AULA 04
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número de coordenadas 
\u2022 Escoamento Uni, Bi e Tridimensionais: 
\u2022 Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional dependendo do número de coordenadas espaciais requeridas na especificação do campo de velocidades. 
Fenômenos de Transporte
Regime de Escoamento quanto ao número de coordenadas 
Unidimensional 
Bidimensional 
Tridimensional 
Fenômenos de Transporte
O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido. Para que isso aconteça, é necessário que as propriedades sejam constantes em cada seção.
Fenômenos de Transporte
Observa-se que em cada seção a velocidade é a mesma, em qualquer ponto, sendo suficiente fornecer o seu valor em função da coordenada x para obter sua variação ao longo do escoamento. Diz-se, nesse caso, que o escoamento é uniforme nas seções.
Já na figura abaixo, observa-se um escoamento bidimensional, em que a variação da velocidade é função das duas coordenadas x e y. Nesse escoamento, o diagrama de velocidade repete-se identicamente em planos paralelos ao plano x,y.
Fenômenos de Transporte
O escoamento no espaço tridimensional fica: 
Nota-se que, com o aumento do número de dimensões, as equações se complicam e é conveniente, sempre que possível, descrever o escoamento de forma unidimensional conforme um critério que será apresentado mais a frente.
Fenômenos de Transporte
Tipos de Regime de Escoamento quanto à variação de tempo 
\u2022 Regime Permanente ou Estacionário 
\u2022 Regime Variado ou Não Estacionário 
Fenômenos de Transporte
Campo de velocidade
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Observa-se a determinação do campo de velocidade em um ponto.
A velocidade instantânea do fluido no ponto C, é igual à velocidade instantânea do volume infinitesimal \u3b4V que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão.
O campo de velocidade, , é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa representação do campo de velocidades é dada por:
=
(x, y, z, t)
Fenômenos de Transporte
Campo de velocidade
O vetor velocidade, , pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de velocidade pode ser escrito como:
= 
u
+
+
v
w
Onde:
Fenômenos de Transporte
Exercícios
01)
Fenômenos de Transporte
\u25cf Escoamento é uni bi ou tridimensional?
Resolução questão 01
\u25cf Regime permanente ou não permanente?
Fenômenos de Transporte
Resolução questão 01
\u25cf Determinar o ponto de estagnação:
\u25cf Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
Fenômenos de Transporte
Resolução questão 01
\u25cf Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
02) Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
Resolução questão 02
Fenômenos de Transporte
03) Dado o vetor velocidade 
\u2013 a) Verifique se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. 
\u2013 b) Verifique se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. 
\u2013 c) Determinar a magnitude da velocidade em y=1 e z=2m. 
Resolução questão 03
a)
b)
Fenômenos de Transporte
Resolução questão 03
ui = 0
vj = -y3-4z
wk = 3y2z 
v
=
= 
= 10,82 m/s 
Fenômenos de Transporte
A vazão em volume pode ser definida facilmente pela figura a seguir.
Pode-se então dizer que a torneira enche 20 L em 10s ou que a vazão em volume da torneira é 20L/10s = 2 L/s.
Define-se vazão em volume Q como o volume de fluido que atravessa uma certa seção do escoamento por unidade de tempo.
e etc.
Fenômenos de Transporte
Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade do fluido
Suponha-se o fluido em movimento. No intervalo de tempo t, o fluido se desloca através da seção de área A a uma distância s. O volume de fluido que atravessa a seção de área A no intervalo de tempo t é V = sA. Logo, a vazão será
Logo: Q = vA
Fenômenos de Transporte
Velocidade (v) [m/s] 
\u2022 A velocidade é um parâmetro de fundamental importância no projeto de bombas e na determinação das tubulações. 
\u2022 Quanto sai de fluido por um tubo de secção A? 
\u2022 Depende da vazão 
\u2022 Depende da velocidade de escoamento e da área da seção transversal do tubo 
Fenômenos de Transporte
Velocidade e Vazão 
\u2022 Suponha que o fluido se movimente. 
\u2022 No instante t, o fluido se desloca através da área A, a uma distância d. 
\u2022 Volume do fluido deslocado: 
\u2022 Volume do fluido deslocado: 
\u2022 Volume do fluido deslocado: 
49
Fenômenos de Transporte
Vazão Volumétrica (Q ou QV) [m³/s] 
\u2022 Vazão volumétrica é definida como sendo o volume de fluído que atravessa por uma determinada secção por unidade de tempo. 
\u2022 A vazão (Q) pode ser calculada pela integração do perfil de velocidade sobre a área transversal do escoamento. 
Fenômenos de Transporte
Vazão Mássica ou Descarga (Qm) [kg/s] 
\u2022 Vazão mássica é a massa de fluido que atravessa uma determinada seção por unidade de tempo. 
\u2022 A vazão (Qm) pode ser calculada pela integração do perfil de velocidade sobre a área transversal do escoamento e massa específica. 
Fenômenos de Transporte
Exercícios 
01) Água flui por um tubo de 1 polegada de diâmetro interno. A viscosidade cinemática da água é 9,3x10-7m2/s. Determinar a maior vazão possível em que o fluxo ainda seja laminar, segundo Reynolds. 
02) Um gás (\u3b3 = 5 N/m3) escoa em regime permanente com uma vazão de 5 kg/s pela seção A de um conduto retangular de seção constante de 0,5 m por 1m. Em uma seção B, o peso específico do gás é 10 N/m3. Qual será a velocidade média do escoamento nas seções A e B? R \u2013 15 m/s
Fenômenos de Transporte
Velocidade Não Uniforme na Seção 
\u2022 Na maioria dos casos, o escoamento não é uniforme, a velocidade pode variar em cada ponto. 
\u2022 Adotamos um dA com v 
\u2022 A vazão na seção 
\u2022 Define-se como velocidade média na seção uniforme: 
Fenômenos de Transporte
Equação da Continuidade 
\u2022 Se considerarmos Q1 como a vazão na entrada do tubo e Q2, a vazão na saída. 
\u2022 Se considerarmos um fluido incompressível 
Fenômenos de Transporte
Exercício 
Um gás escoa no trecho de tubulação da figura. Na seção 1, tem-se A1 = 20 cm2, \u3c11 = 4 kg/m3 e v1 = 30 m/s. Na seção 2, A2 = 10 cm2, \u3c12 = 12 kg/m3. Qual é a velocidade na seção 2? 
R: 20 m/s
Fenômenos de Transporte
01) Um gás flui em um duto quadrado. A velocidade medida em um ponto onde o duto tem 1 m de lado é de 8 m/s, tendo o gás massa específica (para esta particular situação) de 1,09 kg/m3. Num segundo ponto, o tamanho do duto é 25 m2 e a velocidade 2 m/s. Determine a vazão mássica e a massa específica do fluido nesse segundo ponto. 
Exercícios 
02) A tubulação de aço para a alimentação de uma usina hidrelétrica deve fornecer 1200 litros/s. Determinar o diâmetro da tubulação de modo que a velocidade da água não ultrapasse 1,9 m/s. 
Fenômenos de Transporte
Exercícios 
03) Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros, sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3 m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a 30 mm.
04) Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 1200 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente.
Fenômenos de Transporte
05) Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 l/s e um outro despeja um líquido de massa específica igual a 800 kg/m3 com uma vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 30 cm2. Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e calcule também qual é a velocidade de saída.
Exercícios 
R: 933,33 Kg/m3
Fenômenos de Transporte
Energias associadas a um Fluido 
\u2022 Baseado no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma equação que permitirá