Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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4.14 Condic¸a\u2dco Geral de Multiplicidade
A condic¸a\u2dco necessa´ria e suficiente para que um nu´mero N seja mu´ltiplo de
outro N \u2032 e´ que N contenha todos os fatores primos de N \u2032 com os expoentes
maiores ou iguais.
Demonstrac¸a\u2dco:
A condic¸a\u2dco e´ necessa´ria porque se N for mu´ltiplo de N \u2032, enta\u2dco N = N \u2032× k,
portanto N possuira´ os fatores de N \u2032 com os mesmos expoentes ou maiores, se
entre os fatores de k houver algum contido em N.
A condic¸a\u2dco e´ suficiente porque se N possuir todos os fatores primos de N \u2032
com os expoentes maiores ou iguais que os de N \u2032, podera\u2dco ser associados e,
enta\u2dco, N sera´ decomposto em uma multiplicac¸a\u2dco de N \u2032 por outro fator.
Ex.: Verificar se:
a) 128 e´ mu´ltiplo de 16.
128 2 16 2
64 2 8 2
32 2 4 2
16 2 2 2
8 2 1
4 2
2 2
1
128 = 27 e 16 = 24
Conclusa\u2dco: 128 e´ mu´ltiplo de 16.
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144 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
b) 64.800 e´ mu´ltiplo de 288
64.800 2 288 2
32.400 2 144 2
16.200 2 72 2
8.100 2 36 2
4.050 2 18 2
2.025 3 9 3
675 3 3 3
225 3 1
75 3
25 5
5 5
1
64800 = 25 × 34 × 52 e 288 = 25 × 32
Conclusa\u2dco: 64.800 e´ mu´ltiplo de 288.
4.15 Propriedades dos Quadrados e dos Cubos
Perfeitos
1a Propriedade: A condic¸a\u2dco necessa´ria e suficiente para que um nu´mero natural
seja quadrado perfeito e´ que o(s) expoente(s) obtido(s) na decomposic¸a\u2dco em
fatores primos do mesmo seja(m) mu´ltiplo(s) de 2 .
Demonstrac¸a\u2dco:
Seja N = a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . um nu´mero natural que foi decomposto em
fatores primos.
Se N e´ um quadrado perfeito, enta\u2dco N2 = (a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . )2
Expelindo-se os pare\u2c6nteses, teremos:
N2 = a2\u3b1 × b2\u3b2 × c2\u3b3 × . . . c. q. d
Exemplos:
1) Verificar se os nu´meros 129.600 e 18.000 sa\u2dco quadrados perfeitos.
a) 129.600
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[SEC. 4.15: PROPRIEDADES DOS QUADRADOS E DOS CUBOS PERFEITOS 145
129.600 2
64.800 2
32.400 2
16.200 2
8.100 2
4.050 2
2.025 3
675 3
225 3
75 3
25 5
5 5
1
129.600= 26 × 34 × 52
Conclusa\u2dco: Como todos os expoentes sa\u2dco mu´ltiplos de 2, o nu´mero dado e´ um
quadrado perfeito.
b) 18.000
18.000 2
9.000 2
4.500 2
2.250 2
1.125 3
375 3
125 5
25 5
5 5
1
18.000= 24 × 32 × 53
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado na\u2dco e´ um quadrado perfeito, pois o expoente do
fator primo 5 e´ um nu´mero \u131´mpar.
2) Determinar o menor nu´mero pelo qual devemos multiplicar 9.000, a fim de
obtermos um quadrado perfeito.
Resoluc¸a\u2dco:
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146 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
9.000 = 23 × 32 × 53
Observe que 9.000 na\u2dco e´ quadrado perfeito e, para torna´-lo, devemos mul-
tiplicar 23 por 2 e, de modo ana´logo, 53 por 5. Ora, multiplicar por 2 e por 5
significa multiplica´-lo por 2× 5. Da´\u131, o menor nu´mero procurado e´ o 10.
2a Propriedade: A condic¸a\u2dco necessa´ria para que um nu´mero natural seja um
cubo perfeito e´ que o(s) expoente (s) obtido(s) na decomposic¸a\u2dco em fatores
primos do mesmo seja(m) mu´ltiplo(s) de 3 .
Demonstrac¸a\u2dco:
Seja N = a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . um nu´mero natural decomposto em fatores
primos.
Se N3 e´ um cubo perfeito, enta\u2dco, N3 = (a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . )3.
Eliminando-se os pare\u2c6nteses, teremos:
N3 = a3\u3b1 × b3\u3b2 × c3\u3b3 × . . . c. q. d
Ex1. Verificar se os nu´meros abaixo sa\u2dco cubos perfeitos os 216.000 e 81.000:
a) 216.000
216.000 2
108.000 2
54.000 2
27.000 2
13.500 2
6.750 2
3.375 3
1.125 3
375 3
125 5
25 5
5 5
1
216.000= 26 × 33 × 53
Conclusa\u2dco: Como todos os expoentes anteriores sa\u2dco mu´ltiplos de 3, o nu´mero
dado e´ um cubo perfeito.
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[SEC. 4.15: PROPRIEDADES DOS QUADRADOS E DOS CUBOS PERFEITOS 147
b) 81.000
81.000 2
40.500 2
20.250 2
10.125 3
3.375 3
1.125 3
375 3
125 5
25 5
5 5
1
81000 = 23 × 34 × 53
Conclusa\u2dco: Como o 4 (expoente do fator primo 3) na\u2dco e´ mu´ltiplo de 3, o nu´mero
dado na\u2dco e´ um cubo perfeito.
Ex2. No exemplo anterior, determinar:
a) o menor nu´mero pelo qual devemos multiplica´-lo, a fim de obtermos um
cubo perfeito;
b) o menor nu´mero pelo qual devemos dividi-lo, a fim de obtermos um cubo
perfeito.
Resoluc¸a\u2dco:
81.000= 23 × 34 × 53
a) Devemos multiplica´-lo por 32, ou seja, por 9.
b) Devemos dividi-lo por 3.
Teorema:
A condic¸a\u2dco necessa´ria para que um nu´mero seja quadrado e cubo perfeito,
simultaneamente, e´ que o(s) expoente(s) obtido(s) na decomposic¸a\u2dco em fatores
primos do mesmo seja(m) mu´ltiplo(s) de 2 e 3 ou seja, mu´ltiplo de 6.
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148 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
Demonstrac¸a\u2dco:
Seja N2 = a2\u3b1 × b2\u3b2 × c2\u3b3 × . . . um quadrado perfeito obtido em certa
decomposic¸a\u2dco. Para torna´-lo um cubo perfeito, teremos que eleva´-lo ao cubo,
logo:
(N2)3 = (a2\u3b1 × b2\u3b2 × c2\u3b3 × . . . )3 ou N6 = a6\u3b1 × b6\u3b2 × c6\u3b3 × . . . c. q. d
Ex1. Verificar se o nu´mero 46.656 e´ um cubo perfeito.
Resoluc¸a\u2dco:
46.656 2
23.328 2
11.664 2
5.832 2
2.916 2
1.458 2
729 3
243 3
81 3
27 3
9 3
3 3
1
46.656= 26 × 36
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado e´ um quadrado e tambe´m um cubo perfeito.
Ex2. Achar o menor nu´mero pelo qual devemos multiplicar 8 × 27 × 625,
a fim de obtermos um produto que seja, simultaneamente, quadrado e cubo
perfeitos?
Resoluc¸a\u2dco:
8× 27× 625 = 23 × 33 × 54
Para obtermos o 6 em cada expoente, devemos multiplicar o segundo mem-
bro por 23 × 33 × 52, ou seja, 8× 27× 25, cujo produto e´ 5.400.
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[SEC. 4.16: DETERMINAC¸A\u2dcO DOS DIVISORES DE UM NATURAL 149
4.16 Determinac¸a\u2dco dos Divisores de um Nu´mero
Natural
4.16.1 1o modo: Por decomposic¸a\u2dco em fatores primos
1o passo: Decompo\u2dce-se N em fatores primos.
N
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
a
a
a
...
b
b
b
...
c
c
c
...
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe \u3b1 fatores\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe \u3b2 fatores\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe \u3b3 fatores
2o passo: Coloca-se uma barra vertical a` direita do(s) fator(es) obtido(s) na
decomposic¸a\u2dco e o 1 a` direita e um pouco acima dessa barra, pois o 1 e´ divisor
de qualquer nu´mero.
1
N a
a
a
...
b
b
b
...
c
c
c
...
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150 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
3o passo: Multiplica-se o primeiro fator primo a por 1 e, sucessivamente, o(s)
fator(es) primo(s) seguinte(s) pelo(s) produto(s) obtido(s) anteriormente, tendo
o cuidado de na\u2dco obter produtos (divisores) anteriormente repetido(s).
1
N a a× 1 = a
a a× a = a2
a a× a2 = a3
...
b b× 1 = b, b × a = b \u2032, b× a2 = b \u2032\u2032
b b× b = b2, b× b \u2032 = ?, b × b \u2032\u2032 = ?, b× b \u2032\u2032\u2032 = ?
b b× b2 = b3, . . .
...
c c× 1, c× a, c× a2, c× a3, . . . , c× b, c × b \u2032, . . .
c
c
...
Ex1. Determinar todos os divisores de 72.
1
72 2 2× 1 = 2
36 2 2× 2 = 4
18 2 2× 4 = 8
9 3 3× 1 = 3, 3× 2 = 6, 3× 4 = 12, 3× 8 = 24
3 3 3× 3 = 9, 3× 6 = 18, 3× 12 = 36, 3× 24 = 72
1 Assim, temos: D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Ex2. Calcular todos os divisores de a\u3b1, supondo a um nu´mero primo e \u3b1 \u2208 N\u2217.
1
a\u3b1 a a
a\u3b1\u22121 a a2
a\u3b1\u22122 a a3
...
...
...
...
... a\u3b1\u22121
a a a\u3b1
1
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[SEC. 4.16: DETERMINAC¸A\u2dcO DOS DIVISORES DE UM NATURAL 151
Ex3. Determinar o nu´mero de divisores naturais de a\u3b1.
D(a\u3b1) = {1, a1, a2, a3, . . . , a\u3b1\u22121, a\u3b1}\u21d2 n.d(a\u3b1) = \u3b1+ 1
4.16.2 2o modo: Atrave´s das pote\u2c6ncias dos fatores pri-
mos
a) Decompo\u2dce-se o nu´mero dadoN em fatores primos, pondo-o na forma cano\u2c6nica,
ou seja:
a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . .
b) Determina-se os divisores de a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . , ou seja:
D(a\u3b1) = {a0, a1, a2, . . .a\u3b1}
D(b\u3b2) = {b0, b1, b1, . . .b\u3b2}
D(c\u3b3) = {c0, c1, c2, . . . c\u3b3}
...
...
c) Multiplicam-se:
1o ) todas as pote\u2c6ncias de a\u3b1 por todas as de b\u3b2;
a0 × b0, a0 × b1, a0 × b2, . . .a0 × b\u3b2, a1 × b0,