Lista de Exercicios Resolvida   Transfor (1)
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Lista de Exercícios 
Transformada de Laplace e Z 
 
Vinícius Marinho Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vitória da Conquista, BA 
Janeiro de 2013. 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2,3,4 e 5. 
2 Vinícius Marinho Silva \u2013 Sinais e Sistemas 
Problemas 
2.4-7 A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é 
 \u210e(\ud835\udc61) = \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
Determine a resposta do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for: 
a) 
)(tu
 
b) \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
c) \ud835\udc52\u22122\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
d) \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b3\ud835\udc61 \ud835\udc62(\ud835\udc61) 
 
Alternativa a: 
A resposta do um sistema (estado nulo) obedece a seguinte equação: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \u210e(\ud835\udc61)\u2217\ud835\udc65(\ud835\udc61) 
Substituindo x(t) e h(t): 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) . \ud835\udc62(\ud835\udc61) 
Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace): 
\u210e(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60+1
 e \ud835\udc65(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60
 
logo, 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = \u210e(\ud835\udc60) . \ud835\udc65(\ud835\udc60) 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = (
1
\ud835\udc60+1
) (
1
\ud835\udc60
) 
Como esta transformada não pode ser obtida diretamente da tabela 1 será necessário 
expandir estas funções por frações parciais. Então: 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = 
1
\ud835\udc60 + 1
 . 
1
\ud835\udc60
=
\ud835\udc34
\ud835\udc60
+
\ud835\udc35
\ud835\udc60 + 1
 
Trata-se de do caso 1 de frações parciais (Raízes diferentes e racionais) Para saber o 
valor do resíduo \u201cA\u201d multiplica-se a equação acima pelo denominador de \u201cA\u201d e em seguida 
substitui-se \u201cs\u201d pela raiz do denominador de \u201cA\u201d, ou seja, substitui-se por zero. Então: 
[(
1
\ud835\udc60 + 1
) (
1
\ud835\udc60
)] (\ud835\udc60) = (
\ud835\udc34
\ud835\udc60
+
\ud835\udc35
\ud835\udc60 + 1
) (\ud835\udc60) 
Substituindo-se s por 0: 
[(
1
0 + 1
)] = \ud835\udc34 + (
\ud835\udc35
0 + 1
) (0) 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2,3,4 e 5. 
3 Vinícius Marinho Silva \u2013 Sinais e Sistemas 
\ud835\udc34 = 1 
Para encontrar o valor do resíduo B utilizou-se do mesmo artifício de A: multiplica-se 
a equação principal pelo denominador de \u201cB\u201d e em seguida substitui-se tal denominador \u201cs+1\u201d 
pela raiz do denominador de \u201cB\u201d, ou seja, substitui-se \u201cs\u201d por -1. Então: 
[(
1
\ud835\udc60 + 1
) (
1
\ud835\udc60
)] (\ud835\udc60 + 1) = (
\ud835\udc34
\ud835\udc60
+
\ud835\udc35
\ud835\udc60 + 1
) (\ud835\udc60 + 1) 
[(1) (
1
\ud835\udc60
)] =
\ud835\udc34(\ud835\udc60 + 1)
\ud835\udc60
+ \ud835\udc35 
Substituindo-se s por -1: 
 \u22121 =
\ud835\udc34(\u22121 + 1)
\u22121
+ \ud835\udc35 
\ud835\udc35 = \u22121 
Subst. A e B: 
 \ud835\udc66(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60
 \u2212 
1
\ud835\udc60 + 1
 
Em função do tempo: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = (1 \u2212 \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61)\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
Alternativa b: 
A resposta de um sistema (estado nulo) obedece à seguinte equação: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \u210e(\ud835\udc61) \u2217 \ud835\udc65(\ud835\udc61) 
Substituindo x(t) e h(t): 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) . \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace): 
\u210e(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60+1
 e \ud835\udc65(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60+1
 
Logo, 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = \u210e(\ud835\udc60) . \ud835\udc65(\ud835\udc60) 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = 
1
\ud835\udc60 + 1
 . 
1
\ud835\udc60 + 1
 =
1
(\ud835\udc60 + 1)2
 
Esta transformada pode ser obtida diretamente da tabela 1. Então não será preciso 
separá-la por frações parciais (iria resultar numa fração parcial \u201cmodo 2\u201d, onde há duas raízes 
iguais). Portanto, utilizando a tabela 1 \ud835\udc66(\ud835\udc61) será: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \ud835\udc61\ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2,3,4 e 5. 
4 Vinícius Marinho Silva \u2013 Sinais e Sistemas 
 
Alternativa c: 
Substituindo x(t) e h(t): 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) . \ud835\udc52\u22122\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace): 
\u210e(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60+1
 e \ud835\udc65(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60+2
 
Logo, 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = \u210e(\ud835\udc60) . \ud835\udc65(\ud835\udc60) 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = 
1
\ud835\udc60+1
 . 
1
\ud835\udc60+2
 
Como esta transformada não pode ser obtida diretamente da tabela 1 será necessário 
expandir estas funções por frações parciais. Então: 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = 
1
\ud835\udc60 + 1
 . 
1
\ud835\udc60 + 2
=
\ud835\udc34
\ud835\udc60 + 1
+
\ud835\udc35
\ud835\udc60 + 2
 
\ud835\udc34 = \u22121 \ud835\udc52 \ud835\udc35 = 1 
Subst. A e B: 
 \ud835\udc66(\ud835\udc60) =
\u22121
\ud835\udc60 + 1
+ 
1
\ud835\udc60 + 2
 
Em função do tempo: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = (\ud835\udc52\u2212\ud835\udc61 \u2212 \ud835\udc52\u22122\ud835\udc61)\ud835\udc62(\ud835\udc61) 
Alternativa d: 
A resposta do um sistema (estado nulo) obedece a seguinte equação: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \u210e(\ud835\udc61)\u2217\ud835\udc65(\ud835\udc61) 
Substituindo x(t) e h(t): 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) . \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b3\ud835\udc61 \ud835\udc62(\ud835\udc61) 
Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace): 
\u210e(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60+1
 e \ud835\udc65(\ud835\udc60) =
3
\ud835\udc602+ 32
 
logo, 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = \u210e(\ud835\udc60) . \ud835\udc65(\ud835\udc60) 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = 
1
\ud835\udc60+1
 . 
1
\ud835\udc602+32
 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2,3,4 e 5. 
5 Vinícius Marinho Silva \u2013 Sinais e Sistemas 
Como esta transformada não pode ser obtida diretamente da tabela 1. É necessário 
expandir estas funções por frações parciais. Trata-se de uma fração parcial de modo 3 (onde o 
denominador possui raiz complexa). Nota-se que (\ud835\udc602 + 32) é o fator irredutível que possui 
raízes complexas. Então a fração parcial será: 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = 
1
\ud835\udc60 + 1
 .
3
\ud835\udc602 + 32
=
3
(\ud835\udc60 + 1)(\ud835\udc602 + 32)
=
\ud835\udc34
(\ud835\udc60 + 1)
+
\ud835\udc35. \ud835\udc60 + \ud835\udc36
(\ud835\udc602 + 32)
 
 
Para encontrar \u201cA\u201d utiliza-se a metodologia tradicional (multiplica-se os dois termos da 
equação principal pelo denominador de A e depois aplica-se em \u201cs\u201d a raiz do denominador de 
A). Então teremos: 
3
(\ud835\udc602 + 32)(\ud835\udc60 \u2212 3)
=
\ud835\udc34
\ud835\udc60 \u2212 1
 
\ud835\udc34 =
3
((\u22121)2 + 32)
=
3
10
 
Para encontrar "B", multiplique tudo por "s " e aplique o limite ao infinito para s. Para 
encontrar \u201cC\u201d apenas considere na equação principal \ud835\udc60 = 0. Então: 
\ud835\udc34 =
3
10
 , \ud835\udc35 = \u2212\ud835\udc34 = \u2212
3
10
 , \ud835\udc36 = 
3
10
 
Subst. A,B e C: 
 \ud835\udc66(\ud835\udc60) =
3
10
(
1
\ud835\udc60 \u2212 1
) +
\u22123\ud835\udc60
10 +
3
10
\ud835\udc602 + 32
= (
3
10
) (
1
\ud835\udc60 \u2212 1
) + (
3
10
) (
\u2212\ud835\udc60 + 1
\ud835\udc602 + 32
) 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = (
3
10
) [(
1
\ud835\udc60 \u2212 1
) + (
\u2212\ud835\udc60 + 1
\ud835\udc602 + 32
)] 
Em função do Tempo: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) =
3
10
[\ud835\udc52\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) + cos(3\ud835\udc61). \ud835\udc62(\ud835\udc61)] 
Obs: Para o lado direito utilizou-se o caso 9 da tabela da transformada de Laplace. 
 
2.4-9 Repita o problema 2.4-7 para 
 \u210e(\ud835\udc61) = (1 \u2212 2\ud835\udc61)\ud835\udc52\u2212\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) e \ud835\udc65(\ud835\udc61) = \ud835\udc62(\ud835\udc61) 
A resposta do um sistema (estado nulo) obedece a seguinte equação: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \u210e(\ud835\udc61) \u2217 \ud835\udc65(\ud835\udc61) 
Substituindo x(t) e h(t): 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = (1 \u2212 2\ud835\udc61)\ud835\udc52\u22122\ud835\udc61\ud835\udc62(\ud835\udc61) . \ud835\udc62(\ud835\udc61) 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2,3,4 e 5. 
6 Vinícius Marinho Silva \u2013 Sinais e Sistemas 
Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace): 
\u210e(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60+2
\u2212
2
(\ud835\udc60+2)2
 e \ud835\udc65(\ud835\udc60) =
1
\ud835\udc60
 
logo, 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = \u210e(\ud835\udc60) . \ud835\udc65(\ud835\udc60) 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = (
1
\ud835\udc60 + 2
\u2212
2
(\ud835\udc60 + 2)2
) . 
1
\ud835\udc60
 
Manipulando a equação: 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = ((\ud835\udc60 + 2) \u2212 2)
1
\ud835\udc60(\ud835\udc60 + 2)2
 
\ud835\udc66(\ud835\udc60) = \ud835\udc60
\ud835\udc60(\ud835\udc60+2)2
= 1
(\ud835\udc60+2)2
 
Agora esta transformada pode ser obtida diretamente da tabela 4.1 
Em função do tempo: 
\ud835\udc66(\ud835\udc61) = \ud835\udc61\ud835\udc52\u22122\ud835\udc61 
 
2.4-25 Considere o circuito mostrado na figura P2.4-5. 
 
Figura P2.4-25 
a) Determine a saída y(t) dada uma tensão inicial do capacitor de \ud835\udc66(0) = 2\ud835\udc49 e entrada \ud835\udc65(\ud835\udc61) =
\ud835\udc62(\ud835\udc61). 
b) Dada uma entrada \ud835\udc65(\ud835\udc61) = \ud835\udc62(\ud835\udc61 \u2212 1), determine a tensão inicial do capacitor y(t) tal que a 
saída y(t) seja 0,5 volts para t = 2 segundos. 
 
Alternativa a 
Através da LTK, nota-se que, 
\ud835\udc65(\ud835\udc61) = \ud835\udc45\ud835\udc3c + \ud835\udc66(\ud835\udc61) 
Sendo que 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2,3,4 e 5. 
7 Vinícius Marinho Silva \u2013 Sinais e Sistemas 
y(t) = \ud835\udc36
\ud835\udc51\ud835\udc63(\ud835\udc61)
\ud835\udc51\ud835\udc61
 
então 
\ud835\udc65(\ud835\udc61) = \ud835\udc45\ud835\udc36\ud835\udc66(\ud835\udc61) + \ud835\udc66(\ud835\udc61) 
1
\ud835\udc45\ud835\udc36
\ud835\udc65(\ud835\udc61) =
1
\ud835\udc45\ud835\udc36
\ud835\udc66(\ud835\udc61) + \ud835\udc66(\ud835\udc61) 
De modo que 
\ud835\udc4e = \u2212
1
RC
 
A resposta quando \ud835\udc61 = 0\u2212 tem a forma 
\ud835\udc66\ud835\udc5c(\ud835\udc61) = \ud835\udc501. \ud835\udc52\u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36 
Quando t=0 
\ud835\udc66\ud835\udc5c(0) = \ud835\udc501. \ud835\udc52\u2212
0
\ud835\udc45\ud835\udc36 = \ud835\udc501 = 2 
Então 
\ud835\udc66\ud835\udc5c(\ud835\udc61) = 2. \ud835\udc52\u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36