equacoes Diferenciais
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equacoes Diferenciais


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func¸o\u2dces
delta nos instantes t1 e t2:
f(t) = y1\u3b4(t\u2212 t1) + y2\u3b4(t\u2212 t2) (8.66)
Enquanto o medicamento no sangue aumenta devido a`s injecc¸o\u2dces, tambe´m diminui continuamente,
devido a` constante de decaimento do medicamento. A diminuic¸a\u2dco do medicamento no instante t
e´
dy
dt
= \u2212ay (8.67)
ja´ que esta e´ a equac¸a\u2dco que define o decaimento exponencial com constante de decaimento a. A
taxa de aumento do medicamento no sangue sera´ igual ao aumento devido a`s injecc¸o\u2dces, menos a
diminuic¸a\u2dco devida ao decaimento do medicamento no sangue
dy
dt
= y1\u3b4(t\u2212 t1) + y2\u3b4(t\u2212 t2)\u2212 ay (8.68)
8.10 Convoluc¸a\u2dco 73
Esta e´ uma equac¸a\u2dco diferencial linear, de coeficientes constantes, na\u2dco homoge´nea. Calculando a
transformada de Laplace nos dois lados da equac¸a\u2dco, obtemos:
(s+ a)Y = y0 + y1 e\u2212t1s + y2 e\u2212t2s (8.69)
onde Y e´ a transformada de y.
Y =
y0 + y1 e\u2212t1s + y2 e\u2212t2s
s+ a
(8.70)
e calculando a transformada inversa encontramos a soluc¸a\u2dco do problema
y(t) = y0 e\u2212at + y1 u(t\u2212 t1) e\u2212a(t\u2212t1) + y2 u(t\u2212 t2) e\u2212a(t\u2212t2) (8.71)
A figura 8.2 mostra o gra´fico da func¸a\u2dco y(t). \ufffd
t
y
y1
t1 t2
y2
Figura 8.2: Decaimento do medicamento no sangue do paciente.
8.10 Convoluc¸a\u2dco
A transformada de Laplace de um produto de duas func¸o\u2dces na\u2dco e´ igual ao produto das transfor-
madas de Laplace das duas func¸o\u2dces. No entanto, existe uma operac¸a\u2dco entre func¸o\u2dces que, quando
transformada, da´ o produto das transformadas das duas func¸o\u2dces. Essa operac¸a\u2dco entre func¸o\u2dces e´
designada convoluc¸a\u2dco, e joga um papel importante no ca´lculo de transformadas inversas, como
veremos.
O produto de convoluc¸a\u2dco entre duas func¸o\u2dces f(t) e g(t) define-se da seguinte forma
f \u2217 g =
t\u222b
0
f(r)g(t\u2212 r) dr (8.72)
Teorema 7
A transformada de Laplace do produto de convoluc¸a\u2dco entre duas func¸o\u2dces f e g, e´ igual ao produto
das transformadas de Laplace das duas func¸o\u2dces.
74 Transformadas de Laplace
Demonstrac¸a\u2dco: A partir das definic¸o\u2dces da transformada de Laplace e do produto de convoluc¸a\u2dco,
obtemos
L{f \u2217 g} =
\u221e\u222b
0
t\u222b
0
f(r)g(t\u2212 r) e\u2212st dr dt (8.73)
o integral em r pode ser estendido ate´ infinito, se multiplicarmos por uma func¸a\u2dco degrau unita´rio
que anule a parte desde t ate´ infinito
L{f \u2217 g} =
\u221e\u222b
0
\u221e\u222b
0
f(r)g(t\u2212 r)u(t\u2212 r) e\u2212st dr dt (8.74)
trocando a ordem dos dois integrais, obtemos
L{f \u2217 g} =
\u221e\u222b
0
f(r)
\uf8ee\uf8f0 \u221e\u222b
0
g(t\u2212 r)u(t\u2212 r) e\u2212st dt
\uf8f9\uf8fb dr (8.75)
O termo entre pare\u2c6ntesis quadrados e´ a transformada de Laplace da func¸a\u2dco g, deslocada em t:
g(t\u2212 r)u(t\u2212 r) (8.76)
que e´ igual a` transformada de Laplace de g, multiplicada pela exponencial de \u2212sr. Assim, obte-
mos o resultado
L{f \u2217 g} = G(s)
\u221e\u222b
0
f(r) e\u2212sr dr (8.77)
que e´ igual ao produto das transformadas de Laplace das duas func¸o\u2dces, como pretend\u131´amos demon-
strar:
L{f \u2217 g} = F (s)G(s) \ufffd (8.78)
O teorema anterior tambe´m implica, em forma inversa, que a transformada inversa de Laplace de
um produto de func¸o\u2dces e´ igual ao produto de convoluc¸a\u2dco entre as transformadas inversas das duas
func¸o\u2dces. O teorema de convoluc¸a\u2dco e´ u´til no ca´lculo de transformadas inversas de func¸o\u2dces compli-
cadas que possam ser escritas como o produto entre func¸o\u2dces simples. O produto de convoluc¸a\u2dco
entre func¸o\u2dces verifica as propriedades comutativa, associativa e distributiva em relac¸a\u2dco a` soma de
func¸o\u2dces.
Exemplo 8.3
Calcule a transformada inversa da func¸a\u2dco
F (s) =
a
s(s2 + a2)
Podemos escrever a func¸a\u2dco F como o produto entre duas func¸o\u2dces
G(s) =
1
s
H(s) =
a
s2 + a2
(8.79)
as transformadas inversas de G e H obte\u2c6m-se a partir da tabela 8.1
g(t) = 1 h(t) = sin(at) (8.80)
8.11 Resoluc¸a\u2dco de equac¸o\u2dces integro-diferenciais 75
e a transformada inversa de F e´ igual ao produto de convoluc¸a\u2dco de g e h
f(t) = 1 \u2217 sin(at) =
t\u222b
0
sin(ar) dr =
1\u2212 cos(at)
a
\ufffd (8.81)
No ca´lculo do produto de convoluc¸a\u2dco entre g e h, o termo dentro do integral pode ser escrito como
g(r)h(t\u2212 r) ou g(t\u2212 r)h(r), usando a propriedade comutativa; conve´m sempre examinar as duas
possibilidades para seleccionar a que seja mais fa´cil de primitivar.
8.11 Resoluc¸a\u2dco de equac¸o\u2dces integro-diferenciais
Algumas equac¸o\u2dces que combinem derivadas com integrais podem ser resolvidas por meio da trans-
formada de Laplace, quando o integral possa ser escrito como um integral de convoluc¸a\u2dco entre
func¸o\u2dces.
Exemplo 8.4
Encontre a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco integro-diferencial
dy
dt
= 1\u2212
t\u222b
0
y(t\u2212 v) e\u22122v dv (8.82)
com condic¸a\u2dco inicial y(0) = 1.
O integral no lado direito da equac¸a\u2dco e´ um produto de convoluc¸a\u2dco:
dy
dt
= 1\u2212 y \u2217 e\u22122t (8.83)
Transformando os dois lados da equac¸a\u2dco obtemos
sY \u2212 1 = 1
s
\u2212 Y
s+ 2
(8.84)
donde se obtem a func¸a\u2dco Y :
Y =
s+ 2
s(s+ 1)
=
2
s
\u2212 1
s+ 1
(8.85)
e a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco e´ a transformada inversa
y(t) = 2\u2212 e\u2212t \ufffd (8.86)
8.12 Problemas
Aplicando transformadas de Laplace, resolva as seguintes equac¸o\u2dces
1. y\u2032\u2032 + y\u2032 \u2212 2y = 3 y(0) = 0, y\u2032(0) = 1
2. y\u2032\u2032 + 4y\u2032 + 4y = e\u22122t y(0) = 0, y\u2032(0) = 0
76 Transformadas de Laplace
3. y\u2032\u2032\u2032 \u2212 4y\u2032\u2032 \u2212 y\u2032 + 4y = et y(0) = y\u2032(0) = y\u2032\u2032(0) = 1
4. y\u2032\u2032 + y = e2t cos t y(0) = 1, y\u2032(0) = 0
5. y\u2032\u2032 + 4y = t sin(2t) y(0) = y(pi/4) = 0
6. t2y\u2032\u2032 \u2212 2y = 2t y(0) finita, y(2) = 2
Nas perguntas 7 a 10 resolva o problema de condic¸o\u2dces fronteira
y\u2032\u2032 + 4y = f(t) y(0) = y
(
5pi
4
)
= 0
usando a definic¸a\u2dco da func¸a\u2dco f(t) dada em cada caso
7.
0 t
f(t)
1
pi 2pi 3pi
8. f(t) = \u3b4(t\u2212 pi)
9. f(t) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1 0 \u2264 t < pi
0 pi \u2264 t < 2pi
sin t 2pi \u2264 t
10.
0 t
f(t)
1
pi/4 pi/2 3pi/4 pi
Calcule os seguintes produtos de convoluc¸a\u2dco
11. eat \u2217 eat
12. t \u2217 t \u2217 t
13. t \u2217 sin t
Usando a propriedade da transformada de Laplace do produto de convoluc¸a\u2dco, calcule as transfor-
madas inversas das seguintes func¸o\u2dces
14. 4
s2(s\u2212 2)
8.12 Problemas 77
15. 1
(s2 + \u3c92)2
Resolva as sequintes equac¸o\u2dces em forma geral, para qualquer func¸a\u2dco f(t) parcelarmente cont\u131´nua
e para\u2c6metro k diferente de zero
16. y\u2032\u2032 \u2212 k2y = f(t) y(0) = y\u2032(0) = 0
17. y\u2032\u2032 \u2212 2ky\u2032 + k2y = f(t) y(0) = y\u2032(0) = 1
Equac¸o\u2dces integrodiferenciais. Resolva as seguintes equac¸o\u2dces
18. y(t) = a sin t\u2212 2 \u222b t0 y(s) cos(t\u2212 s) ds
19. y(x) = x+
\u222b x
0 y(t) cos(x\u2212 t) dt
20.
\u222b t
0 y(s) ds\u2212 y\u2032(t) = t y(0) = 2
21. y\u2032(t) + 2y +
\u222b t
0 y(s) ds = sin t y(0) = 1
78 Transformadas de Laplace
Cap\u131´tulo 9
Equac¸o\u2dces de diferenc¸as, lineares,
na\u2dco-homoge´neas
No cap\u131´tulo 6 estudamos me´todos para a resoluc¸a\u2dco de equac¸o\u2dces de diferenc¸as lineares homoge´neas,
e vimos que existe uma grande semelhanc¸a entre a resoluc¸a\u2dco de equac¸o\u2dces de diferenc¸as lineares e
a resoluc¸a\u2dco de equac¸o\u2dces diferenciais lineares. Seguindo a analogia, veremos neste cap\u131´tulo que no
caso das equac¸o\u2dces de diferenc¸as existe um me´todo ana´logo ao me´todo da transformada de Laplace
na resoluc¸a\u2dco de equac¸o\u2dces diferenciais.
9.1 Transformada Z
A transformada Z define como construir uma func¸a\u2dco a partir de uma sucessa\u2dco. Assim, cada
sucessa\u2dco e´ transformada numa func¸a\u2dco; isso permitira´ transformar equac¸o\u2dces de diferenc¸as em
equac¸o\u2dces alge´bricas que em alguns casos podem ser resolvidas facilmente, como veremos. A
transformada Z de uma sucessa\u2dco {y0, y1, y2, . . .} e´ uma func¸a\u2dco definida por meio da se´rie:
y0 +
y1
z
+
y2
z2
+
y3
z 3
+ . . . (9.1)
onde z e´ uma varia´vel real1. O dom\u131´nio da varia´vel z onde a se´rie e´ convergente dependera´ da
sucessa\u2dco. Usando uma notac¸a\u2dco mais compacta, escrevemos a transformada da sucessa\u2dco {yn} da
seguinte forma
Z{yn} =
\u221e\u2211
n=0
yn
zn
(9.2)
e ainda usaremos uma outra notac¸a\u2dco: y, que representa a func¸a\u2dco obtida apo´s transformar a sucessa\u2dco
{yn}.
Consideremos um exemplo: a sucessa\u2dco {1, 1, 1, . . .} com todos os termos iguais