fisica aplicada na engenharia
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fisica aplicada na engenharia


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Exemplo: cálculo de momentos e rotacionais 
 
Cálculo diferencial 
a) Derivada e diferencial duma função 
 
Notação: dxdx
df
dff(x)f =Þ= 
 
Exemplo: determinação da velocidade conhecida a posição em função do tempo 
 
b) Derivada da função composta 
 
Notação: [ ] dt
dx
dx
df
dt
df
x(t)ff =Þ= 
 
Exemplo: determinação da velocidade em função do tempo, de um corpo ligado 
a uma mola ou ligado a um dispositivo de amortecimento viscoso 
 
c) Derivada parcial 
x¶
¶
 e gradiente de um campo escalar V(P) 
 
Notação: 
x
V
V(P)
x ¶
¶=
¶
¶
 
 kz
V
j
y
V
i
x
V
gradV
rrr
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
= 
 
Exemplo: relação entre um campo de força conservativo e a respectiva energia 
potencial, determinação do trabalho de uma força conservativa 
 
d) Rotacional de um campo vectorial (P)F
r
 
 
Notação: 
zyx FFF
zyx
kji
Frot
¶
¶
¶
¶
¶
¶=
rrr
r
 
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 9 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Exemplo: verificação de que um campo de força é conservativo 
 
Cálculo integral 
a) Primitivas e integrais simples 
 
Notação: cteF(x)f(x)dxdFf(x)dx
dx
dF
f(x) +=Û=Û= ò 
 12
x
x
F
F
x
x
FFf(x)dxdFf(x)dxdFf(x)dx
dx
dF
f(x)
2
1
2
1
2
1
-=Û=Û=Û= òòò 
 
Exemplo: determinação da velocidade e/ou posição de um corpo, conhecidas as 
forças que sobre ele actuam 
 
b) Integrais de linha de campos vectoriais 
 
Notação: ò=Û=
ã
dP|FW dP|FäW
rr
, em que g representa um caminho 
 
Exemplo: cálculo do trabalho de uma força 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 10 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
'rr
rr
rrD
srD
vr
Cinemática dos Corpos Rígidos 
Introdução 
Estudo das relações existentes entre o tempo, as posições, as velocidades e as 
acelerações das várias partículas que formam um corpo rígido. 
 
Vector posição, velocidade e aceleração 
A posição de uma particula ou ponto material (PM) num dado intante t pode definir-se 
pela utilização de um vector r, traçado num sistema de referência fixo OXYZ. Este 
vector caracteriza-se pela sua: 
 
a) Intensidade 
b) Direcção 
c) Sentido 
 
Assim, define-se de um modo completo a posição de um PM em relação ao sistema de 
eixos. 
Considere a figura seguinte em que o representa um ponto fixo no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vector posição do PM num determinado instante t em relação a 0 é definido como o 
vector PO
r
, tal que, 
 
 rr = PO
r
(m) 
 
Considere-se agora a posição P\u2019 do PM no instante t + Dt, caracterizado pelo vector rr \u2019. 
O vector D rr , que une P a P\u2019, traduz a variação do vector posição durante Dt, em termos 
P(x,y,z) 
y 
x 
z 
O 
i
r
 
k
r
 
j
r
 
P\u2019(x\u2019,y\u2019,z\u2019) 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
de direcção e intensidade. Deste modo temos a velocidade média do PM, definida 
como: 
 
 v
r
m = D r
r
 / Dt 
 
Escolhendo-se intervalos de tempo cada vez menores e por conseguinte, vectores Dr 
cada vez menores, obtemos a velocidade instantânea: 
 
v
r
 = lim|Dt -> 0 (D r
r
 / Dt) º d rr / dt (m/s) 
 
A intensidades v do vector vr , designa-se velocidade do PM ou intensidade da 
velocidade. À medida que Dt se torna menor, o comprimento aproxima-se do 
comprimento do arco PP\u2019, sendo v dado por: 
 
 v = lim|Dt -> 0 (PP\u2019 / Dt) = lim|Dt -> 0 (DD s / Dt) º ds / dt (m/s) 
 
Pode-se assim obter a velocidade v, derivando em ordem a t o comprmento s do arco 
descrito pelo PM. 
 
De modo análogo se obtém a aceleração média do PM, como, 
 
 a
r
m = D v
r
 / Dt 
 
De salientar que a variação da velocidade se dá em direcção e intensidade. 
A aceleração instantânea, a qual corresponde à taxa de variação da velocidade no 
tempo, é representada pelo vector a dado por, 
 
 ar = lim|Dt -> 0 (D vr / Dt) º dvr / dt = drr 2 / dt2 (m/s2) 
 
De salientar ainda que, geralmente o vector aceleração não é tangente à trajectória 
descrita pelo PM. 
 
A trajectória é a curva definida pelas sucessivas posições do PM. Em geral a posição, 
velocidade e aceleração do PM dependem do tempo, ou seja, 
 
 rr = rr (t) 
vr = vr (t) 
ar = ar (t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
A 
A\u2019 
B 
B\u2019 
A 
A\u2019 
B 
B\u2019 
Translacção 
O movimento de um corpo rígido (CR) diz-se de translacção quando qualquer recta 
definida por dois pontos genéricos no CR conserva a mesma direcção durante o 
movimento. Todas as particulas que formam o corpo deslocam-se segundo trajectórias 
paralelas. 
 
a) Translacção rectilínea 
Quando as trajectórias são linhas paralelas 
 
 
 
 
 
b) Translacção curvilínea 
Quando as trajectórias são linhas curvas 
 
 
 
 
 
Rotação em torno de um eixo fixo 
Neste tipo de movimento de um CR, as partículas movem-se em planos paralelos e 
segundo circuinferências em torno do mesmo eixo fixo. Se o eixo de rotação intersectar 
o corpo rígido, as partículas localizadas sobre ele terão velocidades e aceleração nulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Translacção curvilínea Rotação 
A 
B 
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Movimento rectílineo variado 
 
O movimento de um corpo diz-se rectilíneo quando a respectiva trajectória é uma recta. 
Para o movimento rectilíneo temos, r // v
r
 // a, e pode estudar-se o movimento apenas 
com as seguintes expressões, 
 
 rr = x ir 
 
 vr = vx i
r
 = v i
r
, com v = dx/dt 
 
ar = ax i
r
 = a i
r
 , com a = dv/dt 
 
O movimento diz-se variado quando a aceleração não é constante. Quando a aceleração 
é constante o movimento diz-se uniformemente variado. 
 
Dada a posição em função do tempo, a determinação de v
r
 e a
r
 é obtida directamente 
por derivação. Contudo, quando se pretende determinar v
r
 e rr , dada a aceleração tem 
que se efectuar a integração das equações do movimento. 
Aceleração como função do tempo: a = a(t) 
Sabendo-se que, 
 
 a(t) = dv/dt 
 
obtém-se, 
 
 ò+=
t
t
dt)t(avv
0
0 
 
ou seja, dada a função a(t) e a velocidade num instante inicial t0 é possível determinar a 
velocidade em função do tempo. 
 
Para se obter a posição efectua-se o mesmo tipo de raciocinio, ou seja, sendo v = v(t) e 
sabendo-se que, 
 
 v(t) = dx/dt 
obtém-se 
 ò+=
t
t
dt)t(vxx
0
0 
Então, dada a velocidade v(t) e a posição num instante t0 é possível determinar a posição 
em função do tempo. 
Aceleração como função da velocidade: a = a(v) 
Quando a aceleração é dada em função da velocidade a = a(v), tem de se efectuar 
alguma manipulação das expressões antes de se integrar. Então de, 
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 a(v) = dv/dt Û dt = dv/a(v) 
 
obtém-se 
 
 ò=-
v
v
dv
)v(a
tt
0
1
0 
 
conhecida a expressão a(v) e a velocidade no instante t0, pode determinar-se a 
velocidade em função do tempo. 
 
Pode ainda determinar-se x directamente da a = a(v). Ou seja, sendo, a=a(v), então, 
 
 a(v) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx 
 
obtendo-se 
 
 ò+=
v
v
dv
)v(a
vxx
0
0