equacoes Diferenciais
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equacoes Diferenciais


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anx
n+r (7.40)
A func¸a\u2dco f(x) e´ anal\u131´tica em x = 0 e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que
f(0) e´ diferente de zero (se f(0) for nula, factoriza-se x, e redefinem-se r e f ficando f(0)
diferente de zero). Isso implica que a constante a0 seja tambe´m diferente zero:
a0 = lim
x\u21920
y
xr
= f(0) 6= 0 (7.41)
As derivadas y\u2032 e y\u2032\u2032 sa\u2dco
y\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
(n+ r)anxn+r\u22121 (7.42)
y\u2032\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
(n+ r \u2212 1)anxn+r\u22122 (7.43)
Para calcular o valor do \u131´ndice r primeiro observamos que
lim
x\u21920
x1\u2212ry\u2032 = ra0 (7.44)
lim
x\u21920
x2\u2212ry\u2032\u2032 = r(r \u2212 1)a0 (7.45)
56 Me´todo das se´ries
a seguir multiplicamos a equac¸a\u2dco diferencial por x2\u2212r e dividimos por P
x2\u2212ry\u2032\u2032 +
xQ
P
x1\u2212ry\u2032 +
x2R
P
x\u2212ry = 0 (7.46)
No limite x = 0 e usando as constantes A e B definidas acima (Equac¸a\u2dco 7.39) obtemos:
[r(r \u2212 1) +Ar +B]a0 = 0 (7.47)
Como a0 e´ diferente de zero, r devera´ ser soluc¸a\u2dco da chamada equac¸a\u2dco indicial:
r(r \u2212 1) +Ar +B = 0 (7.48)
Para cada raiz real r da equac¸a\u2dco indicial substituimos as se´ries para y, y\u2032 e y\u2032\u2032 na equac¸a\u2dco difer-
encial e procedemos da mesma forma que no me´todo das se´ries, para calcular os coeficientes an.
Cada raiz conduz a uma soluc¸a\u2dco; se as duas soluc¸o\u2dces forem diferentes, a soluc¸a\u2dco geral sera´ a
combinac¸a\u2dco linear das duas.
Exemplo 7.1
Encontre a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco:
4xy\u2032\u2032 + 2y\u2032 + y = 0 (7.49)
O ponto x = 0 e´ um ponto singular e, portanto, na\u2dco pode ser usado o me´todo das se´ries. Para
determinar se x = 0 e´ ponto singular regular, calcula´mos:
A = lim
x\u21920
2x
4x
=
1
2
B = lim
x\u21920
x2
4x
= 0 (7.50)
Podemos assim usar o me´todo de Frobenius e a equac¸a\u2dco indicial e´:
2r(r \u2212 1) + r = 0 (7.51)
com ra\u131´zes r1 = 0 e r2 = 1/2. Com a primeira raiz (r1 = 0) temos que:
y =
\u221e\u2211
n=0
anx
n (7.52)
y\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
nanx
n\u22121 (7.53)
y\u2032\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
n(n\u2212 1)anxn\u22122 (7.54)
Substituindo na equac¸a\u2dco diferencial obtemos:
\u221e\u2211
n=0
[4n(n\u2212 1)anxn\u22121 + 2nanxn\u22121 + anxn] = 0 (7.55)
os dois primeiros somato´rios podem ser escritos em func¸a\u2dco de xn:
\u221e\u2211
n=0
[4n(n+ 1)an+1 + 2(n+ 1)an+1 + an]xn = 0 (7.56)
7.4 Me´todo de Frobenius 57
a fo´rmula de recorre\u2c6ncia para n = 0, 1, 2, 3, . . . e´:
(n+ 1)(4n+ 2)an+1 + an = 0 (7.57)
A seque\u2c6ncia obtida e´ (arbitrando a0 = 1)
an = 1,\u22121/2, 1/24,\u22121/720, . . . (7.58)
A soluc¸a\u2dco geral parece ser os inversos dos factoriais dos nu´meros pares, com sinais alternados. A
soluc¸a\u2dco geral pode ser obtida transformando a fo´rmula de recorre\u2c6ncia numa equac¸a\u2dco com coefi-
cientes constantes:
(2n+ 2)(2n+ 1) =
(2n+ 2)!
(2n)!
(7.59)
un = (2n)!an \u21d2 un+1 + un = 0 (7.60)
un = (\u22121)nu0 \u21d2 an = (\u22121)
n
(2n)!
a0 (7.61)
com esta seque\u2c6ncia, a se´rie de pote\u2c6ncias da primeira soluc¸a\u2dco particular e´ (com a0 = 1)
y1 =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n
(2n)!
xn = cos(x1/2) (7.62)
Usando a segunda raiz r2 = 1/2, a se´rie de pote\u2c6ncias da segunda soluc¸a\u2dco e´:
y =
\u221e\u2211
n=0
anx
n+1/2 (7.63)
y\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
(n+ 1/2)anxn\u22121/2 (7.64)
y\u2032\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
(n2 \u2212 1/4)anxn\u22123/2 (7.65)
Substituindo na equac¸a\u2dco diferencial obtemos:
\u221e\u2211
n=0
[(4n2 \u2212 1)anxn\u22121/2 + (2n+ 1)anxn\u22121/2 + anxn+1/2] = 0 (7.66)
a soma dos termos n = 0 das duas primeiras se´ries e´ igual a 0 e as tre\u2c6s se´ries podem ser agrupadas:
\u221e\u2211
n=0
[(4n2 + 8n+ 3)an+1 + (2n+ 3)an+1 + an]xn+1/2 = 0 (7.67)
a fo´rmula de recorre\u2c6ncia e´:
(2n+ 2)(2n+ 3)an+1 + an = 0 (7.68)
58 Me´todo das se´ries
A soluc¸a\u2dco geral obte´m-se em forma semelhante ao caso anterior:
(2n+ 2)(2n+ 3) =
(2n+ 3)!
(2n+ 1)!
(7.69)
un = (2n+ 1)!an \u21d2 un+1 + un = 0 (7.70)
un = (\u22121)nu0 \u21d2 an = (\u22121)
n
(2n+ 1)!
a0 (7.71)
a se´rie de pote\u2c6ncias correspondente e´ (com a0 = 1)
y2 =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n
(2n+ 1)!
xn+1/2 = sin(x1/2) (7.72)
A soluc¸a\u2dco geral e´ uma combinac¸a\u2dco linear das duas soluc¸o\u2dces particulares y1 e y2. \ufffd
7.5 Soluc¸a\u2dco em se´ries em pontos singulares
Em geral, cada raiz da equac¸a\u2dco indicial pode conduzir a uma soluc¸a\u2dco em se´ries de pote\u2c6ncias. No
entanto, em alguns casos e´ poss\u131´vel encontrar apenas uma soluc¸a\u2dco. O teorema que se segue indica
como determinar a soluc¸a\u2dco geral por meio de se´ries de pote\u2c6ncias.
Teorema 5 (Frobenius)
Se r1 e r2 sa\u2dco duas ra\u131´zes da equac¸a\u2dco indicial (em x = 0) de uma equac¸a\u2dco diferencial linear de
segunda ordem com ponto singular em x = 0, existem tre\u2c6s casos, a depender dos valores de r1 e
r2:
1. Se r1 \u2212 r2 for diferente de zero e diferente de um nu´mero inteiro, cada raiz conduz a uma
soluc¸a\u2dco diferente.
2. Se r1 = r2, e´ poss\u131´vel obter uma u´nica soluc¸a\u2dco y1 a partir do me´todo de Frobenius. A
segunda soluc¸a\u2dco tera´ a forma:
y2(x) =
\u221e\u2211
n=0
bnx
n+r1 + y1 ln x (7.73)
onde a sucessa\u2dco bn devera´ ser obtida por substituic¸a\u2dco de y2 na equac¸a\u2dco diferencial.
3. Se r1\u2212 r2 for um nu´mero inteiro, existira´ uma soluc¸a\u2dco y1 com a forma usada no me´todo de
Frobenius. A segunda soluc¸a\u2dco sera´:
y2(x) =
\u221e\u2211
n=0
bnx
n+r1 + cy1 ln x (7.74)
onde c e´ uma constante. Nos casos em que c = 0, a segunda soluc¸a\u2dco tem tambe´m a forma
do me´todo de Frobenius, o qual implica que aplicando o me´todo de Frobenius e´ poss\u131´vel
encontrar as duas soluc¸o\u2dces y1 e y2 linearmente independentes. Quando c na\u2dco e´ nula, o
me´todo de Frobenius permite encontrar apenas uma soluc¸a\u2dco e a segunda soluc¸a\u2dco devera´
ser encontrada por substituic¸a\u2dco da forma geral de y2 na equac¸a\u2dco diferencial.
7.5 Soluc¸a\u2dco em se´ries em pontos singulares 59
Com as duas soluc¸o\u2dces encontradas seguindo o me´todo indicado pelo teorema de Frobenius, a
soluc¸a\u2dco geral sera´:
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) (7.75)
Em alguns casos as condic¸o\u2dces fronteira exigem que y seja finita na origem o qual implica C2 = 0,
se r2 < 0 ou r2 = r1, ja´ que nos dois casos a segunda soluc¸a\u2dco e´ divergente na origem. Se r1 \u2212 r2
e´ um inteiro e o me´todo de Frobenius conduz a uma u´nica soluc¸a\u2dco y1, C2 sera´ tambe´m nula e na\u2dco
sera´ preciso calcular y2.
Exemplo 7.2
Encontre a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco:
xy\u2032\u2032 + 3y\u2032 \u2212 x2y = 0 (7.76)
O ponto x = 0 e´ ponto singular. Os dois limites:
A = lim
x\u21920
3x
x
= 3 B = lim
x\u21920
\u2212x4
x
= 0 (7.77)
existem e, portanto, x = 0 e´ ponto singular regular. A equac¸a\u2dco indicial e´:
r(r \u2212 1) + 3r = r(r + 2) = 0 (7.78)
com ra\u131´zes r1 = 0 e r2 = \u22122. Como a diferenc¸a entre as ra\u131´zes e´ um nu´mero inteiro, provavel-
mente o me´todo de Frobenius dara´ apenas uma das duas soluc¸o\u2dces linearmente independentes. Se
existirem duas soluc¸o\u2dces com a forma usada no me´todo de Frobenius, estas aparecera\u2dco na soluc¸a\u2dco
correspondente a` raiz menor r = \u22122. Assim, comec¸amos por considerar o caso r = \u22122:
y =
\u221e\u2211
n=0
anx
n\u22122 (7.79)
y\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
(n\u2212 2)anxn\u22123 (7.80)
y\u2032\u2032 =
\u221e\u2211
n=0
(n\u2212 2)(n\u2212 3)anxn\u22124 (7.81)
Substituindo na equac¸a\u2dco diferencial obtemos:
\u221e\u2211
n=0
[(n\u2212 2)(n\u2212 3)anxn\u22123 + 3(n\u2212 2)anxn\u22123 \u2212 anxn] = 0 (7.82)
\u2212a1x\u22122 +
\u221e\u2211
n=0
[(n+ 3)(n+ 1)an+3 \u2212 an]xn = 0 (7.83)
consequentemente, a1 = 0 e:
(n+ 3)(n+ 1)an+3 \u2212 an = 0 (n = 0, 1, 2, . . .) (7.84)
60 Me´todo das se´ries
A soluc¸a\u2dco da fo´rmula de recorre\u2c6ncia sa\u2dco tre\u2c6s sucesso\u2dces independentes. A sucessa\u2dco correspondente
a n = 3m+ 1 e´ nula, ja´ que a1 = 0. Com n = 3m e um = a3m obtemos a equac¸a\u2dco:
9(m+ 1)(m+ 1/3)um+1 \u2212 um = 0 (7.85)
usando factoriais e func¸o\u2dces gama temos:
9(m+ 1)! \u393(m+ 1 + 1/3)um+1 \u2212m! \u393(m+ 1/3)um = 0 (7.86)
se definirmos:
vm = m! \u393(m+ 1/3)um (7.87)
obtemos:
9vm+1 \u2212 vm = 0 \u21d2 vm = v09m (7.88)
a3m = um =
\u393(1/3)a0
9mm! \u393(m+ 1/3)
(7.89)
Substituindo n = 3m+ 2 e a3m+2 = xm na Equac¸a\u2dco 7.84 obtemos:
9(m+ 1)(m+ 5/3)xm+1 \u2212 xm = 0 (7.90)
usando factoriais e func¸o\u2dces gama temos:
9(m+ 1)! \u393(m+ 1 + 5/3)xm+1 \u2212m! \u393(m+ 5/3)xm = 0 (7.91)
se definirmos:
zm = m! \u393(m+ 5/3)xm (7.92)
obtemos:
9zm+1 \u2212 zm = 0 \u21d2 zm = z09m (7.93)
a3m+2 = xm =
\u393(5/3)a2
9mm! \u393(m+ 5/3)
(7.94)
As duas