Buscar

resumo eletromagnetismo fisica básica

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

F´ısica Ba´sica 2 - Biotecnologia
Eletrosta´tica
Saulo Diles∗
1 Introduc¸a˜o
O eletromagnetismo e´ a teoria da F´ısica que descreve os campos ele´trico e
magne´tico: como eles sa˜o gerados e como interagem com a mate´ria. Esta a´rea da
f´ısica tem vastas aplicac¸o˜es nas cieˆncias biolo´gicas tanto em termos de aparato
tecnolo´gico, como e´ o caso do microsco´pio eletroˆnico e do aparelho de ressonaˆncia
magne´tica, quanto para descric¸a˜o dos sistemas biolo´gicos como ocorre por exem-
plo na associac¸a˜o entre o sistema nervoso e um circuito ele´trico. Sera´ discutida
neste texto a parte do eletromagnetismo que lida com configurac¸o˜es esta´ticas
(fixas ao longo do tempo) de cargas ele´tricas conhecida como eletrosta´tica.
1.1 Carga Ele´trica
A carga ele´trica e´ uma propriedade fundamental da mate´ria e se apresenta na
naturaza em duas formas: cargas positivas e cargas negativas. Corpos carrega-
dos em repousos exercem forc¸as um sobre os outros de atrac¸a˜o ou repulsa˜o,
dependendo de suas cargas. Esta forc¸a e´ chamada de forc¸a eletrosta´tica ou
forc¸a de Coulomb e sera´ discutida adiante.
A mate´ria que conhecemos e´ formada pelos a´tomos, catalogados na tabela
perio´dica dos elementos. Os a´tomos por sua vez sa˜o constituidos por part´ıculas
que se organizam formando um nu´cleo e uma eletrosfera. O nu´cleo atoˆmico e´
constituido por pro´tons e neutrons, que sa˜o part´ıculas pesadas. Os neutrons sa˜o
eletricamente neutros enquanto que os pro´tons sa˜o portadores de carga positiva.
A eletrosfera e´ composta por ele´trons, que sa˜o as part´ıculas fundamentais1 leves
portadoras de carga negativa. Em larga a mate´ria e´ eletricamente neutra, ou
seja, tem a mesma quantidade de cargas positivas(pro´tons) e negativas(ele´trons).
A mate´ria eletricamente neutra e´ insens´ıvel a` forc¸a eletrosta´tica.
Para que possamos inferir o efeito da interac¸a˜o ele´trica precisamos gerar
uma carga l´ıquida, separando as cargas negativas e positivas dos corpos. Esta
separac¸a˜o das cargas pode ser obtida atritando a superf´ıcie de dois corpos de
composic¸a˜o distinta. Por exemplo, as nuvens se deslocam atritando com o ar
acumulam cargas. Este excesso de cargas eventualmente e´ transferido o para
solo, ou para outra nuvem, formando um raio.
∗e-mail: smdiles@gmail.com
1O pro´ton e o neutron possuem uma complexa estrutura interna
1
1.2 Unidades de Carga Ele´trica
A carga ele´trica e´ uma grandeza f´ısica fundamental, a medida da carga ele´trica
de um corpo deve enta˜o ser apresentada em termos de uma unidade de medida
padra˜o de carga ele´trica. Duas unidades de medida muito utilizadas sa˜o o
Coulomb(C) e a unidade de carga elementar(e). O Coulomb e´ uma unidade
macrosco´pica e e´ definida em termos da carga transportada por uma correte de
1 Ampe´re2 no tempo que 1 segundo. O Coulomb e´ a unidade de carga ele´trica no
Sistema Internacional de Unidade(SI). A unidade de carga elementar por sua vez
e´ definida devido a` existeˆncia de uma quantidade mı´nima, indivis´ıvel, de carga
que pode ser transportada por uma part´ıcula. A unidade de carga elementar
(e) e´ igua a` menos carga de um ele´tron(e−), que podemos representar na forma
qe− = −e. A carga do pro´ton(p) e´ identica em magnitude a` carga do ele´tron e
com sinal oposto: qp = +e.
1.3 Eletricidade em seres vivos
Em 1786, no laborato´rio do bio´logo Luigi Galvani, foi registrado pela primeira
vez o efeito de um campo ele´trico em um organizmo vivo. Foi constatado que
todas as vezes que um gerador de energia produzia uma descarga ele´trica havia
uma contrac¸a˜o no musculo de uma ra˜[1]. Os seres vivos de fato teˆm uma grande
sensibilidade a` eletricidade. Por exemplo, hoje sabemos que o mu´sculo de um
animal e´ relaxado ou contra´ıdo devido a` pulsos ele´tricos emitidos pelo seu sis-
tema nervoso. Um outro exemplo da presenc¸a de eletricidade em seres vivos sa˜o
os peixes ele´tricos como a raia, o bagre ou a enguia, que podem produzir fortes
descargas ele´tricas. Este tipo de fenoˆmeno e´ conhecido como bioeletricidade.
1.4 Condutores e isolantes
A mate´ria pode ser classificada pela sua capacidade de permitir ou na˜o o trans-
poete de cargas ele´tricas. Materia´is onde corpu´sculos constituintes carregados
(´ıons ou ele´trons) podem mover-se livremente sa˜o chamados condutores. Sa˜o
exemplos de materiais condutores metais, a´gua mineral e o corpo humano. Os
materiais em que nenhum constituinte eletricamente carregado pode mover-se e´
chamado isolante, e´ o caso da madeira, do ar e da borracha. Pore´m mesmo em
materiais isolantes e´ possivel gerar transporte de cargas, para isso e´ nescessa´rio
‘vencer a barreira’ que impede o movimento dos corpos carregados.
2 Forc¸a Ele´trica
Corpos carregados interagem entre si: eles se repelem ou se atraem. Esta re-
pulsa˜o ou atrac¸a˜o se deve ao efeito da forc¸a ele´trica, que age unicamente em
corpos eletricamente carregados. Corpos carregados com o mesmo tipo de carga,
aˆmbas positivas ou aˆmbas negativa, se repelem enquanto que corpos carregados
com tipos diferentes de carga, uma positiva e uma negativa, se atraem (Figura
1). A forc¸a ele´trica entre dois corpos carregados e´ descrita pela lei de Coulomb.
Lei de Coulomb: A norma da forc¸a eletrosta´tica de atrac¸a˜o ou repulsa˜o en-
2Discutiremos corrente ele´trica adiante
2
Figure 1: Forc¸a ele´trica entre cargas pontuais.
tre duas cargas puntiformes q1 e q2 e´ diretamente proporcional ao produto das
cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia r que as separam.
F ∝ q1q2
r2
. (1)
A lei de Coulomb pode ser espressa de forma vetorial, determinando com-
pletamente o vetor forc¸a ele´trica que age sobre uma part´ıcula carregada deviso
a` presenc¸a de um outro corpo carregado. Considere um ponto de refereˆncia O
que marca a origem de um sistema de coordenadas, a partir do qual e´ definido
o vetor que localiza um ponto no espac¸o. A forc¸a que uma carga puntiforme q1
localizada em ~r1 exerce sobre uma carga puntiforme q2 localizada em ~r2 e´ dafa
por:
~F1→2 =
1
4pi�0
q1q2
|~r2 − ~r1|2 rˆ12, (2)
onde �0 e´ a constante de permisividade ele´trica do va´cuo e rˆ12 e´ o vetor unita´rio
que aponta na direc¸a˜o de q1 para q2:
rˆ12 ≡ ~r2 − ~r1|~r2 − ~r1| .
A forc¸a ele´trica e´ enta˜o radial, ou seja, atua na direc¸a˜o da reta que liga as duas
cargas. A constante de proporcionalidade da Lei de Coulomb foi determinada
experimentalmente, utilizando-se um experimento onde esferas carregadas eram
aproximadas e a forc¸a resultante medida por uma balanc¸a de torc¸a altemente
precisa, e seu valor e´
�0 = 8.85× 10−12 C
2
Nm2
,
1
4pi�0
= 8.99× 109Nm
2
C2
.
Note que se q1q2 > 0 a forc¸a ele´trosta´tica sobre q2 age no sentido positivo de
r12 e portanto gera uma acelerac¸a˜o no sentido de afastar a carga q2 da carga
q1. Para que tenhamos q1q2 > 0 devemos ter que q1 > 0 e q2 > 0, duas cargas
positivas, ou q1 < 0 e q2 < 0, duas cargas negativas. Por outro lado se q1q2 < 0,
que acontece quando uma carga e´ positiva e a outra negativa, teremos que a
forc¸a sobre q2 age no sentido negativo de r12 e gera uma acelerac¸a˜o que aproxima
3
q@ de q1. A lei de Coulomb como expressa na equac¸a˜o (2) encorpora tambe´m
o fato de que cargas de mesmo sinal se repelem enquanto que cargas de sinais
opostos se atraem.
A interac¸a˜o elestrosta´tica entre dois corpos carregados e´ mu´tua, a carga q1
exerce forc¸a sobre q2 e a carga q2 exerce forc¸a sobre q1. As forc¸as entre as cargas
formam pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o, de modo que a forc¸a resultante do sistema seja
nula. Portanto se a carga q1 exerce uma forc¸a ~F1→ 2 em q2, enta˜o q2 exerce
uma forc¸a ~F2→1 em q1 que satisfaz ~F1→2 + ~F2→1 = ~0, ou seja, ~F2→1 = −~F1→2.
2.1 O princ´ıpio da superposic¸a˜o
A lei de Coulomb determina a forc¸a eletrosta´tica entre duas cargas pontuais.
Como podemos determinar enta˜o as forc¸as
eletrosta´ticas na presenc¸a de treˆs
ou mais cargas puntiformes? A resposta para esta pergunda e´ enunciada como
um princ´ıpio ba´sico da f´ısica conhecido como princ´ıpio da superposic¸a˜o3: A
forc¸a eletrosta´tica ~Fi dobre uma part´ıcula i, localizada em ~ri e com carga qi,
devido a presenc¸a N part´ıcuas j, j = 1, 2, ..., N , cada uma localizada em rj e
com carga qj e´ dada pela soma individual da forc¸a eletrosta´tica ~Fj→i que cada
part´ıcula j exerce sobre a part´ıcula i:
~Fi = ~F1→i + ~F2→i + ...+ ~FN→i =
N∑
j=1
~Fj→i, (3)
onde a forc¸a que a part´ıcula j exerce sobre a part´ıcula i e´
~Fj→i =
1
4pi�0
qiqj
|~rj − ~ri|2 rˆji.
Portanto para calcular a forc¸a eletrosta´tica resultante sobre uma part´ıcula
carregada devemos calcular a forc¸a devido a` cada carga individual e efetuar a
soma vetorias destas forc¸as para obter a forc¸a ele´trica resultante.
2.2 Analogia com gravitac¸a˜o
Existe uma analogia entre a forc¸a eletrosta´tica e a forc¸a gravitacional. A forc¸a
gravitacional entre dois corpos massivos e´ determinada pela lei de Newton da
gravitac¸a˜o, que diz que a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre dois corpos e´
diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional
ao quadrado distaˆncia que os separam. A forc¸a gravitacional tambe´m satisfaz o
princ´ıpio da superposic¸a˜o.
A grande diferenc¸a esta´ no fato de que a forc¸a gravitacional e´ sempre atrativa,
enquanto que a forc¸a eletrosta´tica pode ser tanto atrativa quanto repulsiva.
No caso da forc¸a gravitacional dizemos que existe apenas um tipo de ‘fonte’,
a massa, que sempre gera uma forc¸a atrativa de acordo com a lei de Newton.
Enquanto que para a forc¸a eletrosta´tica dizemos que existem dois tipos de fontes,
as cargas, que podem gerar forc¸as atrativas ou repulsivas de acordo com a Lei
de Coulomb.
3Este princ´ıpio tambe´m e´ valido para onda meceˆnicas. Neste caso ele dis que a func¸a˜o de
onda resultante da superposic¸a˜o de duas ondas e´ a soma das func¸o˜es de onda que descreve
individualmente cada uma das ondas
4
3 O Campo Ele´trico
A forc¸a eletrosta´tica que acabamos de discutir e´ uma forma de interac¸a˜o a`
distaˆncia: corpos separados por uma distaˆncia finita (> 0) exercem forc¸as entre
s´ı. Como podemos explicar esta ac¸a˜o a` distaˆcia entre os corpos carregados?
Esta ac¸a˜o a` distaˆncia e´ uma consequeˆncia dos corpos possuirem carga ele´trica
na˜o nula. Dizemos que um corpo eletricamente carregado gera no espac¸o a seu
redor um campo ele´trico, que atua em outros corpos carregados gerando uma
forc¸a ele´trica. O campo ele´trico e´ um campo vetorial, ou seja, em cada ponto ~r
do espac¸o teremos um vetor campo ele´trico ~E(~r).
Definimos o campo ele´trico ~E(~r) de modo que a forc¸a ele´trosta´tica resultante
~Fq que atua sobre uma carga pontual q localizada em ~rq e´
~Fq = q ~E(~rq), ~E(~rq) =
1
q
~Fq. (4)
O campo ele´trico gerado por um conjunto de cargas e´ igual a` soma vetorial
dos campos ele´tricos gerados individualmente por cada carga. Se temos n cargas
q1, q2, ..., qn que geram em um ponto ~r do espac¸o os respectivos campos ele´tricos
~E1(~r), ~E2(~r), ..., ~En(~r) enta˜o o campo ele´trico gerado neste ponto ( ~E(~r) sera´:
~E(~r) = ~E1(~r) + ~E2(~r) + ...+ ~En(~r) =
n∑
i=1
~Ei(~r). (5)
O princ´ıpio da superposic¸a˜o e´ valido para o campo ele´trico e e´ equivalente ao
princ´ıpio da superposic¸a˜o para a forc¸a ele´trica enunciado anteriormente.
3.1 Monopolo ele´trico
O campo ele´trico gerado por uma carga pontual(monopolo) localizada na origem
de um sistema de coordenadas, ou seja, em ~r = ~0 e´ obtido a partir da Lei de
Coulomb eq.(2). A forc¸a gerada sobre a part´ıcula de carga q2 e´ o efeito da
atuac¸a˜o do campo ele´trico gerado pela carga q1 no ponto ~r2 = ~r onde se localiza
a part´ıcula de carga q2:
~F1→2 = q2 ~E1(~r), ~E1(~r) =
1
q2
~F1→2. (6)
Portanto o campo ele´trico gerado por uma part´ıcula pontual de carga Q em um
ponto ~r do espac¸o e´:
~E(r) =
1
4pi�0
Q
r2
rˆ, (7)
onde r =
√
~r · ~r e´ o mo´dulo da distaˆncia da carga ao ponto e rˆ = ~r/r e´ o
vetor unita´rio que aponta na direc¸a˜o radial. Em coordenadas cartesianas temos
~r = (x, y, z), consequentemente r =
√
x2 + y2 + z2, e podemos escrever as
componentes do campo ele´trico como
~E(r) = (Ex, Ey, Ez) =
Q
4pi�0
(
x
(x2 + y2 + z2)
3
2
,
y
(x2 + y2 + z2)
3
2
,
z
(x2 + y2 + z2)
3
2
)
.
5
Em coordenadas polares (r, θ, φ) temos ~E(r) = Er rˆ + Eθ θˆ + Eφφˆ apenas a
componente radial e´ na˜o-nula:
~E(r) =
1
4pi�0
Q
r2
rˆ.
O campo ele´trico de uma carga pontual positiva e de uma carga pontual negativa
esta˜o representados na imagem acima pelas linhas de campo.
3.2 Dipolo Ele´trico
O dipolo ele´trico e´ um sistema formado por duas cargas pontuais de sinais
opostos (+q,−q) separadas por uma distaˆncia pequena ~d. Note que a carga
ele´trica total do dipolo e´ zero qtot = (+q) + (−q) = 0 pore´m o campo ele´trico
gerado pelo dipolo na˜o e´ nulo. O dipolo ele´trico e´ caracterizado pelo vetor
momento de dipolo ~p, definido pelo produto entre o mo´dulo das cargas q =
| ± q| e o vetor ~d que liga a carga negativa a` carga positiva ~d = ~r+ − ~r−:
~p = q~d (momento de dipolo ele´trico).
Consideramos que o centro do dipolo esta´ localizado em ~r = 0, ou seja
~r+ = ~d/2, ~r− = −~d/2. Assim em um ponto ~r do espac¸o o campo ele´trico
gerado por este dipolo sera´ dado por[2]:
~E(~r) = − ~p
4pi�0r3
+
3(~p · rˆ)
4pi�0r3
rˆ. (8)
Note que o campo ele´trico do dipolo e´ proporcional a` 1/r3 e decai rapida-
mente quando r e´ grande, ou seja, quando estamos observando pontos distantes
do centro do dipolo. O campo de um dipolo ele´trico esta´ representado na Figura
2 pelas linhas de campo.
3.3 Plano Carregado
Uma configurac¸a˜o de cargas que e´ de grande interesse sa˜o as placas planas
uniformemente carregadas. Aqui vamos descrever o campo ele´trico no interior
da placa, desprezando efeitos de bordas ou equivalentemente tratando a placa
6
Figure 2: Campo do dipolo ele´trico.
Figure 3: Campo ele´trico de uma placa positivamente carregada.
como um plano infinito. A configurac¸a˜o das cargas em um plano e´ descrita pela
func¸a˜o densidade de cargas σ(x, y), onde (x, y) sa˜o as coordenadas do plano, que
diz quanto de carga ele´trica esta´ contida em uma pequena regia˜o centrada em
(x, y). Uma distribuic¸a˜o uniforme de cargas e´ descrita por uma func¸a˜o constante
σ(x, y) = σ0 = Q/A, onde Q e´ a carga total da placa e A e´ a a´rea da placa.
O campo ele´trico gerado por uma placa infinita uniformemente carregada
com densidade superficial de carga σ0 gera campo ele´trico constante e perpen-
dicular a` placa, se a placa for paralela ao plano (x, y) enta˜o o campo ele´trico
gerado por ela sera´
~E =
σ
2�0
zˆ, para z > 0; ~E = − σ
2�0
zˆ, paraz < 0. (9)
O campo ele´trico ter´a sentido ‘saindo’ da placa se σ0 > 0 e ‘entrando’ na placa
se σ0 < 0.
4 O Poteˆncial Ele´trico
Sabemos da meceˆnica Newtoniana que forc¸as conservativas sa˜o derivadas de
poteˆnciais. Se uma part´ıcula que descreve uma trajeto´ria ~r(t) no espac¸o e´
sujeita a` uma forc¸a resultante ~F (~r) ao longo da trajeto´ria e a forc¸a ~F pode ser
7
obtida pela derivada de uma func¸a˜o energia potencial U na forma
~F (r) = −~∇U(~r), (Fx, Fy, Fz) =
(
−∂U
∂x
,−∂U
∂y
,−∂U
∂z
)
,
enta˜o sua energia mecaˆnica total (E = mv2/2 + U) se conserva. Dizemos
que as forc¸as conservativas sa˜o gradientes de seus poteˆnciais. A velocidade da
part´ıcula e´ ~v = d~r/dt e v2 = ~v · ~v. A energia da part´ıcula se conserva devido a`
lei de Newton:
dE
dt
= m~v · d~v
dt
+ (~∇U) · d~r
dt
= m~v · (~F − ~F ) = 0. (10)
Portanto se a forc¸a ele´trica e´ uma forc¸a conservativa4 ira´ existir uma func¸a˜o
energia poteˆncial Uq(~r) associada
a` uma carga pontual q localizada em um
ponto ~r do espac¸o de modo que a forc¸a ele´trica(~F ) resultante sobre esta carga
seja dada por
~F = −~∇Uq(~r); Fx = −∂Uq
∂x
, Fy = −∂Uq
∂y
, Fz = −∂Uq
∂z
. (11)
A energia poteˆncial ele´trica gerada por uma carga puntiforme q1, situada em
~r1 = ~0, em uma carga q2 situada em ~r2 = ~r e´ dada por:
U(~r) = U(r) =
q1q2
4pi�0r
=
q1q2
4pi�0(x2 + y2 + z2)
1
2
. (12)
Verifique que a lei de Coulomb, que dis qual e´ a forc¸a em q2 gerada por q1, pode
ser determinada a partir de ~F = −~∇U(r), onde U(r) e´ dado pela expressa˜o
acima.
Definimos anteriormente o campo ele´trico gerado por uma carga a partir da
forc¸a ele´trica exercida sobra umas carga de prova ( ~E = ~F/q). Interpretamos
este fato dizendo que uma part´ıcula gera um campo ele´trico ~E nos seus arredores
e que sobre uma carga q na presenc¸a do campo sera´ gerada uma forc¸a ele´trica
~F = q ~E. Ale´m disso foi discutido acima que a forc¸a ele´trica e´ conservativa e
portanto deriva de uma energia poteˆncial ele´trica U . Podemos definir enta˜o o
poteˆncial ele´trico (φ(~r)) gerado por uma carga assumindo que uma carga de
prova q na presenc¸a de um poteˆncial ele´trico φ tera´ energia poteˆncial Uq = qφ.
Formalmente definimos o poteˆncial ele´trico como sendo o limite de Uq/q quando
q → 0 (quando a carga de prova e´ ta˜o pequena quanto poss´ıvel):
φ(~r) = lim
q→0
Uq(~r)
q
. (13)
Para obter o poteˆncial ele´trico gerado por uma carga q1 = q na origem do
sistema de coordenadas usamos a expressa˜o (12) e tomamos o limite quando a
carga q2 vai a` zero:
φ(r) = lim
q2→0
1
q2
qq2
4pi�0r
=
q
4pi�0r
. (potencial de uma carga pontual) (14)
4A forc¸a ele´trica e´ vista como uma das forc¸as fundamentais da natureza e portanto deve
ser conservativa
8
No caso do plano infinito o poteˆncial gerado e´ linear na direc¸a˜o perpendicular
ao plano. Para uma placa infinita com densidade superficial de carga σ0 paralela
ao plano (x, y) e´ dado por:
φ(x, y, z) = − σ0
2�0
z. (poteˆncial de um plano carregado) (15)
A relac¸a˜o entre campo ele´trico e poteˆncial ele´trico e´ obtida a partir da relac¸a˜o
entre forc¸a ele´trica e energia poteˆncial usando que U = qφ:
~F = −~∇[qφ(~r)]⇒ ~E(~r) = −~∇φ(~r).
Dizemos enta˜o que o campo ele´trico e´ derivado do poteˆncial ele´trico da mesma
forma que a forc¸a ele´trica e´ derivada da energia poteˆncial ele´trica (note que
temos um sinal negativos nestas relac¸o˜es E = −∇φ, F = −∇U).
Podemos descrever a eletrosta´tica de uma distribuic¸a˜o fixa de cargas a partir
da func¸a˜o poteˆncial ele´trico φ(~r) gerada por esta distribuic¸a˜o. Se colocamos
enta˜o uma part´ıcula carregada, com carga l´ıquida q, na presenc¸a deste poteˆncial
ira´ atuar sobre esta part´ıcula a forc¸a ele´trica ~Fq = −q~∇φ e podemos enta˜o usar
a segunda Lei de Newton para determinar a trajeto´ria desta part´ıcula.
References
[1] “Biology in Physics.” Volume 1, 2002, Constantin Bogdanov. Cap´ıtulo 1.
[2] “Curso de F´ısica Ba´sica”, Volume 3, H. Moyse´s Nussenzveig. Cap´ıtulos 1-5.
[3] “F´ısica para cieˆncias biolo´gicas e biome´dicas”, E. Okuno, I.L. Caldas e C.
Chow. Cap´ıtulo 21.
9

Teste o Premium para desbloquear

Aproveite todos os benefícios por 3 dias sem pagar! 😉
Já tem cadastro?

Outros materiais