Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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c) 5 30) 5
q) 12 d) 6 31) 142
r) 181 e) 9 32) 817 e 928
2) a) 5 f) 2 33) 16
b) 355 g) 1 34) c
c) 46 8) a) 3 35) 6; 4 e 2
d) 5 b) 2 36) 3
e) 391 c) 5 37) 37 e 48
f) 91 9) 25 38) 150
g) 35 10) 1.980 39) i) 10; ii) 16; iii) 18; iv) 10; v) 14
h) 1 11) b 40) 9
3) a) 20 12) c
b) 229 13) b
c) 108 14) a) 4
d) 306 b) 9
e) 1.306 c) 16
f) 1 d) 16
g) 18 e) 9
h) 29 f) 13
g) 19
h) 18
i) 19
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Cap´\u131tulo 3
Numerac¸a\u2dco Na\u2dco Decimal
3.1 Introduc¸a\u2dco
Para fazermos a contagem dos elementos de um conjunto, precisamos definir
a base. Sabemos que no sistema decimal a contagem e´ de dez em dez unidades,
entretanto, poderemos contar esses elementos da maneira que desejarmos, ou
seja: de dois em dois, de tre\u2c6s em tre\u2c6s ...
3.2 Terminologia das Bases e S´\u131mbolos
Bases S´\u131mbolos
dois (ou bina´ria) 0 e 1
tre\u2c6s (ou terna´ria) 0, 1 e 2
quatro (ou quaterna´ria) 0, 1, 2 e 3
cinco (ou quina´ria) 0, 1, 2, 3 e 4
seis (ou sena´ria) 0, 1, 2, 3, 4 e 5
sete (ou setena´ria) 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6
oito (ou octona´ria ou octaval) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
nove (ou nona´ria) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8
A partir da base onze, ter´\u131amos que gerar novos s´\u131mbolos para indicar-
mos dez unidades, onze unidades, ... , que certamente causaria transtornos,
pois seriam necessa´rios decora´-los, ale´m dos ja´ existentes. Para contornar esse
impasse, convencionaram-se letras latinas (A,B,C . . .) ou gregas (\u3b1,\u3b2, \u3b3 . . .),
onde:
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102 [CAP. 3: NUMERAC¸A\u2dcO NA\u2dcO DECIMAL
\u201cA\u201dou \u201c\u3b1\u201dindicam \u201cdez\u201dunidades.
\u201cB\u201dou \u201c\u3b2\u201dindicam \u201conze\u201dunidades.
\u201cC\u201dou \u201c\u3b3\u201dindicam \u201cdoze\u201dunidades.
Assim sendo, teremos:
Base S´\u131mbolos
onze (undecimal) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e \u201cA\u201dou \u201c\u3b1\u201d
doze (duodecimal) 0, 1, 2, , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \u201cA\u201de \u201cB\u201dou \u201c\u3b2\u201d
· · · · · ·
3.3 Proposic¸a\u2dco
Numa base qualquer, o menor nu´mero de k algarismo(s) e´ igual ao 1 seguido
de \u2018\u2018k\u2212 1" zeros e o maior, e´ constitu´\u131do por k algarismo(s) igual(is) a \u3b2\u2212 1.
Ex.: Na base 7, o menor nu´mero de 4 algarismos e´ igual a 1000, e o maior e´
igual a 6666.
3.4 Princ´\u131pios
3.4.1 Princ´\u131pio da Numerac¸a\u2dco Falada
De acordo com o estudo desenvolvido no cap´\u131tulo 1, esses princ´\u131pios va\u2dco
depender da base considerada.
Base dois
Duas unidades de uma ordem qualquer formam uma unidade de ordem ime-
diatamente superior .
Base tre\u2c6s
Tre\u2c6s unidades de uma ordem qualquer formam uma unidade de ordem ime-
diatamente superior .
Obs.: O enunciado dos princ´\u131pios para outras bases ficara´ por conta do nosso
racioc´\u131nio.
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[SEC. 3.5: REPRESENTAC¸A\u2dcO NAS BASES NA\u2dcO DECIMAIS 103
3.5 Representac¸a\u2dco nas Bases na\u2dco Decimais
Imaginemos que em uma fazenda existam 39 ovelhas, e que uma pessoa
tenha resolvido representa´-las por um numeral na base quatro.
1o ) Representemos inicialmente cada ovelha por um asterisco (*)
2o ) Coloquemos inicialmente os elementos (asteriscos) na 1a ordem
3a ordem 2a ordem 1a ordem
\u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217\u2217
\u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217\u2217
\u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217\u2217
\u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217 \u2217
39
3o ) Fazendo, na 1a ordem, cada conjunto de quatro asteriscos igual a um
tria\u2c6ngulo, teremos na 2a ordem nove tria\u2c6ngulos e sobrara\u2dco tre\u2c6s asteriscos na 1a
ordem, ou seja,
3a ordem 2a ordem 1a ordem
444 \u2217 \u2217 \u2217
444
444
9 3
4o ) Fazendo, na 2a ordem, cada quatro tria\u2c6ngulos igual a um quadrado,
teremos na 3a ordem dois quadrados e sobrara´ um tria\u2c6ngulo na 2a ordem, ou
seja:
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104 [CAP. 3: NUMERAC¸A\u2dcO NA\u2dcO DECIMAL
3a ordem 2a ordem 1a ordem
\ufffd\ufffd 4 \u2217 \u2217 \u2217
2 1 3
Portanto . . . 39 = 213 (base quatro)
3.5.1 Notac¸o\u2dces
Ha´ va´rias formas para representarmos um nu´mero dado N numa base \u3b2.
As principais sa\u2dco:
N\u3b2, (N)\u3b2, N(\u3b2), N
\u3b2
, N\u3b2 ou Nbeta
3.6 Leitura
Le\u2c6-se um nu´mero na\u2dco decimal da esquerda para a direita de acordo com o
nome dos algarismos, seguido do nome da base.
Ex.:
213(4) - Le\u2c6-se: dois, um, tre\u2c6s, base quatro.
3.7 Mudanc¸as de Base
1o Caso: Da base decimal para outra qualquer
Observando o que foi desenvolvido anteriormente, ve\u2c6-se que formar subcon-
juntos com quatro elementos significa dividir o nu´mero inicial de elementos,
39, por 4, bem como os dos subconjuntos obtidos nas outras ordens. Portanto,
atrave´s das diviso\u2dces sucessivas, teremos:
39\u2217 \u2223\u2223 4
3\u2217 94 \u2223\u2223 4
1o resto 1 2\ufffd
\u2223\u2223 4
2o resto 2 0
3o resto
Na pra´tica, tem-se:
39
\u2223\u2223 4
3 9
\u2223\u22234
1 2
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[SEC. 3.7: MUDANC¸AS DE BASE 105
ou seja, 39 = 213(4)
Obs.:
- O 1o resto representa \u2018\u20183" unidades de 1a ordem (na base 4)
- O 2o resto representa \u2018\u20181" unidade de 2a ordem (na base 4)
- O 3o resto representa \u2018\u20182" unidades de 3a ordem (na base 4)
2o Caso: De uma base na\u2dco decimal para a decimal
Seja N = (abc . . . ijk)\u3b2 um nu´mero com n algarismos. Explicitando-o sob
a forma polino\u2c6mica, teremos:
N = a × \u3b2n\u22121 + b × \u3b2n\u22122 + c× \u3b2n\u22123 + · · ·+ i× \u3b22 + j× \u3b21 + k× \u3b20
Ex.: Seja passar o numeral 4213(5) para a base dez.
Resoluc¸a\u2dco:
4213(5) = 4× 53 + 2× 52 + 1× 51 + 3× 50
4213(5) = 4× 125+ 2× 25+ 1× 5+ 3× 1
4213(5) = 500+ 50+ 5+ 3
Resp. 4213(5) = 558
3o Caso: De uma base na\u2dco decimal para outra tambe´m na\u2dco decimal.
1a ) Resoluc¸a\u2dco: Indireta
1o passo: Passa-se para a base dez;
2o passo: Da base dez para a desejada.
Ex.: Transformar o numeral 4213(5) para a setena´ria
Resoluc¸a\u2dco:
1o ) 4213(5) = 558
2o )
558
\u2223\u22237
5 79
\u2223\u22237
2 11
\u2223\u22235
4 1
Resp.: 4213(5) = 1425(7)
4a Resoluc¸a\u2dco: Direta
4213(5)
\u2223\u2223 7 4(5) < 7
enta\u2dco baixa-se a pro´xima ordem, ou seja,
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106 [CAP. 3: NUMERAC¸A\u2dcO NA\u2dcO DECIMAL
42(5)
\u2223\u2223 7
Passa-se, mentalmente, 42(5) para a base 10 e divide-se o resultado por 7,
ou seja:
42(5) = 4× 5+ 2 = 22(10)
\u2223\u2223 7 \u21d2 4213(5) \u2223\u2223 7
1 3 1 3
A seguir, baixa-se a pro´xima ordem, ou seja, o algarismo 1.
4213(5)
\u2223\u2223 7
11(5) 3
Passa-se, mentalmente, 11(5) para a base 10 e divide-se o resultado por 7,
isto e´:
11(5) = 1× 5+ 1 = 6(10)
\u2223\u2223 7 \u21d2 4213(5) \u2223\u22237
6 0 11(5) 30
6(5)
Baixando a pro´xima ordem, tem-se:
4213(5)
\u2223\u2223 7
11(5) 30
63(5)
Passando mentalmente 63(5) para a base 10 e dividindo o resultado por 7,
tem-se:
63(5) = 6× 5+ 3 = 33(10)
\u2223\u2223 7
5 4
A partir daqui, o algoritmo se repete ao dividirmos 304(5) por 7.
Resumidamente, teremos:
4213(5)
\u2223\u22237
11(5) 304(5)
\u2223\u2223 7
63(5) 14(5) 21(5)
\u2223\u2223 7
5 2 4 1
O resultado sera´ obtido colocando-se, apo´s o u´ltimo quociente (1), todos os
outros restos (de baixo para cima), ou seja, 1425(7).
Portanto, 4213(5) = 1425(7).
3.8 Operac¸o\u2dces
As operac¸o\u2dces nas bases na\u2dco decimais sa\u2dco ana´logas a`s das decimais. Devemos,
entretanto, ter em mente que \u3b2 unidades de uma ordem qualquer formam uma
unidade de ordem imediatamente superior.
Vejamos as principais operac¸o\u2dces, ou seja: a adic¸a\u2dco, a subtrac¸a\u2dco, a multi-
plicac¸a\u2dco e a divisa\u2dco.
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[SEC. 3.8: OPERAC¸O\u2dcES 107
1a ) Operac¸a\u2dco: Adic¸a\u2dco
Ex.: Seja efetuar 1011(2) + 110(2)
1a ) Resoluc¸a\u2dco: Indireta
Nessa resoluc¸a\u2dco, basta transformarmos as parcelas para a base dez, obter-
mos a soma da mesma e, por fim, passarmos essa soma para a base dois.
Ex.: 1011(2) + 110(2)
Resoluc¸a\u2dco:
1o )
1011(2) = 1× 23 + 0× 22 + 1× 21 + 1× 20
= 8+ 0+ 2+ 1
= 11
2o )
110(2) = 1× 22 + 1× 21 + 0× 20
= 4+ 2+ 0
= 6
3o )
11+ 6 = 17
4o )
17
\u2223\u2223 2
1 8
\u2223\u2223 2
0 4
\u2223\u2223 2
0 2
\u2223\u2223 2
0 1
Resp.: 10001(2)
2a ) Resoluc¸a\u2dco: Direta
1o passo: Dispo\u2dce-se as parcelas, uma debaixo da outra, de modo que as ordens
coincidam-se, ou seja,
1011(2)
+110(2)
2o passo: Na 1a ordem temos (1+ 0 = 1)
1011(2)
+110(2)
1(2)
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108 [CAP. 3: NUMERAC¸A\u2dcO NA\u2dcO DECIMAL
3o passo: Na 2a ordem, temos (1+1 = 0) e, como