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F´ısica Ba´sica 2 - Biotecnologia Eletrosta´tica Saulo Diles∗ 1 Introduc¸a˜o O eletromagnetismo e´ a teoria da F´ısica que descreve os campos ele´trico e magne´tico: como eles sa˜o gerados e como interagem com a mate´ria. Esta a´rea da f´ısica tem vastas aplicac¸o˜es nas cieˆncias biolo´gicas tanto em termos de aparato tecnolo´gico, como e´ o caso do microsco´pio eletroˆnico e do aparelho de ressonaˆncia magne´tica, quanto para descric¸a˜o dos sistemas biolo´gicos como ocorre por exem- plo na associac¸a˜o entre o sistema nervoso e um circuito ele´trico. Sera´ discutida neste texto a parte do eletromagnetismo que lida com configurac¸o˜es esta´ticas (fixas ao longo do tempo) de cargas ele´tricas conhecida como eletrosta´tica. 1.1 Carga Ele´trica A carga ele´trica e´ uma propriedade fundamental da mate´ria e se apresenta na naturaza em duas formas: cargas positivas e cargas negativas. Corpos carrega- dos em repousos exercem forc¸as um sobre os outros de atrac¸a˜o ou repulsa˜o, dependendo de suas cargas. Esta forc¸a e´ chamada de forc¸a eletrosta´tica ou forc¸a de Coulomb e sera´ discutida adiante. A mate´ria que conhecemos e´ formada pelos a´tomos, catalogados na tabela perio´dica dos elementos. Os a´tomos por sua vez sa˜o constituidos por part´ıculas que se organizam formando um nu´cleo e uma eletrosfera. O nu´cleo atoˆmico e´ constituido por pro´tons e neutrons, que sa˜o part´ıculas pesadas. Os neutrons sa˜o eletricamente neutros enquanto que os pro´tons sa˜o portadores de carga positiva. A eletrosfera e´ composta por ele´trons, que sa˜o as part´ıculas fundamentais1 leves portadoras de carga negativa. Em larga a mate´ria e´ eletricamente neutra, ou seja, tem a mesma quantidade de cargas positivas(pro´tons) e negativas(ele´trons). A mate´ria eletricamente neutra e´ insens´ıvel a` forc¸a eletrosta´tica. Para que possamos inferir o efeito da interac¸a˜o ele´trica precisamos gerar uma carga l´ıquida, separando as cargas negativas e positivas dos corpos. Esta separac¸a˜o das cargas pode ser obtida atritando a superf´ıcie de dois corpos de composic¸a˜o distinta. Por exemplo, as nuvens se deslocam atritando com o ar acumulam cargas. Este excesso de cargas eventualmente e´ transferido o para solo, ou para outra nuvem, formando um raio. ∗e-mail: smdiles@gmail.com 1O pro´ton e o neutron possuem uma complexa estrutura interna 1 1.2 Unidades de Carga Ele´trica A carga ele´trica e´ uma grandeza f´ısica fundamental, a medida da carga ele´trica de um corpo deve enta˜o ser apresentada em termos de uma unidade de medida padra˜o de carga ele´trica. Duas unidades de medida muito utilizadas sa˜o o Coulomb(C) e a unidade de carga elementar(e). O Coulomb e´ uma unidade macrosco´pica e e´ definida em termos da carga transportada por uma correte de 1 Ampe´re2 no tempo que 1 segundo. O Coulomb e´ a unidade de carga ele´trica no Sistema Internacional de Unidade(SI). A unidade de carga elementar por sua vez e´ definida devido a` existeˆncia de uma quantidade mı´nima, indivis´ıvel, de carga que pode ser transportada por uma part´ıcula. A unidade de carga elementar (e) e´ igua a` menos carga de um ele´tron(e−), que podemos representar na forma qe− = −e. A carga do pro´ton(p) e´ identica em magnitude a` carga do ele´tron e com sinal oposto: qp = +e. 1.3 Eletricidade em seres vivos Em 1786, no laborato´rio do bio´logo Luigi Galvani, foi registrado pela primeira vez o efeito de um campo ele´trico em um organizmo vivo. Foi constatado que todas as vezes que um gerador de energia produzia uma descarga ele´trica havia uma contrac¸a˜o no musculo de uma ra˜[1]. Os seres vivos de fato teˆm uma grande sensibilidade a` eletricidade. Por exemplo, hoje sabemos que o mu´sculo de um animal e´ relaxado ou contra´ıdo devido a` pulsos ele´tricos emitidos pelo seu sis- tema nervoso. Um outro exemplo da presenc¸a de eletricidade em seres vivos sa˜o os peixes ele´tricos como a raia, o bagre ou a enguia, que podem produzir fortes descargas ele´tricas. Este tipo de fenoˆmeno e´ conhecido como bioeletricidade. 1.4 Condutores e isolantes A mate´ria pode ser classificada pela sua capacidade de permitir ou na˜o o trans- poete de cargas ele´tricas. Materia´is onde corpu´sculos constituintes carregados (´ıons ou ele´trons) podem mover-se livremente sa˜o chamados condutores. Sa˜o exemplos de materiais condutores metais, a´gua mineral e o corpo humano. Os materiais em que nenhum constituinte eletricamente carregado pode mover-se e´ chamado isolante, e´ o caso da madeira, do ar e da borracha. Pore´m mesmo em materiais isolantes e´ possivel gerar transporte de cargas, para isso e´ nescessa´rio ‘vencer a barreira’ que impede o movimento dos corpos carregados. 2 Forc¸a Ele´trica Corpos carregados interagem entre si: eles se repelem ou se atraem. Esta re- pulsa˜o ou atrac¸a˜o se deve ao efeito da forc¸a ele´trica, que age unicamente em corpos eletricamente carregados. Corpos carregados com o mesmo tipo de carga, aˆmbas positivas ou aˆmbas negativa, se repelem enquanto que corpos carregados com tipos diferentes de carga, uma positiva e uma negativa, se atraem (Figura 1). A forc¸a ele´trica entre dois corpos carregados e´ descrita pela lei de Coulomb. Lei de Coulomb: A norma da forc¸a eletrosta´tica de atrac¸a˜o ou repulsa˜o en- 2Discutiremos corrente ele´trica adiante 2 Figure 1: Forc¸a ele´trica entre cargas pontuais. tre duas cargas puntiformes q1 e q2 e´ diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia r que as separam. F ∝ q1q2 r2 . (1) A lei de Coulomb pode ser espressa de forma vetorial, determinando com- pletamente o vetor forc¸a ele´trica que age sobre uma part´ıcula carregada deviso a` presenc¸a de um outro corpo carregado. Considere um ponto de refereˆncia O que marca a origem de um sistema de coordenadas, a partir do qual e´ definido o vetor que localiza um ponto no espac¸o. A forc¸a que uma carga puntiforme q1 localizada em ~r1 exerce sobre uma carga puntiforme q2 localizada em ~r2 e´ dafa por: ~F1→2 = 1 4pi�0 q1q2 |~r2 − ~r1|2 rˆ12, (2) onde �0 e´ a constante de permisividade ele´trica do va´cuo e rˆ12 e´ o vetor unita´rio que aponta na direc¸a˜o de q1 para q2: rˆ12 ≡ ~r2 − ~r1|~r2 − ~r1| . A forc¸a ele´trica e´ enta˜o radial, ou seja, atua na direc¸a˜o da reta que liga as duas cargas. A constante de proporcionalidade da Lei de Coulomb foi determinada experimentalmente, utilizando-se um experimento onde esferas carregadas eram aproximadas e a forc¸a resultante medida por uma balanc¸a de torc¸a altemente precisa, e seu valor e´ �0 = 8.85× 10−12 C 2 Nm2 , 1 4pi�0 = 8.99× 109Nm 2 C2 . Note que se q1q2 > 0 a forc¸a ele´trosta´tica sobre q2 age no sentido positivo de r12 e portanto gera uma acelerac¸a˜o no sentido de afastar a carga q2 da carga q1. Para que tenhamos q1q2 > 0 devemos ter que q1 > 0 e q2 > 0, duas cargas positivas, ou q1 < 0 e q2 < 0, duas cargas negativas. Por outro lado se q1q2 < 0, que acontece quando uma carga e´ positiva e a outra negativa, teremos que a forc¸a sobre q2 age no sentido negativo de r12 e gera uma acelerac¸a˜o que aproxima 3 q@ de q1. A lei de Coulomb como expressa na equac¸a˜o (2) encorpora tambe´m o fato de que cargas de mesmo sinal se repelem enquanto que cargas de sinais opostos se atraem. A interac¸a˜o elestrosta´tica entre dois corpos carregados e´ mu´tua, a carga q1 exerce forc¸a sobre q2 e a carga q2 exerce forc¸a sobre q1. As forc¸as entre as cargas formam pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o, de modo que a forc¸a resultante do sistema seja nula. Portanto se a carga q1 exerce uma forc¸a ~F1→ 2 em q2, enta˜o q2 exerce uma forc¸a ~F2→1 em q1 que satisfaz ~F1→2 + ~F2→1 = ~0, ou seja, ~F2→1 = −~F1→2. 2.1 O princ´ıpio da superposic¸a˜o A lei de Coulomb determina a forc¸a eletrosta´tica entre duas cargas pontuais. Como podemos determinar enta˜o as forc¸as eletrosta´ticas na presenc¸a de treˆs ou mais cargas puntiformes? A resposta para esta pergunda e´ enunciada como um princ´ıpio ba´sico da f´ısica conhecido como princ´ıpio da superposic¸a˜o3: A forc¸a eletrosta´tica ~Fi dobre uma part´ıcula i, localizada em ~ri e com carga qi, devido a presenc¸a N part´ıcuas j, j = 1, 2, ..., N , cada uma localizada em rj e com carga qj e´ dada pela soma individual da forc¸a eletrosta´tica ~Fj→i que cada part´ıcula j exerce sobre a part´ıcula i: ~Fi = ~F1→i + ~F2→i + ...+ ~FN→i = N∑ j=1 ~Fj→i, (3) onde a forc¸a que a part´ıcula j exerce sobre a part´ıcula i e´ ~Fj→i = 1 4pi�0 qiqj |~rj − ~ri|2 rˆji. Portanto para calcular a forc¸a eletrosta´tica resultante sobre uma part´ıcula carregada devemos calcular a forc¸a devido a` cada carga individual e efetuar a soma vetorias destas forc¸as para obter a forc¸a ele´trica resultante. 2.2 Analogia com gravitac¸a˜o Existe uma analogia entre a forc¸a eletrosta´tica e a forc¸a gravitacional. A forc¸a gravitacional entre dois corpos massivos e´ determinada pela lei de Newton da gravitac¸a˜o, que diz que a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre dois corpos e´ diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado distaˆncia que os separam. A forc¸a gravitacional tambe´m satisfaz o princ´ıpio da superposic¸a˜o. A grande diferenc¸a esta´ no fato de que a forc¸a gravitacional e´ sempre atrativa, enquanto que a forc¸a eletrosta´tica pode ser tanto atrativa quanto repulsiva. No caso da forc¸a gravitacional dizemos que existe apenas um tipo de ‘fonte’, a massa, que sempre gera uma forc¸a atrativa de acordo com a lei de Newton. Enquanto que para a forc¸a eletrosta´tica dizemos que existem dois tipos de fontes, as cargas, que podem gerar forc¸as atrativas ou repulsivas de acordo com a Lei de Coulomb. 3Este princ´ıpio tambe´m e´ valido para onda meceˆnicas. Neste caso ele dis que a func¸a˜o de onda resultante da superposic¸a˜o de duas ondas e´ a soma das func¸o˜es de onda que descreve individualmente cada uma das ondas 4 3 O Campo Ele´trico A forc¸a eletrosta´tica que acabamos de discutir e´ uma forma de interac¸a˜o a` distaˆncia: corpos separados por uma distaˆncia finita (> 0) exercem forc¸as entre s´ı. Como podemos explicar esta ac¸a˜o a` distaˆcia entre os corpos carregados? Esta ac¸a˜o a` distaˆncia e´ uma consequeˆncia dos corpos possuirem carga ele´trica na˜o nula. Dizemos que um corpo eletricamente carregado gera no espac¸o a seu redor um campo ele´trico, que atua em outros corpos carregados gerando uma forc¸a ele´trica. O campo ele´trico e´ um campo vetorial, ou seja, em cada ponto ~r do espac¸o teremos um vetor campo ele´trico ~E(~r). Definimos o campo ele´trico ~E(~r) de modo que a forc¸a ele´trosta´tica resultante ~Fq que atua sobre uma carga pontual q localizada em ~rq e´ ~Fq = q ~E(~rq), ~E(~rq) = 1 q ~Fq. (4) O campo ele´trico gerado por um conjunto de cargas e´ igual a` soma vetorial dos campos ele´tricos gerados individualmente por cada carga. Se temos n cargas q1, q2, ..., qn que geram em um ponto ~r do espac¸o os respectivos campos ele´tricos ~E1(~r), ~E2(~r), ..., ~En(~r) enta˜o o campo ele´trico gerado neste ponto ( ~E(~r) sera´: ~E(~r) = ~E1(~r) + ~E2(~r) + ...+ ~En(~r) = n∑ i=1 ~Ei(~r). (5) O princ´ıpio da superposic¸a˜o e´ valido para o campo ele´trico e e´ equivalente ao princ´ıpio da superposic¸a˜o para a forc¸a ele´trica enunciado anteriormente. 3.1 Monopolo ele´trico O campo ele´trico gerado por uma carga pontual(monopolo) localizada na origem de um sistema de coordenadas, ou seja, em ~r = ~0 e´ obtido a partir da Lei de Coulomb eq.(2). A forc¸a gerada sobre a part´ıcula de carga q2 e´ o efeito da atuac¸a˜o do campo ele´trico gerado pela carga q1 no ponto ~r2 = ~r onde se localiza a part´ıcula de carga q2: ~F1→2 = q2 ~E1(~r), ~E1(~r) = 1 q2 ~F1→2. (6) Portanto o campo ele´trico gerado por uma part´ıcula pontual de carga Q em um ponto ~r do espac¸o e´: ~E(r) = 1 4pi�0 Q r2 rˆ, (7) onde r = √ ~r · ~r e´ o mo´dulo da distaˆncia da carga ao ponto e rˆ = ~r/r e´ o vetor unita´rio que aponta na direc¸a˜o radial. Em coordenadas cartesianas temos ~r = (x, y, z), consequentemente r = √ x2 + y2 + z2, e podemos escrever as componentes do campo ele´trico como ~E(r) = (Ex, Ey, Ez) = Q 4pi�0 ( x (x2 + y2 + z2) 3 2 , y (x2 + y2 + z2) 3 2 , z (x2 + y2 + z2) 3 2 ) . 5 Em coordenadas polares (r, θ, φ) temos ~E(r) = Er rˆ + Eθ θˆ + Eφφˆ apenas a componente radial e´ na˜o-nula: ~E(r) = 1 4pi�0 Q r2 rˆ. O campo ele´trico de uma carga pontual positiva e de uma carga pontual negativa esta˜o representados na imagem acima pelas linhas de campo. 3.2 Dipolo Ele´trico O dipolo ele´trico e´ um sistema formado por duas cargas pontuais de sinais opostos (+q,−q) separadas por uma distaˆncia pequena ~d. Note que a carga ele´trica total do dipolo e´ zero qtot = (+q) + (−q) = 0 pore´m o campo ele´trico gerado pelo dipolo na˜o e´ nulo. O dipolo ele´trico e´ caracterizado pelo vetor momento de dipolo ~p, definido pelo produto entre o mo´dulo das cargas q = | ± q| e o vetor ~d que liga a carga negativa a` carga positiva ~d = ~r+ − ~r−: ~p = q~d (momento de dipolo ele´trico). Consideramos que o centro do dipolo esta´ localizado em ~r = 0, ou seja ~r+ = ~d/2, ~r− = −~d/2. Assim em um ponto ~r do espac¸o o campo ele´trico gerado por este dipolo sera´ dado por[2]: ~E(~r) = − ~p 4pi�0r3 + 3(~p · rˆ) 4pi�0r3 rˆ. (8) Note que o campo ele´trico do dipolo e´ proporcional a` 1/r3 e decai rapida- mente quando r e´ grande, ou seja, quando estamos observando pontos distantes do centro do dipolo. O campo de um dipolo ele´trico esta´ representado na Figura 2 pelas linhas de campo. 3.3 Plano Carregado Uma configurac¸a˜o de cargas que e´ de grande interesse sa˜o as placas planas uniformemente carregadas. Aqui vamos descrever o campo ele´trico no interior da placa, desprezando efeitos de bordas ou equivalentemente tratando a placa 6 Figure 2: Campo do dipolo ele´trico. Figure 3: Campo ele´trico de uma placa positivamente carregada. como um plano infinito. A configurac¸a˜o das cargas em um plano e´ descrita pela func¸a˜o densidade de cargas σ(x, y), onde (x, y) sa˜o as coordenadas do plano, que diz quanto de carga ele´trica esta´ contida em uma pequena regia˜o centrada em (x, y). Uma distribuic¸a˜o uniforme de cargas e´ descrita por uma func¸a˜o constante σ(x, y) = σ0 = Q/A, onde Q e´ a carga total da placa e A e´ a a´rea da placa. O campo ele´trico gerado por uma placa infinita uniformemente carregada com densidade superficial de carga σ0 gera campo ele´trico constante e perpen- dicular a` placa, se a placa for paralela ao plano (x, y) enta˜o o campo ele´trico gerado por ela sera´ ~E = σ 2�0 zˆ, para z > 0; ~E = − σ 2�0 zˆ, paraz < 0. (9) O campo ele´trico ter´a sentido ‘saindo’ da placa se σ0 > 0 e ‘entrando’ na placa se σ0 < 0. 4 O Poteˆncial Ele´trico Sabemos da meceˆnica Newtoniana que forc¸as conservativas sa˜o derivadas de poteˆnciais. Se uma part´ıcula que descreve uma trajeto´ria ~r(t) no espac¸o e´ sujeita a` uma forc¸a resultante ~F (~r) ao longo da trajeto´ria e a forc¸a ~F pode ser 7 obtida pela derivada de uma func¸a˜o energia potencial U na forma ~F (r) = −~∇U(~r), (Fx, Fy, Fz) = ( −∂U ∂x ,−∂U ∂y ,−∂U ∂z ) , enta˜o sua energia mecaˆnica total (E = mv2/2 + U) se conserva. Dizemos que as forc¸as conservativas sa˜o gradientes de seus poteˆnciais. A velocidade da part´ıcula e´ ~v = d~r/dt e v2 = ~v · ~v. A energia da part´ıcula se conserva devido a` lei de Newton: dE dt = m~v · d~v dt + (~∇U) · d~r dt = m~v · (~F − ~F ) = 0. (10) Portanto se a forc¸a ele´trica e´ uma forc¸a conservativa4 ira´ existir uma func¸a˜o energia poteˆncial Uq(~r) associada a` uma carga pontual q localizada em um ponto ~r do espac¸o de modo que a forc¸a ele´trica(~F ) resultante sobre esta carga seja dada por ~F = −~∇Uq(~r); Fx = −∂Uq ∂x , Fy = −∂Uq ∂y , Fz = −∂Uq ∂z . (11) A energia poteˆncial ele´trica gerada por uma carga puntiforme q1, situada em ~r1 = ~0, em uma carga q2 situada em ~r2 = ~r e´ dada por: U(~r) = U(r) = q1q2 4pi�0r = q1q2 4pi�0(x2 + y2 + z2) 1 2 . (12) Verifique que a lei de Coulomb, que dis qual e´ a forc¸a em q2 gerada por q1, pode ser determinada a partir de ~F = −~∇U(r), onde U(r) e´ dado pela expressa˜o acima. Definimos anteriormente o campo ele´trico gerado por uma carga a partir da forc¸a ele´trica exercida sobra umas carga de prova ( ~E = ~F/q). Interpretamos este fato dizendo que uma part´ıcula gera um campo ele´trico ~E nos seus arredores e que sobre uma carga q na presenc¸a do campo sera´ gerada uma forc¸a ele´trica ~F = q ~E. Ale´m disso foi discutido acima que a forc¸a ele´trica e´ conservativa e portanto deriva de uma energia poteˆncial ele´trica U . Podemos definir enta˜o o poteˆncial ele´trico (φ(~r)) gerado por uma carga assumindo que uma carga de prova q na presenc¸a de um poteˆncial ele´trico φ tera´ energia poteˆncial Uq = qφ. Formalmente definimos o poteˆncial ele´trico como sendo o limite de Uq/q quando q → 0 (quando a carga de prova e´ ta˜o pequena quanto poss´ıvel): φ(~r) = lim q→0 Uq(~r) q . (13) Para obter o poteˆncial ele´trico gerado por uma carga q1 = q na origem do sistema de coordenadas usamos a expressa˜o (12) e tomamos o limite quando a carga q2 vai a` zero: φ(r) = lim q2→0 1 q2 qq2 4pi�0r = q 4pi�0r . (potencial de uma carga pontual) (14) 4A forc¸a ele´trica e´ vista como uma das forc¸as fundamentais da natureza e portanto deve ser conservativa 8 No caso do plano infinito o poteˆncial gerado e´ linear na direc¸a˜o perpendicular ao plano. Para uma placa infinita com densidade superficial de carga σ0 paralela ao plano (x, y) e´ dado por: φ(x, y, z) = − σ0 2�0 z. (poteˆncial de um plano carregado) (15) A relac¸a˜o entre campo ele´trico e poteˆncial ele´trico e´ obtida a partir da relac¸a˜o entre forc¸a ele´trica e energia poteˆncial usando que U = qφ: ~F = −~∇[qφ(~r)]⇒ ~E(~r) = −~∇φ(~r). Dizemos enta˜o que o campo ele´trico e´ derivado do poteˆncial ele´trico da mesma forma que a forc¸a ele´trica e´ derivada da energia poteˆncial ele´trica (note que temos um sinal negativos nestas relac¸o˜es E = −∇φ, F = −∇U). Podemos descrever a eletrosta´tica de uma distribuic¸a˜o fixa de cargas a partir da func¸a˜o poteˆncial ele´trico φ(~r) gerada por esta distribuic¸a˜o. Se colocamos enta˜o uma part´ıcula carregada, com carga l´ıquida q, na presenc¸a deste poteˆncial ira´ atuar sobre esta part´ıcula a forc¸a ele´trica ~Fq = −q~∇φ e podemos enta˜o usar a segunda Lei de Newton para determinar a trajeto´ria desta part´ıcula. References [1] “Biology in Physics.” Volume 1, 2002, Constantin Bogdanov. Cap´ıtulo 1. [2] “Curso de F´ısica Ba´sica”, Volume 3, H. Moyse´s Nussenzveig. Cap´ıtulos 1-5. [3] “F´ısica para cieˆncias biolo´gicas e biome´dicas”, E. Okuno, I.L. Caldas e C. Chow. Cap´ıtulo 21. 9
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