equacoes Diferenciais
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equacoes Diferenciais


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ordem sa\u2dco da forma F (x, y, y\u2032) = 0, mas geral-
mente por meio de simples manipulac¸a\u2dco alge´brica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou
mais equac¸o\u2dces
dy
dx
= f(x, y) (1.6)
A chamada forma inversa da equac¸a\u2dco anterior e´
dx
dy
=
1
f(x, y)
(1.7)
Qualquer soluc¸a\u2dco impl\u131´cita de uma das duas equac¸o\u2dces e´ soluc¸a\u2dco da outra, e se a inversa de uma
soluc¸a\u2dco expl\u131´cita y(x) da primeira equac¸a\u2dco existir, sera´ soluc¸a\u2dco (x(y)) da equac¸a\u2dco inversa. A
equac¸a\u2dco pode ser tambe´m escrita na chamada forma diferencial
f(x, y) dx\u2212 dy = 0 (1.8)
Existem em geral muitas soluc¸o\u2dces de uma equac¸a\u2dco diferencial de primeira ordem. Dado um valor
inicial y(x0) = y0, e´ poss\u131´vel calcular a derivada y\u2032 no ponto x0 (igual a f(x0, y0) segundo a
equac¸a\u2dco diferencial), e geralmente e´ poss\u131´vel encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo
ponto (x0, y0) e com derivada igual a f(x, y) em cada ponto. O problema de valores iniciais:
dy
dx
= f(x, y) y(x0) = y0 (1.9)
consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto (x0, y0).
1.3 Existe\u2c6ncia e unicidade da soluc¸a\u2dco
As condic¸o\u2dces suficientes para a existe\u2c6ncia de uma soluc¸a\u2dco u´nica de uma equac¸a\u2dco diferencial de
primeira ordem sa\u2dco definidas pelo teorema de Picard:
1.4 Problemas 3
Teorema 1 (Picard)
Considere o problema de valor inicial
dy
dx
= f(x, y) y(x0) = y0 (1.10)
se a func¸a\u2dco f e a derivada parcial de f em func¸a\u2dco de y sa\u2dco cont\u131´nuas numa vizinhanc¸a do ponto
(x0, y0), existe uma soluc¸a\u2dco u´nica y = g(x) em certa vizinhanc¸a do ponto (x0, y0) que verifica a
condic¸a\u2dco inicial g(x0) = y0.
O intervalo onde existe a soluc¸a\u2dco u´nica pode ser maior ou menor que o intervalo onde a func¸a\u2dco
f e a sua derivada parcial \u2202f/\u2202y sa\u2dco cont\u131´nuas (o teorema na\u2dco permite determinar o tamanho do
intervalo).
As condic¸o\u2dces do teorema de Picard sa\u2dco condic¸o\u2dces suficientes, mas na\u2dco necessa´rias para a ex-
iste\u2c6ncia de soluc¸a\u2dco u´nica. Quando f ou a sua derivada parcial \u2202f/\u2202y na\u2dco sejam cont\u131´nuas, o
teorema na\u2dco nos permite concluir nada: provavelmente existe soluc¸a\u2dco u´nica a pesar das duas
condic¸o\u2dces na\u2dco se verificarem.
Exemplo 1.3
Demonstre que a relac¸a\u2dco
x2 + y2 \u2212 c2 = 0 (1.11)
onde c e´ uma constante positiva, e´ soluc¸a\u2dco impl\u131´cita da equac¸a\u2dco
dy
dx
= \u2212x
y
(1.12)
que pode concluir a partir do teorema de Picard?
Resoluc¸a\u2dco:
2x+ 2yy\u2032 = 0 (1.13)
y\u2032 = \u2212x
y
a func¸a\u2dco f = \u2212x/y e a sua derivada parcial \u2202f/\u2202y = x/y2 sa\u2dco cont\u131´nuas em quaisquer pontos
fora do eixo dos x. A soluc¸a\u2dco impl\u131´cita dada conduz a`s soluc¸o\u2dces u´nicas:
y1 =
\u221a
c2 \u2212 x2 y2 = \u2212
\u221a
c2 \u2212 x2 (1.14)
no intervalo \u2212c < x < c. O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos y = 0, mas
segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto y = 0 existem duas soluc¸o\u2dces, y1 e
y2. \ufffd
1.4 Problemas
Em cada equac¸a\u2dco diferencial identifique as varia´veis independentes e dependentes. Demonstre em
cada caso que a func¸a\u2dco y ou u na coluna da direita e´ soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco, onde a e c sa\u2dco constantes.
1. dy
dx
=
x\u221a
x2 + a2
(a 6= 0) y(x) = \u221ax2 + a2
4 Introduc¸a\u2dco
2. 1
4
(
d2y
dx2
)2
\u2212 x dy
dx
+ y = 1\u2212 x2 y(x) = x2
3. \u2202
2u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
= 0 u(x, y) = arctan
(y
x
)
4. \u2202
2u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
+
\u22022u
\u2202z2
= 0 u(x, y, z) =
1\u221a
x2 + y2 + z2
Demonstre que a relac¸a\u2dco dada define uma soluc¸a\u2dco impl\u131´cita da equac¸a\u2dco diferencial.
5. yy\u2032 = e2x y2 = e2x
6. y\u2032 = y
2
xy \u2212 x2 y = c e
y/x
Os problemas 7 ao 11 sa\u2dco um teste a` sua intuic¸a\u2dco (a ¡¡intuic¸a\u2dco¿¿ so´ se obtem depois de alguma
pra´tica e por isso e´ importante analizar estes problemas e as suas soluc¸o\u2dces). Em cada caso tente
adivinhar uma soluc¸a\u2dco; fac¸a alguma tentativa e verifique se e´ ou na\u2dco soluc¸a\u2dco. Diga se a soluc¸a\u2dco
que descobriu e´ geral ou particular.
7.
dy
dx
= y (a func¸a\u2dco cuja derivada e´ igual a si pro´pria)
8. dy
dx
= y2 (derivada igual ao quadrado da func¸a\u2dco)
9. dy
dx
+ y = 1
10. dy
dx
+ y = ex
11. d
2y
dx2
= 1 (func¸a\u2dco cuja segunda derivada e´ igual a 1)
Verifique que a func¸a\u2dco dada e´ soluc¸a\u2dco do problema de valor inicial
12. y\u2032\u2032 + 3y\u2032 + 2y\u2032 = 0, y(0) = 0 y\u2032(0) = 1 y(x) = e\u2212x \u2212 e\u22122x
13. y\u2032\u2032 + 4y = 0, y(0) = 1 y\u2032(0) = 0 y(x) = cos 2x
Determine se o teorema de Picard implica a existe\u2c6ncia de uma soluc¸a\u2dco u´nica dos seguintes prob-
lemas de valor inicial, numa vizinhanc¸a do valor inicial x dado.
14. y\u2032 \u2212 y = 1 y(0) = 3
15. y\u2032 = x3 \u2212 y3 y(0) = 0
16. y\u2032 = \u2212x
y
y(1) = 0
1.4 Problemas 5
17. O problema de valor inicial y\u2032 = 2\u221ay, y(0) = 0, tem um nu´mero infinito de soluc¸o\u2dces no
intervalo [0,\u221e).
(a) Demonstre que y(x) = x2 e´ uma soluc¸a\u2dco.
(b) Demonstre que se (c e´ um para\u2c6metro positivo, a seguinte familia de func¸o\u2dces (ver figura)
sa\u2dco tambe´m soluc¸o\u2dces
y =
{
0 0 \u2264 x < c
(x\u2212 c)2 c \u2264 x
Porque na\u2dco pode ser c negativo?
(c) Interprete estes resultados em relac¸a\u2dco ao teorema de Picard.
x
y
1
-1
1 2
y = (x - c)2
6 Introduc¸a\u2dco
Cap\u131´tulo 2
Equac¸o\u2dces diferenciais de primeira
ordem
Existem alguns tipos de equac¸o\u2dces ordina´rias de primeira ordem que podem ser resolvidas ana-
liticamente. Comecemos por estudar o caso mais simples das equac¸o\u2dces diferenciais de primeira
ordem: Equac¸o\u2dces da forma
dy
dx
= f(x) (2.1)
resolvem-se facilmente, usando o teorema fundamental do ca´lculo integral
y(x) =
\u222b
f(x) dx+ c (2.2)
em que c e´ uma constante arbitra´ria que sera´ determinada segundo a condic¸a\u2dco inicial do problema.
2.1 Equac¸o\u2dces de varia´veis separa´veis
dy
dx
=
f(x)
g(y)
(2.3)
para resolver este tipo de equac¸a\u2dco primeiro observemos que a primitiva da func¸a\u2dco g(y) pode ser
calculada da seguinte forma \u222b
g(y) dy =
\u222b
g(y(x))
dy
dx
dx (2.4)
a equac¸a\u2dco diferencial pode ser escrita como
g(y)
dy
dx
= f(x) (2.5)
a primitiva em ordem a x do lado esquerdo e´ igual a` primitiva em ordem a y de g(y) como
acabamos de ver \u222b
g(y) dy =
\u222b
f(x) dx+ c (2.6)
As equac¸o\u2dces do tipo
dy
dx
= f(ax+ by + c) (2.7)
8 Equac¸o\u2dces diferenciais de primeira ordem
onde a e b sa\u2dco constantes, na\u2dco sa\u2dco equac¸o\u2dces de varia´veis separa´veis, mas podem ser reduzidas a
elas por meio da seguinte substituic¸a\u2dco
v = ax+ by + c =\u21d2 dv
dx
= a+ b
dy
dx
(2.8)
2.2 Equac¸o\u2dces lineares
dy
dx
+ p(x)y = f(x) (2.9)
Para resolver este tipo de equac¸a\u2dco podemos tentar transforma-la na forma simples do caso 1 acima.
No caso particular em que a func¸a\u2dco p e´ uma constante a, o lado esquerdo e semelhante a` seguinte
derivada
dy
dx
(y eax) = eax(y\u2032 + ay) (2.10)
consequentemente, podemos multiplicar os dois lados da equac¸a\u2dco diferencial por exp(ax) e obter-
mos
dy
dx
(y eax) = eaxf(x) (2.11)
y eax =
\u222b
eaxf(x) dx+ c
No caso geral em que p depende de x, usamos a primitiva de p(x) em vez de ax e o factor
integrante pelo qual deveremos multiplicar a equac¸a\u2dco e´
µ(x) = exp
[\u222b
p(x) dx
]
(2.12)
multiplicando os dois lados da equac¸a\u2dco diferencial por µ obte´m-se
d
dx
(yµ(x)) = µ(x)f(x) (2.13)
yµ =
\u222b
µ(x)f(x) dx+ c
Exemplo 2.1
Encontre a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco diferencial
dy
dx
=
y
y3 \u2212 2x y(2) = 1
A equac¸a\u2dco na\u2dco e´ de varia´veis separa´veis, nem linear, mas se invertermos a equac¸a\u2dco obtemos
dx
dy
=
y3 \u2212 2x
y
(2.14)
a qual e´ uma equac¸a\u2dco linear; escrita na forma padra\u2dco
dx
dy
+
2
y
x = y2 (2.15)
2.3 Equac¸o\u2dces exactas 9
vemos que o factor integrante e´
µ = exp
(\u222b
2
y
dy
)
= y2 (2.16)
multiplicando os dois lados da equac¸a\u2dco por µ obtemos
d
dy
(y2x) = y4 (2.17)
=\u21d2 y2x = y
5
5
+ C (2.18)
Para calcular o valor da constante de integrac¸a\u2dco, substituimos a condic¸a\u2dco inicial
2 =
1
5
+ C =\u21d2 C = 9
5
(2.19)
e a soluc¸a\u2dco (em forma impl\u131´cita)