equacoes Diferenciais
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equacoes Diferenciais


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permite encontrar as constantes ci
c = V\u22121x0 (10.46)
e a soluc¸a\u2dco (10.39) e´ igual a
x = XV\u22121x0 (10.47)
Comparando as equac¸o\u2dces (10.24) e (10.47), que sa\u2dco duas formas diferentes de escrever a soluc¸a\u2dco
particular, va´lidas para qualquer vector x0, obtemos um resultado importante
eA t = XV\u22121 (10.48)
Esta equac¸a\u2dco permite calcular a exponencial de qualquer matriz A, a partir dos seus vectores e
valores pro´prios.
94 Sistemas de equac¸o\u2dces diferenciais
10.4.3 Valores pro´prios complexos
Quando existem valores pro´prios complexos, procuramos um vector pro´prio complexo, w = a+
ib, e as partes real (a) e imagina´ria (b) desse vector sera\u2dco usados como vectores da base. As
correspondentes soluc¸o\u2dces fundamentais ja´ na\u2dco sera\u2dco dadas pelo teorema 8, pois os dois vectores
na\u2dco sa\u2dco vectores pro´prios, mas como (a+ ib) sim e´ vector pro´prio, usamos a equac¸a\u2dco
eAt(a+ ib) = e\u3bbt(a+ ib) (10.49)
Comparando as partes reais e imagina´rias nos dois lados da equac¸a\u2dco, e´ poss\u131´vel calcular as duas
soluc¸o\u2dces fundamentais exp(At)a e exp(At)b.
Exemplo 10.4
Encontre a soluc¸a\u2dco geral do sistema de equac¸o\u2dces diferenciais x\u2032 = Ax, onde A e´ a seguinte
matriz:
A =
\uf8ee\uf8f0 1 0 \u221210 2 0
1 0 1
\uf8f9\uf8fb
O polino´mio caracter\u131´stico e´:\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
(1\u2212 \u3bb) 0 \u22121
0 (2\u2212 \u3bb) 0
1 0 (1\u2212 \u3bb)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = (2\u2212 \u3bb)[(\u3bb\u2212 1)2 + 1] = 0 (10.50)
e, portanto, os valores pro´prios sa\u2dco
\u3bb1 = 2 \u3bb2 = 1 + i \u3bb3 = 1\u2212 i (10.51)
um vector pro´prio (v1) correspondente a \u3bb1 = 2 obte´m-se a partir da soluc¸a\u2dco do sistema\uf8ee\uf8f0 \u22121 0 \u221210 0 0
1 0 \u22121
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
0
0
0
\uf8f9\uf8fb =\u21d2 v1 =
\uf8ee\uf8f0 01
0
\uf8f9\uf8fb (10.52)
e a soluc¸a\u2dco particular correspondente a v1 e´
eAtv1 =
\uf8ee\uf8f0 0e2t
0
\uf8f9\uf8fb (10.53)
Outras duas soluc¸o\u2dces linearmente independentes podem ser obtidas a partir de \u3bb2 ou \u3bb3. Para
\u3bb3 = 1\u2212 i obtemos: \uf8ee\uf8f0 i 0 \u221210 (1 + i) 0
1 0 i
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
0
0
0
\uf8f9\uf8fb =\u21d2 w =
\uf8ee\uf8f0 10
i
\uf8f9\uf8fb (10.54)
A partir de w pode obter-se uma soluc¸a\u2dco particular complexa:
eAtw = e(1\u2212 i)t
\uf8ee\uf8f0 10
i
\uf8f9\uf8fb = et
\uf8ee\uf8f0 cos t\u2212 i sin t0
sin t+ i cos t
\uf8f9\uf8fb (10.55)
10.5 Vectores pro´prios generalizados 95
As partes real e imagina´ria desta soluc¸a\u2dco sa\u2dco tambe´m soluc¸o\u2dces, e junto com a soluc¸a\u2dco obtida a
partir de \u3bb1, constituem um conjunto fundamental de soluc¸o\u2dces do sistema:\uf8ee\uf8f0 0e2t
0
\uf8f9\uf8fb , et
\uf8ee\uf8f0 cos t0
sin t
\uf8f9\uf8fb , et
\uf8ee\uf8f0 \u2212 sin t0
cos t
\uf8f9\uf8fb (10.56)
A soluc¸a\u2dco geral do sistema e´ qualquer combinac¸a\u2dco linear do conjunto fundamental de soluc¸o\u2dces:
x(t) =
\uf8ee\uf8f0 0 et cos t \u2212 et sin te2t 0 0
0 et sin t et cos t
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 c1c2
c3
\uf8f9\uf8fb \ufffd (10.57)
10.5 Vectores pro´prios generalizados
Falta-nos considerar o caso em que aparecem ra\u131´zes do polino´mio caracter\u131´stico com multiplici-
dade m > 1. No caso das ra\u131´zes na\u2dco repetidas, o sistema de equac¸o\u2dces lineares que permitem
calcular o vector pro´prio correspondente e´ sempre um sistema com uma varia´vel livre (subespac¸o
de dimensa\u2dco igual a um) que pode ser arbitrada. No caso da raiz de multiplicidade m, o sistema
de equac¸o\u2dces lineares que definem os vectores pro´prios podera´ ter entre uma e m varia´veis livres.
Se existirem m varia´veis livres, obte\u2c6m-se m vectores pro´prios arbitrando valores linearmente in-
dependentes para elas (o mais fa´cil sera´ usar conjuntos de varia´veis onde unicamente uma delas e´
diferente de zero). Se o sistema tiver menos do que m varia´veis livres, para completar m vectores
fundamentais usaremos vectores pro´pios generalizados.
Um vector pro´prio generalizado da matrizA, correspondente ao valor pro´prio \u3bb e ao vector pro´prio
v, e´ um vector u que verifica a seguinte condic¸a\u2dco
(A\u2212 \u3bbI)u = v (10.58)
Para construir a soluc¸a\u2dco fundamental correspondente a um vector pro´prio generalizado, usa-se o
seguinte teorema.
Teorema 9
Se u e´ um vector pro´prio generalizado da matrizA, correspondente ao valor pro´prio \u3bb e ao vector
pro´prio v, enta\u2dco
eAtu = e\u3bbt(u+ tv) (10.59)
Demonstrac¸a\u2dco: usando a se´rie de McClaurin de exp(At),
eAtu =
\u221e\u2211
m=0
tm
m!
Amu (10.60)
a partir da definic¸a\u2dco do vector pro´prio generalizado, obtemos
Au = \u3bbu+ v (10.61)
96 Sistemas de equac¸o\u2dces diferenciais
e multiplicando repetidas vezes pela matriz A vemos que
Amu = \u3bbmu+m\u3bbm\u22121v (10.62)
substituindo na se´rie de McClaurin,
eAtu =
\u221e\u2211
m=0
(\u3bbt)m
m!
u+
\u221e\u2211
m=1
t(\u3bbt)m\u22121
(m\u2212 1)! v (10.63)
As duas se´ries da\u2dco o resultado que pretendiamos encontrar. \ufffd
O sistema que define os vectores generalizados podera´ ter varia´veis livres, dando origem a va´rios
vectores pro´prios generalizados linearmente independentes, ou podera´ na\u2dco ter soluc¸a\u2dco quando na\u2dco
existirem vectores pro´prios generalizados correspondentes a um determinado vector pro´prio. Se
depois de procurar vectores pro´prios generalizados na\u2dco existirem suficientes vectores para com-
pletar uma base, sera´ preciso procurar vectores pro´prios generalizados, de segunda ordem, que sa\u2dco
vectores pro´prios generalizados, associados a um outro vector pro´prio generalizado.
No fim da pro´xima secc¸a\u2dco veremos um exemplo no qual e´ necessa´rio encontrar um vector pro´prio
generalizado.
10.6 Sistemas lineares na\u2dco-homoge´neos, de coeficientes constantes
Vamos estudar nesta secc¸a\u2dco um me´todo para calcular a soluc¸a\u2dco de um sistema linear na\u2dco-homo-
ge´neo, de coeficientes constates [equac¸a\u2dco (10.10)]
dx
dt
= Ax+ f (10.64)
No caso mais simples n = 1, o sistema e´ uma u´nica equac¸a\u2dco linear de primeira ordem
dx
dt
= ax+ f (10.65)
onde a e´ uma constante real e f e´ uma func¸a\u2dco de t. Resolvendo o sistema por meio da transformada
de Laplace, optemos a soluc¸a\u2dco
x(t) = x(0) eat + eat \u2217 f (10.66)
a generalizac¸a\u2dco deste resultado para qualquer n, e´
x = eA tx(0) + eA t \u2217 f(t) (10.67)
Para calcular o produto de convoluc¸a\u2dco entre matrizes, seguem-se as regras habituais do produto
entre matrizes, mas cada produto entre dois termos da matriz sera´ um produto de convoluc¸a\u2dco entre
as respectivas func¸o\u2dces.
O primeiro termo na soluc¸a\u2dco (10.67) e´ a soluc¸a\u2dco do sistema homoge´neo correspondente, com
as mesmas condic¸o\u2dces iniciais do sistema na\u2dco homoge´neo. E o segundo termo e´ uma soluc¸a\u2dco
particular do sistema na\u2dco-homoge´neo, ja´ que no caso particular x(0) = 0 obte´m-se essa soluc¸a\u2dco.
Usando a expressa\u2dco (10.48) obtida para a exponencial da matriz A t, podemos escrever a soluc¸a\u2dco
particular da seguinte forma
xp = XV\u22121 \u2217 f (10.68)
10.6 Sistemas lineares na\u2dco-homoge´neos, de coeficientes constantes 97
A inversa da matriz de vectores pro´prios, V\u22121, e´ uma matriz constante, independente de t, de
maneira que pode passar a multiplicar no segundo membro do produto de convoluc¸a\u2dco:
xp = X \u2217
(
V\u22121f
) (10.69)
Na\u2dco sera´ preciso calcular a inversa de V, ja´ que o vector entre pare\u2c6ntesis e´ simplesmente a soluc¸a\u2dco
do sistema de equac¸o\u2dces lineares
Vu = f (10.70)
Com os vectores pro´prios da matriz A e o vector f calcula-se o vector u, e a soluc¸a\u2dco particular e´
yp = X \u2217 u (10.71)
Exemplo 10.5
Resolva o problema de valor inicial
dx
dt
= Ax+ f x(0) = x0
onde a matriz A e os vectores f e x0 sa\u2dco os seguintes:
A =
\uf8ee\uf8f0 1 1 00 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb f = et
\uf8ee\uf8f0 01
t
\uf8f9\uf8fb x0 =
\uf8ee\uf8f0 01
0
\uf8f9\uf8fb
Com uma matriz ta\u2dco simples, o mais fa´cil seria escrever as tre\u2c6s equac¸o\u2dces diferenciais explicita-
mente e resolve-las directamente. No entanto, vamos usar este exemplo simples para ilustar o
me´todo proposto nesta secc¸a\u2dco. O polino´mio caracter\u131´stico da matriz A e´
(\u3bb\u2212 1)3 = 0 (10.72)
Existe um u´nico valor pro´prio, \u3bb = 1, com multiplicidade 3. O Sistema que define os vectores
pro´prios sera´ \uf8ee\uf8f0 0 1 00 0 0
0 0 0
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 ab
c
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 00
0
\uf8f9\uf8fb (10.73)
que tem duas varia´veis livres (a e c); assim, obtemos dois vectores pro´prios linearmente indepen-
dentes:
v1 =
\uf8ee\uf8f0 10
0
\uf8f9\uf8fb v3 =
\uf8ee\uf8f0 00
1
\uf8f9\uf8fb (10.74)
a raza\u2dco para os designar por v1 e v3 sera´ discutida mais logo. O vector fundamental v2 devera´
ser um vector pro´prio