fisica aplicada na engenharia
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fisica aplicada na engenharia


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ISEL/DEC 
Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 49 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Potência e rendimento mecânico 
Potência (P) 
A potência é o trabalho realizado por unidade de tempo, ou a quantidade de trabalho 
realizado por segundo, ou seja, 
 
 
dW
P
dt
= (Watt \u2013 W, 1W = 1J/s=Nm/s) 
 
Sabendo-se que, dW F|dr=
r r
, então, 
 
 
dW F |d r dr
P F | F | v
dt dt dt
= = = =
r r rr r r
 
para F
r
 constante. 
 
Rendimento Mecânico (hh) 
 
O rendimento mecânico é dado pela razão entre o trabalho realizado e o absorvido, ou 
seja, 
 
 realizado
absorvido
W
1
W
h = < 
 
sendo o rendimento sempre inferior à unidade. Este assunto será mais desenvolvido 
aquando do capítulo dedicado à termodinâmica. 
 
Esta definição pressupõe que o trabalho seja realizado a uma razão constante. 
 
Se o rendimento mecânico é dado pela razão apresentada, logo também será igual à 
razão entre as suas taxas de variação temporal, isto é, 
 
 realizado
absorvido
P
1
P
h = < 
 
 
 
 
 
 
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
Alexandra Afilhado e Pedro Silva 50 
Folhas de apoio - versão 03-2003 
Quantidade de Movimento 
A quantidade de movimento é definida como: 
 
 P mv=
r r
 [kgm/s] 
 
Tendo em consideração a 2ª Lei de newton, 
 
 F ma=å
r r
 
 
pode-se escrever, 
 
 
dv d dP
F m (mv)
dt dt dt
dP
F
dt
= = =
Û =
å
å
rrr r
rr 
 
isto é, a força resultante é igual à taxa de variação da quantidade de movimento. 
Graficamente, temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Princípio da conservação da quantidade de 
movimento 
O princípio diz-nos que perante a ausência de forças externas aplicadas às massas, ou 
seja, se a a soma das forças externas fôr nula, a quantidade de movimento permanece 
constante. Então temos, 
 
 F 0 P cte= Þ =å
r r
 
 
 
 
 
 
v
r
P
r
m 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Impulso de uma força 
Define-se o impulso resultante RI
r
da aplicação de uma ou várias forças durante um 
intervalo de tempo como, 
 
f
i
T
R
T
I Fdt= ò
r r
 [Ns] 
 
Princípio do impulso e da quantidade de movimento 
 
Expressando a 2ª Lei de Newton na forma, 
 
d
F (mv)
dt
=å
r r
 
 
então, 
 
 Fdt d(mv) Fdt mdv= Û =
r rr r
 
 
integrando os dois membros da equação, 
 
 
f f f f
i f i i
T v T T
f i i f
T v T T
Fdt mdv Fdt m(v v ) mv Fdt mv= Û = - Û + =ò ò ò ò
r r rr r r r r
Û 
 
Û 
f
i
T
i f
T
P Fdt P+ =ò
r r r
 
 
 
 
ou seja, podemos escrever, 
 
 i R fP I P+ =
r r r
 
 
o que indica que a quantidade de movimento final fP
r
de uma massa pode ser obtida pela 
soma vectorial da sua quantidade de movimento inicial iP
r
com o impulso resultante 
RI
r
exercido pela força F
r
 durante o intervalo de tempo considerado, ou ainda, 
 
 RP ID =
r r
 
 
ou seja, a variação da quantidade de movimento de um corpo é igual ao impulso da 
força resultante no mesmo intervalo de tempo. 
 
iP
r
RI
r
+ = 
fP
r
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
Considerando o princípio da quantidade de movimento em coordenadas cartesianas, 
componente a componente, temos, 
 
 
f
i
f
i
f
i
T
xi x xf
T
T
yi y yf
T
T
zi z zf
T
mv F dt mv
mv F dt mv
mv F dt mv
+ =
+ =
+ =
ò
ò
ò
 
 
Quando o F 0=å
r
, resulta RI
r
=0, logo a quantidade de movimento conserva-se, ou 
seja, de, i R fP I P+ =
r r r
, com RI
r
=0, resulta, 
 
 i fP P=
r r
 
Se um sistema envolve duas ou mais partículas, deve considerar-se a soma vectorial das 
respectivas quantidades de movimento e impulso. Contudo, tendo em conta que as 
forças de acção \u2013 reacção exercidas pelas partículas entre si formam pares de forças 
iguais e de sentidos opostos, levando a que os impulsos exercidos por estas forças se 
cancelem entre si, restam apenas os impulsos originados pelas forças externas, ou seja, 
 
 i R externas fP I P-+ =å å å
r r r
 
 
o qual se reduz a: 
 
 i fP P=å å
r r
 
 
para um sistema isolado (ou seja, sistema para o qual não existe interacções com forças 
exteriores). Esta última equação traduz a conservação da quantidade de movimento total 
das partículas. 
 
Movimento Impulsivo 
Def: Movimento sob a acção de forças impulsivas que têm uma elevada intensidade, 
embora actuem num intervalo de tempo muito curto. 
 
 I F t ( F cte)Då å
r r
; ; 
 
Os impulsos de forças não impulsivas podem em geral ser desprezados no movimento 
impulsivo, como exemplos, o peso do corpo, força exercida por uma mola,... 
 
Aquando do movimento impulsivo, podemos escrever o princípio do impulso e da 
quantidade de movimento, como, 
 
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Folhas de apoio - versão 03-2003 
 i fP F t P+ D =å
r r r
 
 
 
 
Problema: Considere-se o embate entre um taco e 
uma bola de basebol, em que a bola com uma massa 
de 113 g é lançada inicialmente com uma 
velocidade de 24.4m/s em direcção a um taco. Após 
a pancada do taco a velocidade passa a ser de 
36.6m/s na direcção que se apresenta na figura 
seguinte. Se o taco e a bola estiverem em contacto 
durante 0,015s, determine a força impulsiva média 
exercida sobre a bola durante o choque. 
 
 
Esquematicamente temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, 
 
 
i x f x
y f y
-mv + F t = mv cos40 F 395Nx :
0 + F t = mv cos40 F 177Ny :
D Û =ì
í D Û =î
 
 
pelo que a intensidade da força resulta em F = 433N e o ângulo com a horizontal b = 
arctg(Fy/ Fx) = 24.2º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40º 
24.4m/s 
36.6m/s 
+ = 
Quantidade de 
movimento inicial 
Forças impulsivas 
PDD t=0 FDD t 
40º 
Quantidade de 
movimento final 
mvi 
mvf 
X 
Y 
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Física Aplicada à Engenharia Civil I 
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Choques ou Colisões 
Utiliza-se o termo choque para representar a colisão entre dois corpos num intervalo de 
tempo muito curto. Aquando do choque os corpos produzem forças impulsivas em cada 
um. Estas forças assumem-se como muito mais elevadas do que qualquer outra força 
externa. 
 
As forças internas ao sistema de duas partículas são forças impulsivas enquanto que as 
forças externas não o são, logo estamos em condições de conservação da quantidade de 
movimento, ou seja (verifique figura), 
 
 
 
 
antes do choque depois do choque
´ ´
a a b b a a b b
P P
ou
P P '
ou
m v m v m v m v
=
=
+ = +
å å
å å
r r
r r
r r r r
 
 
 
 
 
 
Observação: Aquando da resolução de problemas relativos a colisões, usa-se para 
simplificação da resolução um sistema de eixos ortogonais (nc, tc), como se apresenta 
na figura ao lado, onde, nc \u2013 corresponde ao eixo normal comum às superfícies dos dois 
corpos, e tc \u2013 corresponde ao eixo tangente comum às superfícies de contacto. 
 
Colisões centrais 
Diz-se que estamos perante um choque ou colisão central quando os centros de massa 
dos corpos que colidem estão alinhados segundo a normal de choque (nc). As colisões 
podem ainda ser divididas em colisão central directa e colisão central obliqua, 
consoante as velocidades das duas partículas que colidem se encontram ou não 
alinhadas com a nc. 
Colisão central directa 
Define-se colisão central directa quando os centros de massa