equacoes Diferenciais
133 pág.

equacoes Diferenciais


DisciplinaCálculo IV2.881 materiais20.337 seguidores
Pré-visualização24 páginas
existir entre os lados de um recta\u2c6ngulo para se obter o melhor efeito este´tico
(relac¸a\u2dco a´urea).
50 Equac¸o\u2dces de diferenc¸as, lineares, homoge´neas
Cap\u131´tulo 7
Me´todo das se´ries
7.1 Se´ries de Pote\u2c6ncias
Uma se´rie de pote\u2c6ncias e´ uma se´rie que depende de um para\u2c6metro x, da seguinte forma:
S(x) =
\u221e\u2211
n=0
an(x\u2212 x0)n (7.1)
o nu´mero x0, a seque\u2c6ncia an e o para\u2c6metro x podem ser em geral nu´meros complexos. A con-
verge\u2c6ncia da se´rie de pote\u2c6ncias depende da dista\u2c6ncia entre x e x0 no plano complexo:
|x\u2212 x0| (7.2)
Se a dista\u2c6ncia for suficientemente aproximada a zero, a se´rie converge (a0 e´ o valor da se´rie quando
x = x0); quanto maior for a dista\u2c6ncia mais lenta sera´ a converge\u2c6ncia, ate´ que a partir de uma certa
dista\u2c6ncia a se´rie diverge. O valor ma´ximo da dista\u2c6ncia para o qual a se´rie converge, e´ o chamado
raio de converge\u2c6ncia (R) e calcula-se a partir de:
lim
n\u2192\u221e
an+1R
n+1
anRn
= 1 \u21d2 R = lim
n\u2192\u221e
an
an+1
(7.3)
7.1.1 Se´rie de Taylor
Uma func¸a\u2dco anal\u131´tica num ponto x0 e´ uma func¸a\u2dco cujas derivadas de qualquer ordem existem
nesse ponto. Nesse caso a func¸a\u2dco pode ser representada por uma se´rie de pote\u2c6ncias convergente
em x0:
f(x) =
\u221e\u2211
n=0
an(x\u2212 x0)n = a0 + a1(x\u2212 x0) + a2(x\u2212 x0)2 + · · · (7.4)
as derivadas de f calculam-se derivando o termo dentro da se´rie, por exemplo, as duas primeiras
derivadas sa\u2dco:
f \u2032(x) =
\u221e\u2211
n=0
nan(x\u2212 x0)n\u22121 = a1 + 2a2(x\u2212 x0) + 3a3(x\u2212 x0)2 + · · · (7.5)
f \u2032\u2032(x) =
\u221e\u2211
n=0
n(n\u2212 1)an(x\u2212 x0)n\u22122 = 2a2 + 6a3(x\u2212 x0) + 12a4(x\u2212 x0)2 + · · ·(7.6)
52 Me´todo das se´ries
Se substituirmos x = x0 nas se´ries para f , f \u2032 e f \u2032\u2032 vemos que:
a0 = f(x0) a1 = f \u2032(x0) 2a2 = f \u2032\u2032(x0) (7.7)
em geral,
n!an = f (n)(x0) (7.8)
e a se´rie de Taylor de f escreve-se:
f(x) =
\u221e\u2211
n=0
f (n)(x0)
n!
(x\u2212 x0)n (7.9)
No caso particular x0 = 0 obte´m-se a chamada se´rie de McClaurin. O raio de converge\u2c6ncia da
se´rie e´ igual a` dista\u2c6ncia entre x0 e o ponto singular de f mais pro´ximo.
7.1.2 Algumas se´ries de McClaurin importantes
1. Se´rie geome´trica
1
1\u2212 x =
\u221e\u2211
n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · · (7.10)
2. Func¸a\u2dco exponencial
ex =
\u221e\u2211
n=0
xn
n!
(7.11)
3. Func¸o\u2dces trigonome´tricas
sin x =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n
(2n+ 1)!
x2n+1 (7.12)
cos x =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n
(2n)!
x2n (7.13)
7.2 Me´todo das se´ries
Consideremos a equac¸a\u2dco diferencial linear, homoge´nea de segunda ordem
P (x)y\u2032\u2032 +Q(x)y\u2032 +R(x)y = 0 (7.14)
em que P , Q e R sa\u2dco polino´mios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equac¸o\u2dces dessa
forma. A partir do teorema de existe\u2c6ncia e unicidade para equac¸o\u2dces lineares, vemos que os pontos
singulares sa\u2dco as ra\u131´zes do polino´mio P (x). Se o ponto x = 0 na\u2dco for raiz de P (x), a soluc¸a\u2dco da
equac¸a\u2dco diferencial sera´ uma func¸a\u2dco anal\u131´tica em x = 0 e, portanto, existira´ a se´rie de McClaurin
para a soluc¸a\u2dco y(x):
y(x) =
\u221e\u2211
n=0
anx
n (7.15)
A obtenc¸a\u2dco da soluc¸a\u2dco e´ equivalente a` obtenc¸a\u2dco da seque\u2c6ncia an. A equac¸a\u2dco de diferenc¸as que
define a seque\u2c6ncia an e´ obtida por substituic¸a\u2dco da se´rie de McClaurin (e das sua derivadas) na
equac¸a\u2dco diferencial.
Na seguinte secc¸a\u2dco veremos um exemplo de aplicac¸a\u2dco deste me´todo.
7.3 Equac¸a\u2dco de Airy 53
7.3 Equac¸a\u2dco de Airy
Um exemplo de uma equac¸a\u2dco linear muito simples que na\u2dco pode ser resolvida pelos me´todos dos
cap\u131´tulos anteriores e que pode ser resolvida pelo me´todo das se´ries, e´ a equac¸a\u2dco de Airy:
y\u2032\u2032 = xy (7.16)
O polino´mio P e´ neste caso igual a 1, de maneira que a soluc¸a\u2dco sera´ anal\u131´tica em x = 0 e podera´
ser escrita como uma se´rie de McClaurin:
y(x) =
\u221e\u2211
n=0
anx
n (7.17)
A segunda derivada e´:
y\u2032\u2032(x) =
\u221e\u2211
n=0
n(n\u2212 1)anxn\u22122 (7.18)
e substituindo na equac¸a\u2dco diferencial
\u221e\u2211
n=0
n(n\u2212 1)anxn\u22122 \u2212
\u221e\u2211
n=0
anx
n+1 = 0 (7.19)
para agrupar as duas se´ries numa u´nica se´rie de pote\u2c6ncias, escrevemos a primeira se´rie numa forma
equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o \u131´ndice n, dentro da se´rie, se subtrairmos 3 aos
limites do somato´rio; a se´rie resultante sera´ ide\u2c6ntica a` se´rie inicial
\u221e\u2211
n=\u22123
(n+ 3)(n+ 2)an+3xn+1 \u2212
\u221e\u2211
n=0
anx
n+1 = 0 (7.20)
Na primeira se´rie os dois primeiros termos (n = \u22123 e n = \u22122) sa\u2dco nulos e o terceiro termo
(n = \u22121) pode ser escrito explicitamente; a se´rie resultante comec¸a desde n = 0, podendo ser
agrupada a` segunda se´rie:
2a2 +
\u221e\u2211
n=\u22123
[(n+ 3)(n+ 2)an+3 \u2212 an]xn+1 = 0 (7.21)
no lado esquerdo da equac¸a\u2dco temos uma se´rie de pote\u2c6ncias em que o coeficiente de ordem zero e´
2a2 e os coeficientes de ordem superior a zero sa\u2dco o termo dentro dos pare\u2c6ntesis quadrados, com
n = 0, 1, 2, . . . Para que a se´rie de pote\u2c6ncias seja nula em qualquer ponto x, e´ necessa´rio que
todos os coeficientes sejam nulos:
2a2 = 0 (7.22)
(n+ 3)(n+ 2)an+3 \u2212 an = 0 (n = 0, 1, 2, . . .) (7.23)
Temos transformado o problema num problema de equac¸o\u2dces de diferenc¸as. A equac¸a\u2dco de diferen-
c¸as obtida e´ uma equac¸a\u2dco incompleta, de terceira ordem e a sua soluc¸a\u2dco consiste em tre\u2c6s sucesso\u2dces
independentes para os coeficientes de ordem mu´ltiplo de 3, mu´ltiplo de 3 mais 1, e mu´ltiplo de 3
mais 2. Como a2 = 0, os coeficientes de ordem mu´ltiplo de 3 mais 2 sa\u2dco todos nulos. Para obter
54 Me´todo das se´ries
as outras duas seque\u2c6ncias podemos usar o me´todo estudado no cap\u131´tulo anterior: para n = 3m,
definindo um = a3m obtemos:
9(m+ 1)(m+ 2/3)um+1 \u2212 um = 0 (7.24)
em termos de factoriais e func¸o\u2dces gama temos:
(m+ 1)(m+ 2/3) =
(m+ 1)! \u393(m+ 5/3)
m! \u393(m+ 2/3)
(7.25)
Usando a substituic¸a\u2dco:
xm = m! \u393(m+ 2/3)um (7.26)
a Equac¸a\u2dco 7.24 transforma-se numa equac¸a\u2dco de coeficientes constantes:
9xm+1 \u2212 xm = 0 (7.27)
A soluc¸a\u2dco pode agora ser obtida facilmente:
xm =
x0
(\u22129)m (7.28)
a3m = um =
(\u22121)m \u393(2/3)
m! \u393(m+ 2/3)9m
a0 (7.29)
Para calcular a seque\u2c6ncia correspondente a n = 3m + 1, procedemos em forma semelhante. Em
func¸a\u2dco de vm = a3m+1, a fo´rmula de recorre\u2c6ncia (Equac¸a\u2dco 7.23) e´ uma equac¸a\u2dco de primeira
ordem:
9(m+ 1)(m+ 4/3)vm+1 \u2212 vm = 0 (7.30)
e com a substituic¸a\u2dco
zm = m! \u393(m+ 4/3)vm (7.31)
a equac¸a\u2dco transforma-se numa equac¸a\u2dco de coeficientes constantes:
9zm+1 \u2212 zm = 0 (7.32)
com soluc¸a\u2dco:
zm =
z0
(\u22129)m (7.33)
a3m+1 = vm =
(\u22121)m \u393(4/3)a1
m! \u393(m+ 4/3)9m
(7.34)
Finalmente, substituiamos an na se´rie de McClaurin para obter a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco diferencial:
y(x) = a0
\u221e\u2211
m=0
(\u22121)m \u393(2/3)
m! \u393(m+ 2/3)9m
x3m + a1x
\u221e\u2211
m=0
(\u22121)m \u393(4/3)
m! \u393(m+ 4/3)9m
x3m (7.35)
onde a0 e a1 sa\u2dco duas constantes arbitra´rias (condic¸o\u2dces iniciais para y e y\u2032 em x = 0). Em alguns
casos as se´ries obtidas podem ser identificadas como a se´rie de McClaurin de alguma func¸a\u2dco
conhecida. Neste exemplo as se´ries na\u2dco correspondem a nenhuma func¸a\u2dco conhecida, e constituem
duas func¸o\u2dces especiais designadas func¸o\u2dces de Airy.
7.4 Me´todo de Frobenius 55
7.4 Me´todo de Frobenius
Quando o ponto x = 0 e´ um ponto singular da equac¸a\u2dco diferencial, a soluc¸a\u2dco y na\u2dco e´ anal\u131´tica em
x = 0 e na\u2dco pode ser escrita na forma de uma se´rie de McClaurin. No entanto, em alguns casos
existe uma constante r tal que y/xr e´ uma func¸a\u2dco anal\u131´tica:
y(x) = xrf(x) (fanal\u131´tica em x = 0) (7.36)
e a se´rie de McClaurin de f sim existe. Para saber em que casos isso acontece e´ preciso identificar
a que tipo de singularidade corresponde x = 0.
7.4.1 Pontos singulares regulares
Os pontos singulares da equac¸a\u2dco diferencial
P (x)y\u2032\u2032 +Q(x)y\u2032 +R(x)y = 0 (7.37)
sa\u2dco os pontos x0 onde
P (x0) = 0 (7.38)
Se os seguintes limites existem:
A = lim
x\u2192x0
xQ(x)
P (x)
B = lim
x\u2192x0
x2R(x)
P (x)
(7.39)
diz-se que o ponto x0 e´ um ponto singular regular.
Se x = 0 for um ponto singular regular, existira´ pelo menos uma soluc¸a\u2dco da forma
y(x) = xrf(x) =
\u221e\u2211
n=0