equacoes Diferenciais
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equacoes Diferenciais


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iniciais
y\u2032\u2032 + 4y\u2032 + 4y = cos(2x) y(pi) = 0 y\u2032(pi) = 1 (5.27)
O polino´mio caracter\u131´stico e´
r2 + 4r + 4 = (r + 2)2 = 0 (5.28)
existe uma u´nica raiz, repetida, de maneira que a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge´nea e´
yh = C1 e\u22122x + C2x e\u22122x (5.29)
uma soluc¸a\u2dco particular da equac¸a\u2dco na\u2dco homoge´nea tera´ a forma
yp = A cos(2x) +B sin(2x) (5.30)
derivando e substituindo na equac¸a\u2dco diferencial, e´ poss\u131´vel calcular os coeficientes indeterminados
A e B
\u22128A sin(2x) + 8B cos(2x) = cos(2x) (5.31)
O que implica A = 0 e B = 1/8. A soluc¸a\u2dco geral e´
y = (C1 + C2x) e\u22122x +
1
8
sin(2x) (5.32)
a sua derivada e´
y\u2032 = (\u22122C1 + C2 \u2212 2C2x) e\u22122x + 14 cos(2x) (5.33)
As condic¸o\u2dces iniciais dadas sa\u2dco
y(pi) = (C1 + piC2) e\u22122pi = 0 (5.34)
y\u2032(pi) = (\u22122C1 + C2 \u2212 2piC2) e\u22122pi + 14 = 1 (5.35)
multiplicando as duas equac¸o\u2dces por exp(2pi), obte´m-se o seguinte sistema de equac¸o\u2dces lineares[
1 pi
\u22122 1\u2212 2pi
] [
C1
C2
]
=
[
0
3
4 e
2pi
]
(5.36)
e a soluc¸a\u2dco do problema de valor inicial e´
y =
3
4
(x\u2212 pi) e2(pi\u2212x) + 1
8
sin(2x) \ufffd (5.37)
5.2 Principio de sobreposic¸a\u2dco
As soluc¸o\u2dces de uma equac¸a\u2dco diferencial na\u2dco-homoge´nea na\u2dco constituem um sub-espac¸o vectorial,
pois uma combinac¸a\u2dco linear de duas soluc¸o\u2dces na\u2dco e´ necessariamente soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco. No
entanto existe uma propriedade de linearidade importante, chamada principio de sobreposic¸a\u2dco.
Consideremos, por exemplo, a equac¸a\u2dco de segunda ordem
y\u2032\u2032 + p(x)y\u2032 + q(x)y = f(x) (5.38)
5.3 Me´todo de variac¸a\u2dco de para\u2c6metros 35
com uma soluc¸a\u2dco y1, e a equac¸a\u2dco
y\u2032\u2032 + p(x)y\u2032 + q(x)y = g(x) (5.39)
com outra soluc¸a\u2dco y2. ´E fa´cil conferir que para quaisquer constantes A e B
Ay1 +By2 (5.40)
´E soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco
y\u2032\u2032 + p(x)y\u2032 + q(x)y = Af(x) +Bg(x) (5.41)
Para apreciar a utilidade deste principio na resoluc¸a\u2dco de equac¸o\u2dces diferenciais consideremos o
seguinte exemplo
y\u2032\u2032 + y\u2032 + 2y = 5x+ 3 ex (5.42)
a func¸a\u2dco y = x+A e´ soluc¸a\u2dco de:
y\u2032\u2032 + y\u2032 + 2y = 1 + 2(x+A) = 2x+A+ 1 (5.43)
portanto, y = x\u2212 1 e´ soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco com lado direito igual a 2x. Para a exponencial temos
y = ex =\u21d2 y\u2032\u2032 + y\u2032 + 2y = 4 ex (5.44)
o lado direito da equac¸a\u2dco inicial e´
5(2x)
2
+
3(4 ex)
4
(5.45)
e aplicando o princ\u131´pio de sobreposic¸a\u2dco uma soluc¸a\u2dco sera´
5
2
(x\u2212 1) + 3
4
ex (5.46)
5.3 Me´todo de variac¸a\u2dco de para\u2c6metros
Este me´todo e´ va´lido para qualquer equac¸a\u2dco linear, e na\u2dco apenas para equac¸o\u2dces com coeficientes
constantes. No entanto e´ preciso primeiro conhecer a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge´nea corre-
spondente. Consideremos uma equac¸a\u2dco linear geral de segunda ordem
y\u2032\u2032 + p(x)y\u2032 + q(x)y = f(x) (5.47)
Se a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco homoge´nea for
y = C1y1 + C2y2 (5.48)
admitimos que a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco e´
y = u1y1 + u2y2 (5.49)
onde u1 e u2 sa\u2dco duas func¸o\u2dces. ´E de salientar que qualquer func¸a\u2dco pode ser escrita na forma ante-
rior e incluso as func¸o\u2dces u na\u2dco sa\u2dco u´nicas embora sejam dif\u131´ceis de calcular; no entanto o me´todo
de variac¸a\u2dco de para\u2c6metros conduz a um sistema linear que pode ser resolvido facilmente. Como
36 Equac¸o\u2dces lineares, na\u2dco-homoge´neas
temos alguma liberdade na definic¸a\u2dco das func¸o\u2dces u, procuramos duas func¸o\u2dces que verifiquem a
seguinte equac¸a\u2dco
u\u20321y1 + u
\u2032
2y2 = 0 (5.50)
a segunda condic¸a\u2dco para determinar as duas func¸o\u2dces desconhecidas obte\u2c6m-se por substituic¸a\u2dco na
equac¸a\u2dco diferencial
y\u2032 = u1y\u20321 + u2y
\u2032
2 (5.51)
y\u2032\u2032 = u\u20321y
\u2032
1 + u
\u2032
2y
\u2032
2 + u1y
\u2032\u2032
1 + u2y
\u2032\u2032
2 (5.52)
y\u2032\u2032 + py\u2032 + qy = u\u20321y
\u2032
1 + u
\u2032
2y
\u2032
2 + u1(y
\u2032\u2032
1 + py
\u2032
1 + qy1) + u2(y
\u2032\u2032
2 + py
\u2032
2 + qy2) (5.53)
os termos dentro dos pare\u2c6ntesis sa\u2dco nulos, ja´ que tanto y1 como y2 sa\u2dco soluc¸o\u2dces da equac¸a\u2dco
homoge´nea. Obtemos assim
u\u20321y
\u2032
1 + u
\u2032
2y
\u2032
2 = f (5.54)
esta equac¸a\u2dco junto com a equac¸a\u2dco 5.50, constitui um sistema linear de duas equac¸o\u2dces que permitem
calcular as func¸o\u2dces u\u20321 e u\u20322 [
y1 y2
y\u20321 y\u20322
] [
u\u20321
u\u20322
]
=
[
0
f
]
(5.55)
O determinante do sistema e´ o Wronskiano das duas soluc¸o\u2dces da equac¸a\u2dco homoge´nea, o qual e´
diferente de zero e portanto existe soluc¸a\u2dco u´nica para as derivadas das func¸o\u2dces u. Por primitivac¸a\u2dco
obte\u2c6m-se logo as func¸o\u2dces u e a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco na\u2dco-homoge´nea.
Exemplo 5.2
Determine a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco
x2y\u2032\u2032 \u2212 2xy\u2032 + 2y = x3 sinx (5.56)
A equac¸a\u2dco dada e´ uma equac¸a\u2dco de Cauchy-Euler; a equac¸a\u2dco caracter\u131´stica e´
r(r \u2212 1)\u2212 2r + 2 = (r \u2212 1)(r \u2212 2) = 0 (5.57)
e consequentemente a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge´nea associada e´
yh = C1x+ C2x2 (5.58)
admitimos que a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco na\u2dco-homoge´nea e´
y = u1x+ u2x2 (5.59)
e seguindo o me´todo de variac¸a\u2dco de para\u2c6metros obtemos
xu\u20321 + x
2u\u20322 = 0 (5.60)
u\u20321 + 2xu
\u2032
2 = x sinx (5.61)
o determinante do sistema de equac¸o\u2dces e´
2x2 \u2212 x2 = x2 (5.62)
5.4 Equac¸o\u2dces lineares de ordem superior 37
e a soluc¸a\u2dco e´
u\u20321 =
1
x2
\u2223\u2223\u2223\u2223 0 x2x sinx 2x
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u2212x sinx (5.63)
u\u20322 =
1
x2
\u2223\u2223\u2223\u2223 x 01 x sinx
\u2223\u2223\u2223\u2223 = sinx (5.64)
e as primitivas sa\u2dco
u1 = x cosx\u2212 sinx+ C1 (5.65)
u2 = \u2212 cosx+ C2 (5.66)
A soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco e´
y = C1x+ C2x2 \u2212 x sinx \ufffd (5.67)
5.4 Equac¸o\u2dces lineares de ordem superior
Os me´todos que temos visto generalizam-se facilmente a qualquer equac¸a\u2dco linear de ordem n:
a0(x)y(n) + a1(x)y(n\u22121) + . . .+ an\u22121(x)y\u2032 + an(x)y = f(x) (5.68)
A soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge´nea correspondente e´
yh = C1y1 + C2y2 + . . .+ Cnyn (5.69)
onde as func¸o\u2dces yi sa\u2dco soluc¸o\u2dces linearmente independentes. Se yp for uma soluc¸a\u2dco particular da
equac¸a\u2dco na\u2dco-homoge´nea, a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco na\u2dco-homoge´nea sera´
y = yp + yh (5.70)
Para encontrar uma soluc¸a\u2dco particular em alguns casos pode-se usar o me´todo de coeficientes
indeterminados, igual que no caso n = 2. O me´todo de variac¸a\u2dco de para\u2c6metros consiste em
admitir uma forma especial para a soluc¸a\u2dco geral:
y = u1y1 + u2y2 + . . .+ unyn (5.71)
o qual conduz a um sistema linear de equac¸o\u2dces com determinante igual ao Wronskiano das n
func¸o\u2dces yi e lado direito igual a n \u2212 1 zeros e f/a0. A soluc¸a\u2dco do sistema sa\u2dco as derivadas das
func¸o\u2dces u e por primitivac¸a\u2dco de cada uma delas chega-se a` soluc¸a\u2dco geral.
Dadas n condic¸o\u2dces iniciais
y(x0) = y0y\u2032(x0) = y\u20320 . . . y
(n\u22121)(x0) = y
(n\u22121)
0 (5.72)
Existe um u´nico conjunto de constantes C que determinam a soluc¸a\u2dco u´nica do problema.
Exemplo 5.3
Encontre a soluc¸a\u2dco geral de
x3y\u2032\u2032\u2032 \u2212 3x2y\u2032\u2032 + 6xy\u2032 \u2212 6y = 5x (5.73)
38 Equac¸o\u2dces lineares, na\u2dco-homoge´neas
´E uma equac¸a\u2dco de Euler e, portanto, tem soluc¸o\u2dces particulares da forma
y = xr (5.74)
por substituic¸a\u2dco na equac¸a\u2dco diferencial homoge´nea obte´m-se o polino´mio caracter\u131´stico
r(r \u2212 1)(r \u2212 2)\u2212 3r(r \u2212 1) + 6r \u2212 6 = 0 (5.75)
(r \u2212 1)[r(r \u2212 2)\u2212 3r + 6] = 0 (5.76)
(r \u2212 1)(r \u2212 2)(r \u2212 3) = 0 (5.77)
existem tre\u2c6s ra\u131´zes reais diferentes,r = 1, r = 2 e r = 3, a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge´nea
sera´
yh = C1x+ C2x2 + C3x3 (5.78)
usando o me´todo de variac¸a\u2dco de para\u2c6metros, admitimos que a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco na\u2dco-homoge´nea
e´
y = u1x+ u2x2 + u3x3 (5.79)
Para determinar as tre\u2c6s func¸o\u2dces u, sera\u2dco precisas ale´m da equac¸a\u2dco diferencial, mais duas condic¸o\u2dces
arbitra´rias:
xu\u20321 + x
2u\u20322 + x
3u\u20323 = 0 (5.80)
u\u20321 + 2xu
\u2032
2 + 3x
2u\u20323 = 0 (5.81)
com estas condic¸o\u2dces as derivadas de y sa\u2dco
y\u2032 = u1 + 2xu2 + 3x2u3 (5.82)
y\u2032\u2032 = 2u2 + 6xu3 (5.83)
y\u2032\u2032\u2032 = 2u\u20322 + 6xu
\u2032
3 + 6u3 (5.84)
e depois de substituir na equac¸a\u2dco diferencial e simplificar, chegamos a` equac¸a\u2dco
2u\u20322 + 6xu
\u2032
3 =
5
x2
(5.85)
as tre\u2c6s condic¸o\u2dces para determinar as func¸o\u2dces u podem ser escritas na forma matricial\uf8ee\uf8f0 x x2 x31 2x 3x2
0 2 6x
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 v\u20321v\u20322
v\u20323
\uf8f9\uf8fb =