Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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Se N, escrito na base 2, e´ igual a 11000, qual e´, na base 2, o inteiro
imediatamente antes de N?
a) 100001 b) 10010 c) 10011 d) 10110 e) 10111
94) Se o inteiro n, maior que 8, e´ soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco x2\u2212ax+b = 0, e a repre-
sentac¸a\u2dco de a no sistema de numerac¸a\u2dco de base n e´ 18, qual e´ a representac¸a\u2dco
de b na base n?
a) 18 b) 28 c) 80 d) 81 e) 280
95) Se (532)b e´ o qua´druplo de (148)b; b > 1, pode-se afirmar que:
a) 1 \u2264 b \u2264 5 b) 6 \u2264 b \u2264 10 c) 11 \u2264 b \u2264 15 d) 16 \u2264 b \u2264 20 e) 21 \u2264 b
96) Sejam b, c e d, nu´meros inteiros positivos, que representam bases maiores
ou iguais a 2. Determine o menor valor de d, sabendo que xx(b) × xx(c) =
x2x2(d), onde x seja um d´\u131gito admiss´\u131vel nas tre\u2c6s bases.
97) A expressa\u2dco 32, base b, representa o mesmo nu´mero que 21, base c, en-
quanto que a expressa\u2dco 21, base b, representa o mesmo que o nu´mero 13, base
c. Determine b.
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128 [CAP. 3: NUMERAC¸A\u2dcO NA\u2dcO DECIMAL
98) No sistema de base 26 e´ usado letras do alfabeto que sa\u2dco nu´meros:
A = 0, B = 1, C = 2, D = 3, . . . , X = 23, Y = 24, Z = 25.
Nesse sistema, determine: NAVAL+ EPCAR
a) PRXCC b) RXRCC c) RPXBC d) PCRXX e) RPXCC
99) Escreva com s´\u131mbolos romanos, os seguintes nu´meros:
a) 9 g) 900
b) 11 h) 2.001
c) 40 i) 200.000
d) 44 j) 303.303
e) 46 k) 7.000.409
f) 405 l) 654.798.321
100) Escreva em algarismos ara´bicos os nu´meros:
a) VII f) CCIVVI
b) XXXIX g) DDCXXIX
c) XCI h) VIXLXXXI
d) CXLIV i) CMIIIX
e) CCIII
101) Retirando-se o s´\u131mbolo romano .............. do nu´mero MCDXLIV, obte´m-
se o maior nu´mero poss´\u131vel de ser escrito com os algarismos restantes, na mesma
ordem.
102) Retirando a letra \u2018\u2018L" do nu´meroMMCXLVII, de quantas unidades diminui
esse nu´mero?
103) Trocando-se as posic¸o\u2dces das letras \u2018\u2018C" e \u2018\u2018M" no nu´mero CMXLIII, ele
aumenta ou diminui? De quantas dezenas?
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[SEC. 3.12: EXERC´ICIOS PROPOSTOS 129
Respostas
1) a) 100000 2) a) 5
b) 1110 b) 9
c) 11101 c) 2
d) 10010 d) 17
e) 110000 e) 19
f) 11000 f) 34
g) 1000101 g) 25
h) 1001110001 h) 43
i) 100011 i) 36
j) 1001110100 j) 167
k) 11011000000 k) 112
l) 1101 l) 50
m) 11010 m) 400
n) 10000001 n) 994
o) 1011000000 o) 628
p) 1000111 p) 266
q) 100111011 3) a) 53
r) 100110111 b) 156
s) 10000000110 c) 76
t) 11001001 d) 90
u) 11010101 e) 33
v) 1001110111 f) 129
w) 110010001111
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130 [CAP. 3: NUMERAC¸A\u2dcO NA\u2dcO DECIMAL
4) a) 111(6) 29) (8A9B)12
b) 314(6) 30) 17899
c) 5442(6) 31) (43252)6
d) 20(6) 32) (15360)7
e) 2214(6) 33) (462)12
5) a) 30(8) 34) (3245151)7
b) 76(8) 35) (136127)8
c) 36(8) 36) (3AB8)12
d) 1500(8) 37) 81.898
e) 1550(8) 38) 6.643
6) a) 14 39) (7720)8
b) 111 40) (7AB5A)12
c) 55 41) a) (1001000)2
d) 684 b) (110010)2
e) 1677 c) (1001100)2
f) 33 d) (101000)2
g) 174 e) (11111110)2
h) 261 f) (100010100)2
i) 51 g) (1000011)2
7) b h) (1100011000)2
8) d i) (1010010)2
9) b j) (10001)2
10) b k) (110)2
11) a l) (100000)2
12) b m) (10100)2
13) c n) (11010)2
14) b o) (11)2
15) b p) (111)2
16) b q) (100000)2
17) c r) (1000)2
18) d s) (1001011)2
19) c t) (111101)2
20) c u) (10101)2
21) c v) (10110)2
22) b
23) d
24) c
25) c
26) c
27) d
28) a
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[SEC. 3.12: EXERC´ICIOS PROPOSTOS 131
42) a) 101111001 68) 10k\u22121 e 10k \u2212 1
b) 110110101 69) 2.196
c) 1000101110 70) 1.330
d) 1111001100 71) 93
e) 110010001101 72) 112
f) 10010110 73) 530
g) 10000011010 74) a) 11001(2)
h) 100101101101 b) 101010111(2)
i) 100011110001 75) 5
j) 100011110111 76) 3
k) 1001 77) b
l) 1011 78) b
m) 1011110 79) 3030(6)
n) 1100101 80) e
o) 11110 81) 3042(7)
p) 101 82) 13
43) 13713(9) 83) a) 7 b) 4
44) 234542(6) 84) a
45) 14445(6) 85) 5
46) 6A8986(11) 86) e
47) 3875074(11) 87) b
48) 22456252(7) 88) a
49) 205530(9) 89) c
50) 42621(7) 90) e
51) q = 8B35; r = 427 91) b
52) 2747B 92) e
53) 5093 93) e
54) 1 94) c
55) 8 95) c
56) 5 96) 11
57) 6 97) 5
58) 20 98) c
59) 6 99) a) IX
60) 8 b) XI
61) 6 c) XL
62) 11 d) XIX
63) 6 e) XVI
64) 5 f) CDV
65) a) 7 g) CM
b) 11 h) MMI
c) 11 i) CC
d) 7 j) CCCIIICCCIII
66) 180 k) VIICDIX
67) 3 l) DCLIVDCCXCVIIICCCXXI
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132 [CAP. 3: NUMERAC¸A\u2dcO NA\u2dcO DECIMAL
100) a) 7
b) 39
c) 91
d) 44
e) 203
f) 204.006
g) 500.629
h) 6.040.031
i) 903.010
101) C
102) 30
103) Aumenta; 200
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Cap´\u131tulo 4
Teoria dos Nu´meros Primos
em N
4.1 Introduc¸a\u2dco
4.2 Mu´ltiplo de um Nu´mero Natural
E´ cada um dos produtos que se obte´m, multiplicando-se o nu´mero N por
outro natural qualquer .
Representaremos o conjunto dos mu´ltiplos de um nu´mero natural N por:
Mu´lt.N; M(N) ou N\u2d91
Como N = {0, 1, 2, 3, . . .}, teremos para mu´ltiplo de N os nu´meros:
{N × 0, N × 1, N× 2, N× 3, . . . },
isto e´,
N\u2d9 ={0,N, 2N, 3N, . . . }
Ex.: Seja determinar os mu´ltiplos de 3.
3× 0 = 0, 3× 1 = 3, 3× 2 = 6, . . . ,
portanto:
1N\u2d9 - Notac¸a\u2dco devida a K. F. Gauss.
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134 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
3\u2d9 = {0, 3, 6, . . . }
4.3 Mu´ltiplos Comuns
Sa\u2dco nu´meros que pertencem simultaneamente ao conjunto dos mu´ltiplos de
dois ou mais nu´meros dados.
Representaremos o conjunto dos mu´ltiplos comuns de dois ou mais nu´meros
naturais por Mc.
Ex1. Determinar os mu´ltiplos comuns de 3 e 4.
3\u2d9 = {0, 3, 6, 9,12, 15, 18, 21,24, 27, 30, 33,36, 39}
4\u2d9 = {0, 4, 8,12, 16, 20,24, 28, 32,36, 40, 44, . . .}.
Determinando a intersecc¸a\u2dco, teremos:
Mc = {0,12,24,36, . . . }
4.4 Divisores de um Nu´mero Natural
Sa\u2dco nu´meros que dividem exatamente um nu´mero natural dado.
Representaremos o conjunto dos divisores de um nu´mero natural N por D(N).
Ex.: Seja determinar todos os divisores exatos de 20.
O 1 e´ divisor de 20, pois, 20 : 1 = 20\u21d2 resto zero
O 2 e´ divisor de 20, pois, 20 : 2 = 10\u21d2 resto zero
O 4 e´ divisor de 20, pois, 20 : 4 = 5\u21d2 resto zero
O 5 e´ divisor de 20, pois, 20 : 5 = 4\u21d2 resto zero
O 10 e´ divisor de 20, pois, 20 : 10 = 2\u21d2 resto zero
O 20 e´ divisor de 20, pois, 20 : 20 = 1\u21d2 resto zero
Portanto, teremos:
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
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[SEC. 4.5: DIVISORES COMUNS 135
4.5 Divisores Comuns
Sa\u2dco os nu´meros que dividem simultaneamente dois ou mais nu´meros dados.
O conjunto dos divisores comuns de dois ou mais nu´meros naturais sera´ deno-
tado por Dc.
Ex.: Determinar o(s) divisor(es) natural (is) exato(s) comum(ns) dos nu´meros:
a) 3 e 7 b) 5 e 8 c) 30 e 18
a) D(3) = {1; 3} b) D(5) = {1; 5} c) D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
D(7) = {1; 7} D(8) = {1; 2; 4; 8} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Dc = {1} Dc = {1} Dc = {1; 2; 3; 6}
4.6 Nu´mero Primo
E´ todo nu´mero \u201cp\u201d, maior do que 1, que possui apenas dois divisores natu-
rais: 1 e p.
Ex.:
O 2 e´ primo pois, D(2) = {1; 2}
O 3 e´ primo pois, D(3) = {1; 3}
O 4 na\u2dco e´ primo pois, D(4) = {1, 2, 4}
O 5 e´ primo pois, D(5) = {1; 5}
Observac¸o\u2dces:
1a ) O 2 e´ o u´nico nu´mero par que e´ primo.
2a ) A sucessa\u2dco dos nu´meros primos P e´ ilimitada e na\u2dco ha´ \u201cfo´rmula\u201dque os
gere.
Como exemplo podemos citar alguns elementos.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .}.
4.6.1 Reconhecimento de um Nu´mero Primo
Para reconhecermos se um nu´mero maior do que 2 e´ primo, devemos seguir
os seguintes passos:
1o ) dividimos o nu´mero dado N pela sucessa\u2dco de nu´meros primos;
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136 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
N
\u2223\u2223 2 N \u2223\u2223 3 N \u2223\u2223 5
r1 q1 r2 q2 r3 q3
2o ) enquanto o resto for diferente de zero e o quociente maior que o divisor,
nada se pode afirmar e prosseguimos a pesquisa;
3o ) quando o quociente