Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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Resoluc¸a\u2dco:
(ab2 \u2212 1ab+ 1)× 3 = 1ab1
(100a+ 10b+ 2\u2212 100\u2212 10a\u2212 b+ 1)× 3 = 1.000+ 100a+ 10b + 1
(90a+ 9b\u2212 97)× 3\u2212 100a\u2212 10b = 1.001
270a+ 27b\u2212 100a\u2212 10b = 1001+ 291
17(10a+ b) = 1.292
ab =
1.292
17
ab = 76
Portanto, de 763 ate´ aab\u21d2 (776\u2212 763+ 1)× 3 = 14× 3 = 42.
Resp.: 42 algarismos
4) Se a, b e c sa\u2dco algarismos distintos, no sistema de numerac¸a\u2dco decimal
existe um u´nico nu´mero de dois algarismos (ab) tal que (ab)2 \u2212 (ba)2 =
(cc)2. Calcular a + b + c.
Resoluc¸a\u2dco:
(ab)2 \u2212 (ba)2 = (cc)2
(10a+ b)2 \u2212 (10b+ a)2 = (10c+ c)2
100a2 + 20ab+ b2 \u2212 100b2 \u2212 20ab\u2212 a2 = 121c2
99a2 \u2212 99b2 = 121c2
9(a2 \u2212 b2) = 11c2
Dessa igualdade, podemos escrever que:
1o ) c2 = 9 \u2234 c = 3
2o ) a2 \u2212 b2 = 11\u21d2 (a + b) × (a \u2212 b) = 11 \u2234 a = 6 e b = 5
Portanto ... a+ b + c = 6+ 5+ 3 = 14.
Resp.: 14
2.6.9 Proposic¸a\u2dco
No sistema de numerac¸a\u2dco decimal, o maior nu´mero de k algarismos e´ for-
mado por k noves e, o menor, e´ igual a unidade 1, seguida de k\u2212 1 zeros.
Exemplo 1: O maior nu´mero de um algarismo e´ o 9, e o menor e´ o 1.
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76 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
Exemplo 2: O maior nu´mero de dois algarismos e´ o 99, e o menor e´ o 10.
Exemplo 3: O maior nu´mero de tre\u2c6s algarismos e´ o 999, e o menor e´ o 100.
Exemplo 4: O maior nu´mero de quatro algarismos e´ o 9.999, e o menor e´ o
1.000.
Observac¸a\u2dco: De acordo com a proposic¸a\u2dco anterior, se
N = abcd . . . vwxy\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
k algarismos
,
podemos sempre escrever que: 10k\u22121 \u2264 N < 10k
2.6.10 Estimativa da Quantidade de Algarismos de um
Produto
1o Caso: A multiplicac¸a\u2dco possui apenas dois fatores.
Teorema:
Se A e B sa\u2dco dois nu´meros, onde A possua \u3b1 algarismos e B tenha \u3b2
algarismos enta\u2dco o produto tera´, no ma´ximo, \u3b1 + \u3b2 algarismos e, no m\u131´nimo,
\u3b1 + \u3b2\u2212 1 algarismos.
Demonstrac¸a\u2dco:
Se B tiver \u3b2 algarismos, podemos escrever que 10\u3b2\u22121 \u2264 B < 10\u3b2. Multipli-
cando-se essa dupla desigualdade por A, teremos:
A× 10\u3b2\u22121 \u2264 A × B < A× 10\u3b2
Se A tiver \u3b1 algarismos, enta\u2dco:
A× 10\u3b2\u22121, tera´ \u3b1+ \u3b2\u2212 1 algarismos,
A× 10\u3b2, \u3b1+ \u3b2 algarismos, .......... c.q.d.
Observac¸a\u2dco: De 2.4.1, 6a propriedade, sabemos que se A = abc . . . xyz\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1 algs
e
B = 1 000 . . .0\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b2 0\u2019s
, enta\u2dco: A× B = abc . . . xyz\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1 algs
000 . . .0\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b2 algs
Ve\u2c6-se, portanto, que o produto tera´ \u3b1+ \u3b2 algarismos.
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[SEC. 2.6: POTENCIAC¸A\u2dcO 77
2o Caso: A multiplicac¸a\u2dco possui mais de dois fatores.
Teorema:
O produto P gerado por n fatores A, B, C, D, . . . ,W, com \u3b1,\u3b2, \u3b3, \u3b4, . . .,\u3c9
algarismos, respectivamente, tera´, no ma´ximo, \u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4+· · ·+\u3c9 algarismos
e, no m\u131´nimo, [(\u3b1+ \u3b2+ \u3b3 + \u3b4+ · · ·+\u3c9) \u2212 (n\u2212 1)] algarismos.
Demonstrac¸a\u2dco:
1o ) Sabemos que, se B possui \u3b2 algarismos, enta\u2dco, 10\u3b2\u22121 \u2264 B < 10\u3b2.
Multiplicando-se essa dupla desigualdade por A, teremos:
A× 10\u3b2\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1+\u3b2\u22121 algs
\u2264 A× B\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
P1
< A × 10\u3b2\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1+\u3b2 algs
. . . (I)
Conclusa\u2dco: Como P esta´ entre esses dois nu´meros, esse produto tera´, no
ma´ximo \u3b1 + \u3b2 algarismos e, no m\u131´nimo, \u3b1 + \u3b2\u2212 1 algarismos.
Observac¸a\u2dco: \u3b1+ \u3b2\u2212 I = \u3b1 + \u3b2\u2212 (2\u2212 1), onde 2 e´ o nu´mero de fatores.
2o ) Se C possui \u3b3 algarismos, enta\u2dco, 10\u3b3\u22121 \u2264 C < 10\u3b3.
Multiplicando-se essa dupla desigualdade por (I), teremos:
A× 10\u3b2\u22121 × 10\u3b3\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1+\u3b2+\u3b3\u22122 algs
\u2264 A× B× C\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
P3
< A× 10\u3b2 × 10\u3b3\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1+\u3b2+\u3b3 algs
. . . (II)
Conclusa\u2dco: O produto P3 tera´, no ma´ximo, \u3b1+\u3b2+\u3b3 algarismos, e no m\u131´nimo,
\u3b1 + \u3b2+ \u3b3\u2212 2 algarismos.
Observac¸a\u2dco: \u3b1+\u3b2+\u3b3\u22122 = \u3b1+\u3b2+\u3b3\u2212(3\u22121), onde 3 e´ o nu´mero de fatores.
3o ) Se D possui \u3b4 algarismos, enta\u2dco, 10\u3b4\u22121 \u2264 D < 10\u3b4.
Multiplicando-se essa dupla desigualdade por (II), teremos:
A× 10\u3b2\u22121 × 10\u3b3\u22121 × 10\u3b4\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4\u22123 algs
\u2264 A× B ×C×D\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
P4
< A× 10\u3b2 × 10\u3b3 × 10\u3b4\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4 algs
. . . (II)
Conclusa\u2dco: O produto P4 tera´, no ma´ximo, \u3b1 + \u3b2 + \u3b3 + \u3b4 algarismos e, no
m\u131´nimo, \u3b1+ \u3b2+ \u3b3 + \u3b4\u2212 3 algarismos.
Observac¸a\u2dco: \u3b1+ \u3b2+ \u3b3+ \u3b4\u2212 3 = \u3b1+ \u3b2+ \u3b3+ \u3b4\u2212 (4\u2212 1), onde 4 e´ o nu´mero
de fatores.
Para n fatores, chegaremos empiricamente a conclusa\u2dco que, de A ate´ W
teremos:
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78 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
A× 10\u3b2\u22121 × 10\u3b3\u22121 × · · · × 10\u3c9\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
[(\u3b1+\u3b2+\u3b3+···+\u3c9)\u2212(n\u22121)] algs
\u2264 A× B× C× · · · ×W\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
Pn
< A × 10\u3b2 × 10\u3b3 × · · · × 10\u3c9\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
(\u3b1+\u3b2+\u3b3+···+\u3c9) algs
. . . (III)
Ve\u2c6-se que o produto Pn tera´, no ma´ximo \u3b1+\u3b2+ \u3b3+ · · ·+\u3c9, algarismos e,
no m\u131´nimo [(\u3b1+ \u3b2+ \u3b3+ · · ·+\u3c9) \u2212 (n\u2212 1)] algarismos.
Pelo teorema da induc¸a\u2dco matema´tica, temos em (III) que:
1o ) para n = 1, esta hipo´tese na\u2dco existe, porque a multiplicac¸a\u2dco devera´ possuir,
no m\u131´nimo, dois fatores;
2o ) para n = 2\u21d2 A× 10\u3b2\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
[(\u3b1+\u3b2)\u2212(2\u22121)] algs
\u2264 P2 < A× 20\u3b2\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1+\u3b2 algs
Ve\u2c6-se que o produto P2 tera´, no ma´ximo, \u3b1 + \u3b2 algarismos e, no m\u131´nimo,
\u3b1 + \u3b2\u2212 1 algarismos;
3o ) para n = k\u21d2
A× 10\u3b2\u22121 × 10\u3b3\u22121 × 10\u3b4\u22121 × · · · × 10\u3c9\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
[(\u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4+···+\u3c9)\u2212(k\u22121)] algs
\u2264 Pk
< A × 10\u3b2 × 10\u3b3 × 10\u3b4 × · · · × 10\u3c9\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
(\u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4+···+\u3c9) algs
Da´\u131, o produto Pk tera´, no ma´ximo, \u3b1 + \u3b2+ \u3b3 + \u3b4+ · · ·+\u3c9 algarismos e,
no m\u131´nimo, [(\u3b1 + \u3b2+ \u3b3+ \u3b4+ · · ·+\u3c9) \u2212 (k\u2212 1)] algarismos.
4o ) Para n = k + 1\u21d2
A× 10\u3b2\u22121 × 10\u3b3\u22121 × 10\u3b4\u22121 × · · · × 10\u3c9\u22121\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
{[(\u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4+···+\u3c9)\u2212(k+1)\u22121]} algs
\u2264 Pk+1
< A × 10\u3b2 × 10\u3b3 × 10\u3b4 × · · · × 10\u3c9\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
(\u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4+···+\u3c9) algs
Ve\u2c6-se que o produto Pk+1 tera´, no ma´ximo, \u3b1+\u3b2+\u3b3+\u3b4+· · ·+\u3c9 algarismos
e, no m\u131´nimo, [(\u3b1+ \u3b2+ \u3b3 + \u3b4+ · · ·+\u3c9) \u2212 k] algarismos.
Como k = k+ 1\u2212 1\u2192 k = (k + 1) \u2212 1, da´\u131, k = n\u2212 1.
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[SEC. 2.7: RAIZ QUADRADA EXATA E RAIZ CU´BICA EXATA 79
Podemos enta\u2dco afirmar que o produto Pn tera´:\uf8f1\uf8f2\uf8f3no ma´ximo (\u3b1 + \u3b2+ \u3b3+ \u3b4+ · · ·+\u3c9) algarismosno m\u131´nimo [(\u3b1+ \u3b2+ \u3b3 + \u3b4+ · · ·+\u3c9) \u2212 (n\u2212 1)] algarismos . . . c.q.d.
2.6.11 Exerc´\u131cios Propostos
1) Um nu´mero tem p algarismos e outro q algarismos. O produto desses
nu´meros tera´ no ma´ximo .................... algarismos e no m\u131´nimo ...............
algarismos.
2) Supondo A,B,C,D e E nu´meros naturais compostos por 10, 15, 20, 25 e
30 algarismos. Sendo Q a quantidade de algarismos do produto deles,
enta\u2dco pode-se afirmar que:
a) 95 < Q < 100
b) 95 \u2264 Q \u2264 100
c) 95 \u2264 Q < 100
d) 96 < Q \u2264 100
e) Q = 100
Resp: 1) p + q e p+ q\u2212 1; 2) d
2.7 Raiz Quadrada Exata e Raiz Cu´bica Exata
de um Nu´mero Natural N (Noc¸o\u2dces)
2.7.1 Introduc¸a\u2dco
2.7.2 Quadrados perfeitos e cubos perfeitos
a) Quadrado perfeito:
Aomultiplicarmos um nu´mero natural qualquerN por ele mesmo, a pote\u2c6ncia
gerada denomina-se um quadrado perfeito.
0× 0 = 02 = 0
1× 1 = 12 = 1
2× 2 = 22 = 4
3× 3 = 32 = 9
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80 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
4× 4 = 42 = 16
5× 5 = 52 = 25
6× 6 = 62 = 36
7× 7 = 72 = 49
8× 8 = 82 = 64
...
N×N = N2
Assim sendo, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 . . .N2 sa\u2dco ditos quadrados per-
feitos.
b) Cubos perfeitos:
Ao multiplicarmos um nu´mero natural qualquer N por ele mesmo, tre\u2c6s
vezes, a pote\u2c6ncia gerada por cada um deles denomina-se um cubo perfeito.
Exemplos:
0× 0× 0 = 03 = 0
1× 1× 1 = 13 = 1
2× 2× 2 = 23 = 8
3× 3× 3 = 33 = 27
4× 4× 4 = 43 = 64
5× 5× 5 = 53 = 125
6× 6× 6 = 63 = 216
7× 7× 7 = 73 = 343
8× 8× 8 = 83 = 512
9× 9× 9 = 93 = 729
...
N×N×N = N3
Sendo assim, as pote\u2c6ncias 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,. . .N3, sa\u2dco
ditas cubos perfeitos.
2.7.3 Ra´\u131zes Quadradas Exatas e Ra´\u131zes Cu´bicas Exatas
a) Raiz quadrada exata:
Denomina-se raiz quadrada exata de um nu´mero natural N, indica-se por\u221a
N, a um certo nu´mero x, se somente se (s.s.s), x2 for igual a N.
\u221a
N = x, s.s.s, x2 = N.
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[SEC. 2.7: RAIZ QUADRADA EXATA E RAIZ CU´BICA EXATA 81
Observac¸a\u2dco: Os nu´meros quadrados perfeitos possuem ra´\u131zes quadradas exa-
tas.
Exemplos
\u221a
0 = 0, pois, 02 = 0\u221a
1 = 1, pois, 12 = 1\u221a
4 = 2, pois, 22 = 4\u221a
9 = 3, pois, 32 = 9\u221a
16 = 4, pois,