fisica aplicada na engenharia
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fisica aplicada na engenharia


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t0 = 0 
ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 28 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
 
b) movimento de rotação uniformemente acelerado 
 
Para este tipo de movimento temos, 
 
a = cte Þ aT = cte 
 
w = w0 + at Þ an = f(t) e v = f(t), assumindo t0 = 0 
 
q = q0 + w0t + (1/2)at2 , assumindo t0 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Operadores Diferenciais 
Os campos podem ser classificados tanto como escalares ou vectoriais. 
Um campo escalar é uma função singular do espaço e tempo, onde para cada ponto do 
espaço P(x, y, z) está associado um escalar (o qual é independente do sistema de 
coordenadas escolhidas). A temperatura de um volume de gás, a altitude e a densidade 
de um volume de rocha são exemplos de campos escalares. 
Exemplos: 
1 \u2013 Temperatura T = T(x, y, z) 
Ao ponto P do espaço 3D corresponde um valor de 
temperatura, ou seja, T é uma função de (x, y, z). 
 
 
2 \u2013 Altitude h = h(x,y) 
Ao ponto P de uma superfície corresponde 
um cota ou altitude, que é a coordenada z 
do ponto. 
 
 
 
 
Um campo vectorial, tal como o fluxo de calor, velocidade de um fluido e a atracção 
gravitacional, deve ser caracterizada por três funções do espaço e tempo, 
nomeadamente, as componentes do campo em três direcções ortogonais. 
Um campo vectorial pode ser caracterizado pelas suas linhas de campo (também 
conhecidas como linhas de fluxo ou linhas de força), linhas essas, que são tangentes em 
todos os pontos ao campo vectorial. 
Portanto, para um campo vectorial, a cada ponto do espaço P(x, y, z) está associado um 
vector. 
 
 
Z 
Y x 
P(x,y,z) 
Z 
Y x 
P(x,y,z) 
h 
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Exemplo: Velocidade de 
escoamento numa contuda 
 
Para qualquer ponto P(x, y, z) há 
uma velocidade de escoamento, em 
que ( , , )v v x y z=r r 
 
Exemplo: Velocidade de qualquer ponto de um corpo rígido em rotação, onde ( )v v r=r r , 
sendo r a distância de cada ponto ao eixo de rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Campo gravitacional ( )G G r=
r r
, sendo r a distância a O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Y 
3( )v v r=
r r
 
2( )v v r=
r r
 
1( )v v r=
r r
 
O 
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Gradiente 
O gradiente de um campo escalar num ponto é um vector que aponta no sentido da 
maior variação de intensidade do campo escalar e cujo módulo é a derivada direccional 
do campo escalar. 
Matematicamente o gradiente de uma função escalar f em coordenadas cartesianas 
escreve-se como: 
 x y z
f f f
grad(f) f e e e
x y z
¶ ¶ ¶
= Ñ = + +
¶ ¶ ¶
rr r r r
 
sendo Ñ
r
 o operador nabla, o qual é dado em coordenadas cartesianas por, 
 x y ze e e
x y z
¶ ¶ ¶
Ñ = + +
¶ ¶ ¶
r r r r
 
Sendo u(x, y, z) = u0 uma função escalar representativa de uma superfície em Â3 de 
valor constante u0, então para qualquer ponto sobre esta superfície tem-se a diferencial 
exacta 
u u u
du dx dy dz 0
x y z
¶ ¶ ¶
= + + =
¶ ¶ ¶
 
visto que u = u0 = cte. Então 
 ( )x y z x y zu u udu u |dP e e e | dxe dye dze 0
x y z
æ ö¶ ¶ ¶
= Ñ = + + + + =ç ÷¶ ¶ ¶è ø
r r r r r r r r
 
ou seja, Ñ
r
u ^ dP
r
, em que dP
r
 é um vector elementar sobre a superfície. Então daqui 
verifica-se que Ñ
r
u para qualquer ponto da superfície u(x, y, z) = u0 = cte é 
perpendicular à mesma (verifique exemplo apresentado na figura). Mais ainda, o Ñ
r
u 
aponta no sentido crescente da maior variação de u. 
 
 
 
 
 
 
 
Superfície u (x, y, z)=u0 
Ñ
r
u 
Ñ
r
u 
Ñ
r
u 
dP
r
 dP
r
 dP
r
 
A 
B 
C 
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Exemplo: Seja a função escalar u = 3x2 + 5y3. O seu gradiente é então dado por: 
 2u 6xi 15y j 0kÑ = + +
r r rr
 
em que para o ponto P(1,1), temos o gradiente dado por, 
 u 6i 15jÑ = +
r rr
 
correspondendo a componente do Ñ
r
u numa dada direcção à taxa de variação do campo 
escalar definido pela função u nessa direcção: 
 
P(1,1) P(1,1)
u u
6 e 15
x y
æ ö¶ ¶æ ö = =ç ÷ç ÷¶ ¶è ø è ø
 
 
Circulação e Rotacional de um campo vectorial 
 
A circulação de um campo vectorial a
r
 é definido por: 
 
 C |dP
g
= aò
rrÑ 
 
correspondendo por conseguinte à soma da componente 
tangencial de a
r
 ao longo do caminho fechado g. 
 
No exemplo da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo OZ, temos a 
circulação máxima da velocidade quando escolhemos um circunferência paralela à 
superfície OXY centrada em OZ. Seja então g uma circunferência de raio r = r0 (como 
se apresenta na figura adjacente). Logo a circulação do campo vectorial de velocidade 
vem dado por, 
 
 
0
0
r r
C v|dP vds v ds v2 r
g g =
= = = = pò ò ò
rrÑ Ñ Ñ 
tendo em consideração que Tv ve=
rr
 com v 
constante em g e em qualquer instante, e que 
TdP dse=
r r
 
 
Como se pode depreender, a circulação de v
r
 
corresponde ao produto do módulo da velocidade 
pelo perímetro de g, mas pode também ser escrita 
em função da velocidade angular w e da área (A): 
 
 V = w r0 Þ C = 2pv r0 = 2pw(r0)2 = 2wA 
 
 
w
r
X 
Y 
Z 
O 
gg 
gg 
a
r
dP
r
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w
r
X 
Y 
Z 
O 
gg 
Se escolhermos uma circunferência de igual 
raio mas paralela a OXZ ou a OYZ, então a 
circulação de v
r
 será nula, 
 
C v |dP 0
g
= =ò
rrÑ 
visto que v
r
 está restringido ao plano OXY 
enquanto que as trajectórias se enquandram em 
planos perpendiculares a este, ou seja, v
r
^ dP
r
. 
 
 
 
Rotacional 
O rotacional de um campo vectorial a
r
 num determinado ponto P corresponde a um 
vector cuja direcção indica a orientação da curva fechada para a qual a circulação do 
campo é máxima, e de módulo igual à circulação por unidade de área, ou seja, 
 
 
A 0
|rot | lim
|dP
A
®
a = g
aòr
rrÑ
 
Em coordenadas cartesianas, sendo o campo vectorial a
r
, 
dado por: 
 
 x y zi j ka = a + a + a
r r rr
 
então 
 
y yz x z x
x y z
î j k
rot i j k
x y z y z z x x y
¶a ¶aæ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶a ¶a ¶a ¶aæ öa = Ñ Ù a = = - + - + -ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øè ø è ø
a a a
r rr
r r rrr r
 
 
em que Ù representa o produto vectorial (ou 
externo). 
 
Exemplo: 
Considere-se a rotação de um corpo rígido em 
torno de um eixo fixo OZ. Então, sabendo-se 
que o vector velocidade linear é dado pelo 
produto externo entre a velocidade angular e o 
raio da trajectória, temos, 
 
w
r
X 
Y 
Z 
r
r
P(x, y, z) 
A 
P 
g 
rota
r
 
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î j k
v r 0 0 yi xj
x y z
= w Ù = w = -w + w
r rr
r rr rr
 
 
então o rotacional de v
r
, vem dado por, 
 
 
î j k
rotv k k 2 k
x y z
y x 0
¶ ¶ ¶
= Ñ Ù a = = w + w = w
¶ ¶ ¶
-w w
r rr
r r rr rr
 
Logo verifica-se que para a rotação de um corpo rígido, o rotacional do campo vectorial 
das velocidades é um campo vectorial cujo