fisica aplicada na engenharia
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fisica aplicada na engenharia


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Logo, obtém-se a posição em função da velocidade. 
 
Aceleração como função da posição: a = a(x) 
 
Seguindo o mesmo tipo de raciocínio, temos então, 
 a(x) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v (dv/dx) 
 
obtendo-se 
 ò+=
x
x
dx)x(avv
0
0
222 
ou seja, para determinar a velocidade basta conhecer a(x), e a posição e velocidade num 
instante t0. 
Casos Particulares 
1 \u2013 Movimento rectilíneo uniforme 
 
Sendo, 
 v = dx/dt = cte, 
 
logo da expressão anterior, 
 
ò+=
v
v
dv
)v(a
vxx
0
0 
obtemos, 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 15 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
 x = x0 + v(t-t0) 
 
2 \u2013 Movimento rectilíneo uniformemente acelerado 
 
Para este tipo de movimento, temos, 
 
 a = dv/dt = cte 
 
Considerando a expressão, ò+=
t
t
dt)t(avv
0
0 , obtém-se, 
 
 v = v0 + at 
 
assumindo que t0 = 0. Considerando agora esta nova equação, e sabendo-se que: 
 
 v = dx/dt = v0 + at 
obtém-se 
 
2
2
00
attvxx ++= 
 
Considerando agora a expressão, 
 
ò+=
x
x
dx)x(avv
0
0
222 
então para o tipo de movimento em questão obtemos, 
 
 )xx(avv 0
22 2
0
-+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 16 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Componente tangencial e normal da aceleração 
Como já se verificou, a velocidade de um corpo é um vector tangente à sua trajectória, 
mas, em geral a aceleração não o é. Torna-se por conseguinte, conveniente decompor a 
aceleração em componentes, dirigidas segundo a tangente e a normal à trajectória do 
corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a velocidade da particula tangente à trajectória, podemos expressá-la pelo 
produto do escalar v pelo versor te
r
 , ou seja, 
 v
r
= v te
r
 
 
Para obter a aceleração do corpo, devemos derivar esta equação em ordem a t, ou seja, 
 
 
dt
ed
ve
dt
dv
)ev(
dt
d
dt
vd
a ttt
rrrrr
+=== 
Desenvolvimento de: 
dt
ed t
r
 
Projectando as componentes normal ( ne
r
) e tangencial ( te
r
) no sistema de eixos 
cartesianos, temos, 
 
 
 te
r
 = cosqi + senqj 
 
 ne
r
 = -senqi + cosqj 
 
 
 
 
Então, x 
y 
q 
q 
i 
j te
rne
r
Trajectória 
dq 
P 
P\u2019 
te
r
 \u2013 versôr tangente à 
trajectória em P 
te
r
\u2019 \u2013 versôr tangente à 
trajectória em P\u2019 
ne
r
 \u2013 versôr normal à 
trajectória em P 
ne
r
\u2019 \u2013 versôr normal à 
trajectória em P 
r - raio da 
curvatura 
C \u2013 centro da 
curvatura 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 17 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
j)e(
dt
d
i)e(
dt
d
dt
ed
ytxt
t
rrr
+= 
 
)jcosisen(
dt
d
jcos
dt
d
i)sen(
dt
d
jsen
dt
d
icos
dt
d
dt
ed t
rrrrrrr
q+q-
q
=q
q
+q-
q
=q+q=
 
 n
t e
dt
d
dt
ed rr q= 
 
Sabendo-se que, 
 
 v
1
dt
ds
ds
d
dt
d
r
=
q
=
q
 
porque, 
 v
dt
ds
 e 
1
ds
d
=
r
=
q
 
 
onde r corresponde ao raio de curvatura. Então, 
 
 
r
=
q v
dt
d
 
logo, 
 n
t e
v
dt
ed rr
r
= 
então, 
 
 n
2
t e
v
e
dt
dv
dt
vd
a
rrrr
r
+== 
 
sendo, 
 
i) 
dt
dv
aT = , a componente tangencial da aceleração. Taxa de varição do 
módulo da velocidade 
 
 
ii) r
=
2
n
v
a , a componente normal da aceleração. Relaciona-se com a taxa 
de variação da direcção da velocidade e é sempre ³ 0, logo o vector da 
aceleração aponta sempre para a parte concava da trajéctória. 
 
dq dS =r dq 
r 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
O módulo da aceleração vem então dado por, 
 
 2
42
2
n
2
T
v
dt
dv
aaa
r
+÷
ø
öç
è
æ=+= 
 
Casos particulares 
 
1) 
 movimento existe Não 0v ii)
uniforme rectilíneo Movimento 
ctev
)i
ou
0v
0
v
a
ctev0
dt
dv
a
2
n
T
Þ=
î
í
ì
Þ
þ
ý
ü
¥=r
=
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
¥=r
=
Þ=
r
=
=Þ==
 
 
2) 
 uniformecircular Movimento 
ctecte
v
a
ctev0
dt
dv
a
2
n
T
Þ
ï
ï
þ
ïï
ý
ü
=rÞ=
r
=
=Þ==
 
 
 
3) Sempre que aT = 0 Û dv/dt = 0 Þ v = cte, logo o movimento é uniforme. 
 
 
4) Sempre que aT = cte Û dv/dt = cte Þ v µ t, e o movimento é uniformemente 
variado. 
 
 
5) Sempre que an = 0 Û v2/r = 0, então v = 0 e não existe movimento, ou, r = ¥ e 
o movimento é rectilíneo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
aT eT
en 
an a 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 19 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Componentes radial e transversal da velocidade e 
aceleração 
Em alguns problemas do movimento plano, a posição de um corpo define-se através das 
suas coordenadas polares r e q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Torna-se então necessário decompor a velocidade e aceleração do corpo segundo duas 
direcções, uma paralela e outra perpendicular à linha OP, as quais se designam por 
componente radial e transversal, respectivamente. 
 
Sendo, 
 
 q=q
e
d
ed r r
r
 e red
ed rr
-=
q
q 
e como, 
 rerr
rr
= 
então, 
 
dt
ed
rer
dt
ed
re
dt
dr
)er(
dt
d
dt
rd
v rr
r
rr
rr&
rrrrr
+=+=== 
aplicando a regra da diferenciação em cadeia, 
 
 q
q
q
= q&
rrr
e
dt
d
d
ed
dt
ed rr 
Então substituindo em v
r
, temos, 
 
 qq+= ererv r
r&r&r 
 
onde: 
 1) rvr &= , representa a componente radial da velocidade 
e 
 2) q=q &rv , representa a componente transversal da velocidade 
 
 
Diferenciando novamente em ordem a t, obtemos a aceleração, ou seja, 
 
 
dt
ed
rerer
dt
ed
rer
dt
vd
a rr
q
qq q+q+q++==
r
&r&&r&&
r
&r&&
rr
 
Sabendo-se que, 
 
x 
q 
O 
y 
P r 
re
r
 qe
r
 
i
r
 
j
v
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 20 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
 qq= edt
ed r r&
r
 
e aplicando agora a regra da diferenciação em cadeia a 
dt
ed q
r
, temos, 
 
 q-=
q
q
= qq &r
rr
redt
d
d
ed
dt
ed
 
Substituindo agora na expressão da aceleração, obtemos, 
 
 ( ) r2r erererererdt
vd
a
r&r&&r&&r&&r&&
rr
q-q+q+q+== qqq 
 ( ) qq+q+q-= e)r2r(e)rr(a r2 r&&&&r&&&r 
 
 com: 
 1) ( )2r rra q-= &&& , representando a componente radial aceleração 
e 
 2) q+q=q &&&& r2ra , representando a componente transversal aceleração. 
 
 
Caso Particular \u2013 Movimento Circular 
 
Para este tipo de movimento temos, 0==Þ= rrcter &&& 
 
Logo, 
 
 
î
í
ì
q=
q-=
î
í
ì
q=
=
q
q
&&
&
&
ra
ra
e
 
rv
v
r
r
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 21 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Movimento curvilíneo variado 
Quando o movimento é variado, a aceleração não é constante e a determinação da 
velocidade e posição em função do tempo a partir da aceleração envolve integração das 
equações do movimento. 
 
Seja, 
 )(tr r e )t(vv ),t(aa 00
rrrrrr
=== 00 
então, 
 
 òòò +=Û=Û=Û=
t
t
t
t
v
v
dtavvdtavddtavd
dt
vda
000
0
rrrrrrrrr r
r 
 
e 
 
 òòò +=Û=Û=Û=
t
t
t
t
r
r
dtvrrdtvrddtvrd