Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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ciac¸a\u2dco.
Exemplo 1: 23 = 2× 2× 2 = 8, onde o 8 e´ a pote\u2c6ncia.
8A notac¸a\u2dco am e´ devida a Nicholas Chuquet (1.445 \u2212 1.488) e generalizada por Rene´
Descartes (1.596\u2212 1.650)
9No contexto da matema´tica, esta palavra e´ atribuida a Hipo´crates de Quio (460a.c).
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[SEC. 2.6: POTENCIAC¸A\u2dcO 69
Exemplo 2: 32 = 3× 3 = 9, onde o 9 e´ a pote\u2c6ncia.
2.6.4 Propriedades da Potenciac¸a\u2dco
1a Zero elevado a qualquer nu´mero natural, diferente de zero, e´ igual a
zero.
0m = 0 (m 6= 0)
2a Numa multiplicac¸a\u2dco de bases iguais, basta conservarmos a base e so-
marmos os respectivos expoentes.
am × an × ap × · · ·= am+n+p+... (a rec´\u131proca e´ verdadeira)
Observac¸a\u2dco:
am × an × ap × . . .
= a× a× · · · × a\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m fatores
×a × a × · · · × a\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
n fatores
×a× a× · · · × a\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
p fatores
= am+n+p+... c.q.d.
3a Numa divisa\u2dco de mesma base, basta conservarmos a base e diminuirmos
(da esquerda para a direita) os respectivos expoentes.
am ÷ an ÷ ap ÷ · · ·= am\u2212n\u2212p\u2212... (a rec´\u131proca e´ verdadeira)
Observac¸a\u2dco: Suponha apenas a divisa\u2dco am ÷ an . . . (I), onde m > n.
Seja m \u2212 n = k\u21d2m = k + n
Substituindom em (I), teremos: ak+n÷an = a
k × an
an
= am\u2212n . . . c.q.d.
Generalizando, concluiremos facilmente que: am÷an÷ap+· · · = am\u2212n\u2212p\u2212...
4a Para elevarmos uma multiplicac¸a\u2dco a qualquer expoente, basta elevarmos
cada um desses fatores a esse expoente.
(a× b× c× . . .)m = am × bm × cm × . . . (a rec´\u131proca e´ verdadeira)
Partamos inicialmente de (a × b)n.
Sabemos que:
(a× b)m = (a× b) × (a × b) × · · · × (a× b)\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m fatores
=
a× a× · · · × a\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m fatores
×b × b × · · · × b\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m fatores
= am × bm
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70 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
Generalizando, chegaremos \u201ctranqu¨ilamente\u201da propriedade inicial.
5a Para elevarmos um nu´mero da forma am a va´rios expoentes, basta
conservamos a base e multiplicarmos os expoentes entre si .{[
(am)p
]q}r...
= am×p×q×r×...
Analisemos inicialmente, (am)p
(am)p = am × am × · · · × am\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
p fatores
= a
p parcelas\ufe37 \ufe38\ufe38 \ufe37
m+m+···+m
= am×p
Generalizando, chegaremos facilmente a` propriedade primitiva.
6a A pote\u2c6ncia de ordem superior e´ igual a pote\u2c6ncia do nu´mero que tem
para base, a base do nu´mero dado, e para expoente, a pote\u2c6ncia gerada pelas
pote\u2c6ncias desses expoentes.
Assim, a pote\u2c6ncia gerada pelo nu´mero
N = ab
c···w
xy
z
devera´ ser calculada a partir das geradas pelos u´ltimos expoentes.
Suponhamos, para efeito de ana´lise, um nu´mero da forma N = wx
yz
. Ini-
cialmente, a u´nica pote\u2c6ncia que podemos determinar e´ yz, da´\u131 ...
1o )
xy
z
= x(y
z) = x× x× · · · × x\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
yz fatores
.
Se yz = k, enta\u2dco,
xy
z
= x(y
z) = x× x× · · · × x\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
k fatores
= xk = p1 ;
2o )
wx
yz
= w
(
xy
z
)
= w
[
x(y
z)
]
= wp1 = p,
onde p e´ a pote\u2c6ncia procurada.
7a A pote\u2c6ncia gerada por 10m e´ igual ao 1 seguido de m zeros.
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[SEC. 2.6: POTENCIAC¸A\u2dcO 71
10m = 1 000 . . .0\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m0\u2019s
8a Os algarismos 0, 1, 5 ou 6 ou nu´meros polid´\u131gitos em que o algarismo
das unidades seja um desses, geram pote\u2c6ncias cujo algarismo das unidades sa\u2dco,
respectivamente, 0, 1, 5 ou 6.
9a Ao compararmos pote\u2c6ncias de mesma base (base maior que 1), a maior
delas sera´ aquela que possuir maior expoente.
Se a > 1 e m > p, devemos provar que am > ap.
a1 = a > 1 ou a1 > a0
a2 = a× a > a1
ap+1 = ap × a > ap
ap+2 > ap+1
ap+3 > ap+2
...
...
am\u22121 > am\u22122
am > am\u22121
Multiplicando-se as desigualdades anteriores, membro a membro, teremos:
ap+1 × ap+2 × ap+3 × · · ·× am\u22121 × am > ap × ap+1 × ap+2 × · · ·× am\u22121
Simplificando-se, convenientemente, os fatores comuns desses dois membros,
teremos:
am > ap . . . c.q.d.
2.6.5 No´tulas Complementares
Vimos na definic¸a\u2dco de potenciac¸a\u2dco que am = p (m \u2265 2). Portanto, a1 e
a0 na\u2dco podem ser consideradas como potenciac¸o\u2dces, logo, na\u2dco geram pote\u2c6ncias
e, para esses dois casos particulares de NA\u2dcO potenciac¸o\u2dces, sa\u2dco consideradas as
seguintes propriedades:
1a Todo nu´mero elevado a 1 e´ igual a ele mesmo.
Seja a divisa\u2dco de ap por aq.
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72 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
Admitamos, para efeito de demonstrac¸a\u2dco, p = q + 1
A partir desta suposic¸a\u2dco, pode-se escrever:
aq+1
aq
= aq+1\u2212q = a1 . . . (I) e
aq+1
aq
=
q+1\ufe37 \ufe38\ufe38 \ufe37
a× a× a× · · · × a× a
a× a× a× · · · × a\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
q
= a . . . (II)
Comparando (I) com (II), ve\u2c6-se facilmente que a1 = a
2a Todo nu´mero (diferente de zero) elevado a zero e´ igual a 1.
Demonstrac¸a\u2dco (em N)
am
am
= am\u2212m = a0 . . . (I) e
am
am
= 1 . . . (II)
Igualando-se (I) com (II), poderemos afirmar que a0 = 1
Obs.: Em R, por definic¸a\u2dco, a0 = 1 e a1 = a.
2.6.6 Proposic¸o\u2dces
1a Um nu´mero par elevado a um expoente par ou \u131´mpar gera sempre um
nu´mero par .
(2n)2p = 22p × (n2p) = 2p × 2p × (n2p) = 2 × {[2p\u22121 × 2p] × (n)2p} =
nu´mero par
(2n)2p+1 = (2n)1 × (2n)2p = 2× [(n)× (2n)2p] = nu´mero par
2a Um nu´mero \u131´mpar elevado a um expoente par ou \u131´mpar, gera sempre
um nu´mero \u131´mpar .
(2n+ 1)1 = 2n+ 1 = nu´mero \u131´mpar
(2n+ 1)2 = (2n+ 1)× (2n+ 1) = nu´mero \u131´mpar
(2n+ 1)3 = (2n+ 1)2 × (2n+ 1) = nu´mero \u131´mpar
(2n+ 1)4 = (2n+ 1)3 × (2n+ 1) = nu´mero \u131´mpar
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2.6.7 Representac¸a\u2dco Polino\u2c6mica de um Nu´mero Natural
Polid´\u131gito N
Se N for um nu´mero natural de dois, tre\u2c6s, quatro... \u3b1 algarismos, enta\u2dco
podemos explicita´-lo das seguintes formas:
N = ab ou N = a× 101 + b, ou ainda, N = 10a+ b
N = abc ou N = a× 102 + b × 101 + c, ou ainda, N = 100a+ 10b+ c
N = abcd ou N = a× 103 + b× 102 + c × 101 + d, ou ainda,
N = 1.000a+ 100b+ 10c+ d
...
N = abc . . . xyz\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1 algarismos
ou
N = a× 10\u3b1\u22121 + b × 10\u3b1\u22122 + c× 10\u3b1\u22123 + · · ·+ x× 102 + y× 101 + z\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
forma polino\u2c6mica
Obs.:Em \u201cA´lgebra\u201d, a notac¸a\u2dco \u201cab\u201d esta´ associada a \u201ca × b\u201d. Cuidado
para na\u2dco confundir essa notac¸a\u2dco com essa forma polino\u2c6mica da \u201cAritme´tica\u201d.
2.6.8 Exerc´\u131cios Resolvidos
1) Um nu´mero N e´ constitu´\u131do de dois algarismos e, colocando-se o zero
entre eles, esse nu´mero aumenta de 180 unidades. Sabendo-se que o alga-
rismo das unidades excede o das dezenas de 7 unidades, determinar esse
nu´mero.
Resoluc¸a\u2dco:
Seja N = ab (a > b)
De acordo com os dados do problema, teremos:
\uf8f1\uf8f2\uf8f3N \u2032 = a0b . . . (I)N \u2032 = N + 180 . . .(II)
Substituindo (I) em (II), tem-se:
a0b = ab + 180
100× a + 10× 0+ b = 10× a + b + 180
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74 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
90× a = 180
a = 2
Como b excede o a em 5 unidades, poderemos afirmar que b = 7.
Conclusa\u2dco: O nu´mero procurado e´ o 27.
2) Existem nu´meros constitu´\u131dos de dois algarismos significativos tais que,
invertendo-se a ordem dos mesmos, obte´m-se outros que excedem os pri-
mitivos de 36 unidades. Determinar esses nu´meros.
Resoluc¸a\u2dco:
De acordo com o enunciado, temos:
N = ab . . . (I); N \u2032 = ba . . . (II) e, N \u2032 = N + 36 . . . (III)
Substituindo (I) e (II) em (III), teremos:
ba = ab + 36
10b+ a = 10a+ b + 36
10b\u2212 b+ a \u2212 10a = 36
9b\u2212 9a = 36
b \u2212 a = 4
Analisando essa u´ltima igualdade, poderemos determinar os algarismos
e, consequ¨entemente, os nu´meros que satisfazem a condic¸a\u2dco do problema,
ou seja:
b = 9 e a = 5\u21d2 N = 59;
b = 8 e a = 4\u21d2 N = 48;
b = 7 e a = 3\u21d2 N = 37;
b = 6 e a = 2\u21d2 N = 26;
b = 5 e a = 1\u21d2 N = 15
Resp.: 59, 48, 37, 26 e 15
3) Para escrever todos os nu´meros naturais consecutivos desde 1ab ate´ ab2,
inclusive, foram utilizados 1ab1 algarismos. Determinar o nu´mero de al-
garismos a mais que precisaremos para escrever todos os nu´meros naturais
ate´ aab, inclusive.
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