2) T 2 = L. 
Desde que a dimensão do membro esquerdo (m.e.) da equação seja a mesma que a 
apresentada no membro direito (m.d.) da equação, a equação é dita, 
dimensionalmente homogénea. 
Conversão de Unidades 
Observação: As unidades podem ser utilizadas como quantidades 
algébricas. Por exemplo, podemos utilizar o factor de conversão 1 in = 2.54 
cm para reescrever 15 polegadas em centimetros. 
15 in = 15 in (2.54 cm / 1 in) = 38.1 cm 
Notação Matemática 
 
1. - proporcional a 
 
2. < ou > - menor ou maior que 
 
3. << ou >> - muito menor ou muito maior que 
 
4. - aproximadamenrte igual a 
 
5. - definido como 
 
6. x \u2013 variação da quantidade x 
 
7. - somatório 
 
8. |x| - valor absoluto de x 
 
9. $ - Existe 
 
10. Þ - implica que 
 
11. Û - equivalente a 
 
12. = - igual a 
 
 
 
 
 
 
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P(xo,y0) 
Y 
Y0 
X X0 0 
P(r,q) 
Y 
X 0 
r 
q 
Sistemas de Coordenadas 
A localização de um ponto numa linha pode ser descrito por uma 
coordenada; um ponto num plano pode ser descrito por duas coordenadas; 
um ponto num volume tridimensional pode ser descrito por três 
coordenadas. Em geral o número de coordenadas iguala o número de 
dimensões do espaço. Um sistema de coordenadas consiste em: 
1. um ponto de referência fixo (origem) 
 
2. uma série de eixos com direcções e escalas especificadas 
 
3. instruções que especifiquem como caracterizar um ponto no espaço relativo à 
origem e eixos. 
Sistemas de coordenadas no plano 
 
1 \u2013 cartesianas (sistema de coordenadas rectangular): (x, y) 
 
 
 
 
 
Com x e y Î Â 
 
2 \u2013 polares: (r,q) 
 
 
 
 
 
Com r Î [0, + ¥] e q Î [0, 2p[ 
 
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P(x,y,z) 
P\u2019(x,y,0) 
P\u2019 (r, q, 0) 
P(r, q, z) 
As coordenadas cilindricas (r, q) de um ponto (x,y), são definidas por, 
 
x = r cos q 
y = r sen q 
 
e com relações inversas dadas por, 
 
r = (x2 + y2)1/2 
q = arctg (y/x) 
 
 
Sistemas de coordenadas no espaço 
 
§ Sistemas de coordenadas cartesianas (x, y, z). 
 
 P\u2019 é a projecção de P no plano XOY 
 
 
kzjyixOPOP
rrr
++=-= 
 
 
 
 
 
 
 
Com x, y e z Î Â 
 
§ Sistema de coordenadas cilindricas: (r, qq , z) 
 
 
 
 
kzerOP r
rr
+= 
 
 
 
 
 
 
 
Com r Î [0, + ¥[, q Î [0, 2p[ e z Î Â 
 
 
y 
x 
z 
O
 
i
r
k
r
j
r
 
y 
x 
z 
O
 
k
r
re
r
èe
r
r 
q 
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As coordenadas cilindricas (r, q, z) de um ponto (x,y,z), são definidas por, 
 
x = r cos q 
y = r sin q 
z = z 
 
e inversamente, 
 
r = (x2 + y2)1/2 
q = arctg (y/x) 
 z = z 
§ Sistema de coordenadas esféricas: (r, qq , jj ) 
 
 
 
 rerOP
r
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com r Î [0, + ¥[, q Î [0, 2p[ e j Î [0, p] 
 
As coordenadas esféricas (r, q, j) de um ponto (x,y,z), são definidas por, 
 
x = r cos q sin j 
y = r sin q sin j 
z = r cos j 
 
e inversamente, 
 
r = (x2 + y2+z2)1/2 
q = arctg (y/x) 
 j = arcos (z/r) 
Definição: O vector posição r, em qualquer sistema de coordenadas, especifica a 
posição de um dado ponto relativamente à origem do sistema de eixos utilizado. 
 
 
P(r,q,j) 
y 
x 
z 
O
P\u2019(rsinj,q,p/2) 
r 
q 
j je
r
 
èe
rre
r
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Conceitos matemáticos necessários 
1. Operações com vectores 
 
a) Adição de vectores CBA
rrr
+= 
 
 Notação: 333222111 e)C(Be)C(Be)C(BA
rrrr
+++++= 
 
Exemplo: calculo da força resultante 
 
b) Produto de um vector por um escalar: BbA
rr
= 
 
 Notação: 332211 ebAebAebAA
rrrr
++= 
 
Exemplo: cálculo da força efectiva, quantidade de movimento 
 
 
c) Produto interno: C|Ba
rr
= 
 
 Notação: 332211 CBCBCBa ++= 
 
Exemplo: determinação da componente de uma força numa dada direcção, 
cálculo do trabalho 
 
 
d) Produto externo: CBA
rrr
Ù= 
 
Notação: 
321
321
321
CCC
BBB
eee
A
rrr
r
= 
 
Exemplo: cálculo do momento de uma força, cálculo do momento ângular, 
cálculo da força magnética 
 
 
 
e) Cálculo de determinantes 3x3 
 
Notação: 
 
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)()()(
CCC
BBB
AAA
122133113223321
321
321
321
CBCBACBCBACBCBA