Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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a1 × b1, a1 × b2, . . .
a1 × b\u3b2, a2 × b0, a2 × b1, a2 × b2, . . .a\u3b1 × b\u3b2.
2o ) todos os produtos obtidos anteriormente por todas as pote\u2c6ncias de c\u3b3 e,
assim, sucessivamente, ate´ obtermos o u´ltimo (maior) divisor.
Ex.: Determinar todos os divisores de 360.
360 = 23 × 32 × 51;
D(23) = {20, 21, 22, 23} = {1, 2, 4, 8}
D(32) = {30, 31, 32} = {1, 3, 9}
D(51) = {50, 51} = {1; 5}
1× 1 = 1; 1× 3 = 3; 1× 9 = 9; 2× 1 = 2; 2× 3 = 6; 2× 9 = 18; 4× 1 = 4;
4× 3 = 12; 4× 9 = 36; 8× 1 = 8; 8× 3 = 24; 8× 9 = 72.
1× 1 = 1;3× 1 = 3;9× 1 = 9;2× 1 = 2,6× 1 = 6;18× 1 = 18;4× 1 = 4;
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152 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
12×1 = 12;36×1 = 36;8×1 = 8;24×1 = 24;72×1 = 72;1×5 = 5;3×5 = 15;
9×5 = 45;2×5 = 10;6×5 = 30;18×5 = 90;4×5 = 20;12×5 = 60;36×5 =
180;8× 5 = 40;24× 5 = 120;72× 5 = 360.
Em ordem crescente, teremos:
D(360) = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,
90,120,180,360}
4.17 Quantidade de Divisores de um Nu´mero
Natural
Teorema:
A quantidade de divisores de um nu´mero natural N e´ dada pelo produto dos
sucessivos de todos os expoentes de seus fatores primos.
Demonstrac¸a\u2dco:
Sabemos que, se N = a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . , enta\u2dco:
D(a\u3b1) = {a0, a1, a2, . . .a\u3b1}, ou seja, (\u3b1+ 1) divisores;
D(b\u3b2) = {b0, b1, b2, . . .b\u3b2}, ou seja, (\u3b2+ 1) divisores;
D(c\u3b3) = {c0, c1, c2, ...c\u3b3}, ou seja, (\u3b3 + 1) divisores.
Multiplicando-se agora os \u3b1 + 1 divisores da 1a linha pelos \u3b2+ 1 divisores
da segunda e, em seguida, os [(\u3b1+1)×(\u3b2+1)] divisores anteriores pelos (\u3b3+1)
divisores da 3a e, assim, sucessivamente, obteremos a quantidade, QD(N), de
divisores de N, ou seja:
QD(N) = (\u3b1+ 1)× (\u3b2+ 1)× (\u3b3 + 1) × . . . c . q. d
Ex1. Determinar a quantidade de divisores de 360.
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
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[SEC. 4.17: QUANTIDADE DE DIVISORES 153
360 = 23 × 32 × 51
QD(360) = (3+ 1)× (2+ 1)× (1+ 1) = 4× 3× 2 = 24
Obs.: A quantidade de divisores de um nu´mero natural N e´ um nu´mero par,
exceto quando o(s) expoente(s) do(s) fator(es) obtido(s) na decomposic¸a\u2dco em
fatores primos de N for(em) nu´mero(os) par(es).
4.17.1 Determinac¸a\u2dco da Quantidade de Divisores I´mpares
e da Quantidade de Divisores Pares, de um Nu´mero
Natural
Seja N = a\u3b1×b\u3b2×c\u3b3×d\u3b4× . . . a decomposic¸a\u2dco de um nu´mero em fatores
primos, onde o fator a seja igual a 2. A partir desses dados, podemos calcular
esses divisores. Vejamos:
a) Quantidade de Divisores Naturais I´mpares - QDi
De acordo com o que foi visto em 2.6.6 (2a ), sabemos que todas as pote\u2c6ncias
de nu´meros \u131´mpares sa\u2dco nu´meros \u131´mpares, portanto, a quantidade de divisores
\u131´mpares de b\u3b2, c\u3b3, d\u3b4, . . . sera´, \u3b2+ 1, \u3b3 + 1, \u3b4+ 1, . . . respectivamente.
Multiplicando-se entre si \u3b2+ 1, \u3b3+ 1, \u3b4+ 1, . . . teremos:
QDi(N) = (\u3b2+ 1) × (\u3b3 + 1)× (\u3b4+ 1)× . . .
Conclusa\u2dco: Para determinarmos a quantidade de divisores \u131´mpares de um
nu´mero N, basta somarmos 1 ao(s) expoente(s) de cada fator primo \u131´mpar
e calcularmos o produto deles.
b) Quantidade de Divisores Naturais Pares - QDp
Nesse ca´lculo, basta determinarmos a diferenc¸a entre a QD(N), quantidade
de divisores de N, e a quantidade de divisores \u131´mpares, QDi(N), de N, ou seja:
QDp(N) = QD(N) \u2212QDi(N)
QDp(N) = (\u3b1+1)× (\u3b2+1)× (\u3b3+1)×· · ·\u2212[(\u3b2+1)× (\u3b3+1)× (\u3b4+1)× . . .]
QDp(N) = (\u3b2+ 1)× (\u3b3+ 1)× (\u3b4 + 1)× · · · × [(\u3b1+ 1) \u2212 1]
QDp(N) = \u3b1× (\u3b2+ 1)× (\u3b3+ 1)× (\u3b4+ 1)× . . .
Conclusa\u2dco: Para determinarmos a quantidade de divisores pares, basta multi-
plicarmos o expoente do fator primo par pelo nu´mero de divisores \u131´mpares.
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154 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
Ex.: Sendo N = 360, determinar:
a) a quantidade de divisores \u131´mpares QDi(360)
b) a quantidade de divisores pares QDp(360)
Resoluc¸a\u2dco:
360 = 23 × 32 × 51
a) QDi(360) = (2+ 1)× (1+ 1) = 3× 2 = 6
b) QDp(360) = 3× (2+ 1)× (1+ 1) = 3× 3× 2 = 18
4.18 Produto dos Divisores de um Nu´mero
Natural
Teorema:
O produto dos divisores de um nu´mero natural N e´ dado pela raiz quadrada
do nu´mero N, elevado ao nu´mero de divisores de N.
Demonstrac¸a\u2dco:
Seja N = a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . a decomposic¸a\u2dco de um nu´mero natural N em
fatores primos.
Analisemos inicialmente a multiplicac¸a\u2dco envolvendo os divisores de a\u3b1.
PD(a\u3b1) = 1× a1 × a2 × · · · × a\u3b1\u22122 × a\u3b1\u22121 × a\u3b1 . . . (I) ou ainda
PD(a\u3b1) = a
\u3b1 × a\u3b1\u22121 × a\u3b1\u22122 × · · · × a2 × a1 × 1 . . . (II)
Multiplicando (I) por (II), teremos:
[PD(a\u3b1) × PD(a\u3b1)] =
(1× a\u3b1)× (a1 × a\u3b1\u22121)× (a2 × a\u3b1\u22122) × · · · × (a\u3b1\u22121 × a1)× (a\u3b1 × 1)
[PD(a\u3b1)]
2 = a\u3b1 × a\u3b1 × · · · × a\u3b1 × a\u3b1\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
(a+1) fatores
[PD(a\u3b1)]
2 = (a\u3b1)\u3b1+1 ou
extraindo-se a raiz quadrada dos dois membros, teremos:
PD(a\u3b1) =
\u221a
(a\u3b1)\u3b1+1 ou ainda,
PD(a\u3b1) =
(\u221a
a\u3b1
)\u3b1+1
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[SEC. 4.18: PRODUTO DOS DIVISORES 155
Sabemos que:
D(a\u3b1) = {1, a, a2, . . .a\u3b1}....................(\u3b1+ 1) divisores . . . (I)
D(b\u3b2) = {1, b, b2, . . .b\u3b2}.....................(\u3b2+ 1) divisores . . . (II)
D(c\u3b3) = {1, c, c2, . . . c\u3b3}......................(\u3b3+ 1) divisores . . . (III)
Multiplicando-se inicialmente todos os divisores de a\u3b1 por todos os de b\u3b2,
teremos:
(1× 1), (1× b), (1× b2), . . . (1× b\u3b2); (a× 1), (a× b), (a× b2), . . . (a× b\u3b2);
(a2×1), (a2×b), (a2×b2), . . . (a2×b\u3b2); . . . (a\u3b1×1), (a\u3b1×b), (a\u3b1×b2), . . .
(a\u3b1 × b\u3b2) ou ainda,
(1×b×b2×· · ·×b\u3b2)×(1×a×a2×· · ·×a\u3b1)×(1×b×b2×· · ·×b\u3b2)×· · ·×
(1× a× a2 × · · · × a\u3b1)× (1× b× b2 × · · · × b\u3b2)× (1× a× a2 × · · ·× a\u3b1).
Obs.: A multiplicac¸a\u2dco (1 × b × b2 × · · · × b\u3b1) se repetiu anteriormente como
fator \u3b1+ 1 vezes e a outra, ou seja, (1× a × a2 × · · · × a\u3b1), \u3b2+ 1 vezes.
Como 1×b1×b2×· · ·×b\u3b2 =
[\u221a
b\u3b2
]\u3b2+1
e 1×a1×a2×· · ·×a\u3b1 = [\u221aa\u3b1]\u3b1+1
podemos escrever:
PD(a\u3b1×b\u3b2) =
[\u221a
b\u3b2
]\u3b2+1
×
[\u221a
b\u3b2
]\u3b2+1
× · · · ×
[\u221a
b\u3b2
]
\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
(\u3b1+1) fatores
\u3b2+1×
[\u221a
a\u3b1
]\u3b1+1
×
[\u221a
a\u3b1
]\u3b1+1
× · · · ×
[\u221a
a\u3b1
]
\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
(\u3b2+1) fatores
\u3b1+1
PD(a\u3b1×b\u3b2) =
[(\u221a
b\u3b2
)\u3b2+1]\u3b1+1
×
[(\u221a
a\u3b1
)\u3b1+1]\u3b2+1
ou
PD(a\u3b1×b\u3b2) =
[(\u221a
b\u3b2
)(\u3b1+1)×(\u3b2+1)]
×
[(\u221a
a\u3b1
)(\u3b1+1)×(\u3b2+1)]
ou ainda
PD(a\u3b1×b\u3b2) =
(\u221a
a\u3b1 × b\u3b2
)(\u3b1+1)×(\u3b2+1)
Estendendo esse racioc´\u131nio para a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . , inferiremos que:
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156 [CAP. 4: TEORIA DOS NU´MEROS PRIMOS EM N
PD(a\u3b1×b\u3b2×c\u3b3×... ) =
(\u221a
a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . .
)(\u3b1+1)×(\u3b2+1)×(\u3b3+1)×...
Substituindo (\u3b1 + 1)× (\u3b2+ 1)× (\u3b3 + 1) × . . . por QD(N) teremos:
PD(N) =
(\u221a
N
)QD(N)
. . . c. q. d
Ex1. Determinar o produto de todos os divisores de 8.
8 = 23 \u21d2 QD(8) = 3+ 1 = 4
PD(8) = (
\u221a
8)4 = 82 = 64
Ex2. Determinar o produto de todos os divisores de 72.
72 = 23 × 32 \u21d2 QD(72) = (3+ 1)× (2+ 1) = 12
PD(72) = (
\u221a
72)12 = 726 = 141.314.069.504
4.19 Soma dos Divisores de um Nu´mero
Natural
Seja N = a\u3b1 × b\u3b2 × c\u3b3 × . . . a decomposic¸a\u2dco de um nu´mero natural N em
fatores primos, e SD(a\u3b1) = 1+ a1 + a2 + · · ·+ a\u3b1\u22121 + a\u3b1, a soma de todos os
divisores de a\u3b1.
Multiplicando-se por a os dois membros da igualdade anterior, teremos:
a× SD(a\u3b1) = a1 + a2 + a3 + · · ·+ a\u3b1 + a\u3b1+1
Somando-se 1 aos dois membros, teremos:
a× SD(a\u3b1) + 1 = 1+ a1 + a2 + a3 + · · ·+ a\u3b1 + a\u3b1+1 ou
a× SD(a\u3b1) = SD(a\u3b1) + a\u3b1+1 \u2212 1
a× SD(a\u3b1) \u2212 SD(a\u3b1) = a\u3b1+1 \u2212 1, enta\u2dco,
SD(a\u3b1) × (a\u2212 1) = a\u3b1+1 \u2212 1, donde:
SD(a\u3b1) =
a\u3b1+1 \u2212 1
a\u2212 1
Multiplicando-se a soma de todos os divisores de a\u3b1 por todos os de b\u3b2, em
seguida, o produto obtido por todos os divisores de c\u3b3, e assim sucessivamente,
teremos:
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[SEC. 4.19: SOMA DOS DIVISORES 157
[(1+a1+a2+· · ·+a\u3b1)×(1+b1+b2+· · ·+b\u3b2)]×(1+c1+c2+· · ·+c\u3b3)×. . .
Como,
1+ a1 + a2 + · · ·+ a\u3b1 = a
\u3b1+1 \u2212 1
a \u2212 1
\u2192 1+ b1 + b2 + · · ·+ b\u3b2 = b\u3b2+1 \u2212 1
b \u2212 1
,
1+ c1 + c2 + · · ·+ c\u3b3 = c
\u3b3+1 \u2212 1
c \u2212 1
, . . .
conclui-se que:
SD(N) =
a\u3b1+1 \u2212 1
a \u2212 1
× b
\u3b2+1 \u2212 1
b\u2212 1
× c
\u3b3+1 \u2212 1
c \u2212 1
× . . . c.q.d.
Obs.: Se, N = a × b