Lista do Jair V1.3
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Lista do Jair V1.3


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dd\u2032 =
xx\u2032 + yy\u2032. No instante t = 2, como d = 90, x =
80, x\u2032 = 40, y = 40, y\u2032 = 20, obtemos que 90d\u2032(2) =
80(40) + 40(20). Logo d\u2032(2) =
400
9
m/s.
Outra forma (mais complicada) sem utilizar ta-
xas relacionadas: Colocando a origem na interseção,
na altura do trilho do trem, com o eixo x na dire-
ção do movimento do carro e o eixo y na direção
do movimento do trem, o carro encontra-se no ins-
tante s em c(s) = (40s, 0, 10) e o trem (o \ufffdnal do
último vagão) em t(s) = (0, 20s, 0). A distância
d(s) =
\u221a
(40s)2 + (20s)2 + 10. Assim,
d\u2032(s) =
2 · 40s · 40 + 2 · 20s · 20
2
\u221a
(40s)2 + (20s)2 + 10
.
Calculando obtemos que d\u2032(2) =
400
9
m/s.
9.Colocando a origem na interseção e colocando x(t)
como posição do fusca e y(t) do caminhão. Assim, a
distância d(t), por Pitágoras é d2(t) = x2(t) + y2(t).
Derivando (e simpli\ufffdcando) obtemos que dd\u2032 = xx\u2032+
yy\u2032. Dois segundos depois x = 120 \u2212 2 · 30 = 60 e
y = 2 · 40 = 80. Assim, d = 100. Como x\u2032 = \u221230
(sinal negativo pois o fusca está se aproximando da
interseção) e y\u2032 = 40, 100d\u2032 = 60(\u221230) + 80(40).
Logo d\u2032 = \u221218 + 32 = 14 m/s.
Outra forma (mais complicada) sem utilizar ta-
xas relacionadas: Colocando a origem na interseção,
com eixo x na direção do fusca e o eixo y na direção
APÊNDICE A. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 24
do caminhão, o fusca encontra-se no instante s em
f(s) = (\u221230s + 120, 0) e o caminhão em c(s) =
(0, 40s). Note que o sinal negativo na velocidade
do fusca é porque ele está se aproximando da interse-
ção. A distância d(s) =
\u221a
(\u221230s+ 120)2 + (40s)2.
Assim,
d\u2032(s) =
2(\u221230s+ 120)(\u221230) + 2(40s)(40)
2
\u221a
(\u221230s+ 120)2 + (40s)2 .
Calculando obtemos que d\u2032(2) = 14 m/s.
10.Chamando de x e y os lados do retângulo, temos
que x(t)y(t) = 50. Assim, x\u2032y + xy\u2032 = 0. Como
x\u2032 = 2 e x = 5, y = 10 (a área é 50!) e como
2 · 10 + 5y\u2032 = 0, y\u2032 = \u22124. Agora o perímetro P (t) =
2(x(t)+y(t)). Assim, P \u2032(t) = 2(x\u2032(t)+y\u2032(t)). Logo,
P \u2032(t) = 2(2\u2212 4) = \u22124m/s.
11. Seja d(t) a distância entre a pessoa e a parede
em função do tempo. Seja \u3b8(t) o ângulo de visão do
quadro. Logo tan(\u3b8(t)) =
1
d(t)
. Assim,
\u3b8\u2032(t)
cos2 \u3b8(t)
= \u2212 d
\u2032(t)
d2(t)
.
Por Pitágoras, a hipotenusa é
\u221a
5 quando os catetos
são 1 e 2. Assim, cos(\u3b8) =
2\u221a
5
. Substituindo na
equação acima (note que d\u2032(t) = \u22122 pois a distância
está diminuindo) obtemos que \u3b8\u2032(t) =
2
5
rad/s.
12. Seja h o nível de água e b a base do triângulo con-
tendo água. Por semelhança de triângulos,
h
10
=
b
8
.
Assim, quando o nível h = 5 a base b = 4. Su-
ponha que h\u2032 = 1/2 (velocidade de subida do ní-
vel de água). Como
h\u2032(t)
10
=
b\u2032(t)
8
, b\u2032(t) = 2/5.
Como o volume V (t) = 50h(t)b(t) (1/2 base vezes
altura do triângulo vezes 100), V \u2032 = 50(hb\u2032 + h\u2032b) =
50(5(2/5) + 1/2(4)) = 200cm3/min.
13. Seja x(t) a distância da mulher até o muro e s(t)
o comprimento da sombra no muro. Considere a reta
saindo do re\ufffdetor, passando pela cabeça da mulher
até encontrar o muro. Igualando
\u2206y
\u2206x
do intervalo 0
até x e de x até 40 obtemos que
1, 80\u2212 s(t)
x
=
3\u2212 1, 80
40\u2212 x(t) =
1, 2
40\u2212 x(t) .
Logo, (1, 80 \u2212 s(t))(40 \u2212 x(t)) = 1, 2x(t). Logo
quando x(t) = 20 (meio caminho), s(t) = 3/5. Deri-
vando obtemos que
(\u2212s\u2032)(40\u2212 x) + (1, 80\u2212 s)(\u2212x\u2032) = 1, 2x\u2032.
Substituindo x = 20, s = 3/5, x\u2032 = \u22124 (é nega-
tiva pois x diminui quando caminhamos na direção
do muro) obtemos que s\u2032 =
12
25
= 0, 48m/s.
14. Se P = (x0, y0), a equação da reta tangente t
que passa em P é y\u2212y0 = \u22122x0(x\u2212x0). Como y0 =
\u2212x20+1, a equação de t é: y = 1\u2212x20\u2212 2x0(x\u2212x0).
O Ponto Q é a interseção de t com o eixo x. Basta
colocar y = 0 na equação da reta t para se obter
que a coordenada x de Q é: x0 +
1\u2212 x20
2x0
. Note que
M = (x0, 0). Assim, MQ =
1\u2212 x20
2x0
. Logo
MQ\u2032(t) =
\u22122x0(t)x0(t)\u2032(2x0(t)) \u2212 (1\u2212 x20)2x\u20320(t)
4x0(t)2
.
Simpli\ufffdcando,
MQ\u2032(t) =
\u22124x20(t)x\u20320(t)\u2212 (1\u2212 x20)2x\u20320(t)
4x0(t)2
. Tomando
x0 = 1/
\u221a
2, obtemos que MQ\u2032(t) = \u22123cm/min.
15. Se P = (x0, y0), a equação da reta tangente t
que passa em P é y \u2212 y0 = \u2212 1
x20
(x \u2212 x0). Como
y0 =
1
x0
, a equação de t é: y =
1
x0
\u2212 1
x20
(x \u2212 x0).
O Ponto Q é a interseção de t com o eixo x. Basta
colocar y = 0 na equação da reta t para se obter que
a coordenada x de Q é: 2x0.
(a) Como Q = (2x0, 0) (veja contas acima), a
distância OP é igual a distância PQ que é igual a\u221a
x20 + y
2
0 .
(b) A altura do triângulo OPQ é igual a y0 e suas
base é 2x0. Logo sua área é 2x0y0/2 = x0y0. Como
y0 =
1
x0
, a área de OPQ é igual a 1 sempre. Na
realidade a taxa de variação é zero, independente da
velocidade com que P se desloca.
A.4.5 Derivação Implícita
1.Derivando implicitamente,
2x+2y+2xy\u20324y2y\u2032 = 0 e 2yy\u2032+9\u2212 3(x\u2212 2)2 = 0.
Assim substituindo x = 0 e y = 1 obtemos que m1 =
\u22122
3
e m2 =
3
2
.
2.Derivando h\u2032(x) = 2b sen(x/2) cos(x/2)(1/2) =
b sen(x/2) cos(x/2). Assim, h\u2032(pi/2) = b/2. Deri-
vando implicitamente,
y\u2032 cosx+ y(\u2212 senx) + y + xy\u2032 = 5pi.
Substituindo x = pi/2 e y = 5pi obtemos que y\u2032 = 10.
Assim 10 = y\u2032 = h\u2032(pi/2) = b/2. Logo, b = 20.
Precisamos também que h(pi/2) = a + b/2 = 5pi.
Logo, a+ 10 = 5/pi.
R: a = 5pi \u2212 10 e b = 20.
3.Derivando implicitamente,
4y3y\u2032 \u2212 2yy\u2032 + 4 cos(xy)(y + xy\u2032) = 0.
Substituindo x = 0 e y = 1 obtemos que y\u2032(0) = \u22122.
4.Derivando implicitamente,
4xy2+4x2yy\u2032+3y2 cos(pix)+y3(\u2212 sen(pix)(pi)) = 0.
APÊNDICE A. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 25
Substituindo x = y = 1 obtemos que y\u2032 = \u22121/4.
Assim a reta tangente é y = 5/4\u2212 x/4.
5.Derivando implicitamente obtemos que
2x(cos y + sen y) + x2(\u2212 sen y + cos y)y\u2032 \u2212 2 = 0.
(a) Substituindo x = 1 e y = pi/2 obtemos que
y\u2032 = 0. Logo y \u2212 pi/2 = 0(x \u2212 1). Assim, a reta
tangente é y = pi/2.
(b) Escrevendo ay\u2032 = b, quando a = 0, y\u2032 = ±\u221e,
isto é, a reta tangente será vertical. assim isto ocor-
rerá quando x2(\u2212 sen y+ cos y) = 0, isto é, se x = 0
ou sen y = cos y. Note que x = 0 não corresponde a
nenhum ponto pois da equação acima teremos 1 = 0
!!!!. Por outro lado, se sen y = cos y então sen y =
cos y = ±
\u221a
2
2
. Substituindo na equação original te-
mos que determinar x \u2208 R tal que:
2x2(
±\u221a2
2
)\u2212 2x+ 1 = 0 = ±
\u221a
2x2 \u2212 2x+ 1.
São duas equações do segundo grau. Note que as
raízes de
\u221a
2x2 \u2212 2x + 1 = 0 são complexas pois
\u2206 < 0. Assim as soluções são as raízes de \u2212\u221a2x2 \u2212
2x + 1 = 0: x =
\u22122±
\u221a
4 + 4
\u221a
2
2
\u221a
2
. Os y tais que
sen y = cos y = \u2212
\u221a
2
2
são y = \u22123pi
2
+ 2kpi com
k \u2208 Z.
A.5 Integral
A.5.1 Técnicas Básicas de Integração
1. (a) sen(x+ 3) + C. (b)
1
5
sec(5x) + C.
(c)
1
2
sen2x+ C. (d) \u22121
4
cos4 \u3b8 + C.
(e) senx\u2212 1
3
sen3x+ C. (f) \u22121
2
(1\u2212 2x2)3/2 + C.
2. (a)
3
4
(x2 + 6x)2/3 + C.
(b)
3
8
(1 + x)8/3 \u2212 3
5
(1 + x)5/3 + C.
(c)
2
3
(x\u2212 1)3/2 + 2(x\u2212 1)1/2 + C.
(d)
1
4
arcsen(4x/5) + C.
(e)
1
6
arctan(2x/3) + C.
(f)
1
3
arcsec(2x/3) + C.
(g)
1
3
arcsen(x3) + C.
(h)
\u221a
3
6
arctan(
\u221a
3x2/3) + C.
(i) arcsen((x+ 6)/8) + C.
(j)
1
2
arctan((x \u2212 2)/2) + C.
3. (a) \u2212x
5
cos(5x) +
1
25
sen(5x) + C.
(b) \u2212e\u22122x(x/2 + 1/4) + C.
(c) (x\u2212 1) log(1\u2212 x)\u2212 x+ C.
(d) e1/x(1\u2212 1/x) + C.
(e)
2
5
e2x senx\u2212 1
5
e2x cosx+ C.
(f)
2
3
x
\u221a
x log x\u2212 4
9
x
\u221a
x+ C.
(g) x arcsen(x/2) +
\u221a
4\u2212 x2 + C.
4. (a) Tome u = x2. R:
1
2
ex
2
+ C.
(b) Tome u = senx. R: esen x + C.
(c) Tome u = log x. R:
1
2
log2 x+ C.
(d) Tome u = x2 + x+ 1. R: log |x2 + x+ 1|+ C.
(e) Tome u = log x. R: sen(log x) + C.
(f) Tome u = 4 + t3. R:
1
3
log |4 + t3|+ C.
5. (a) Tome u = 3 + 4ex. R:
1
4
log(3 + 4ex) + C.
(b) Tome u =
\u221a
x. R: 2e
\u221a
x + C.
(c) Tome u = x2 + 4. R:
1
2
log(x2 + 4) + C.
(d) Tome u = ex. Depois observe que u2 +2u+1 =
(u+ 1)2.