Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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duzentos ducente´simo (200o )
trezentos tricente´simo (300o )
quatrocentos ... quadringente´simo (400o )
quinhentos ... qu¨ingente´simo (500o )
seiscentos ... sexcente´simo (600o )
setecentos ... setingente´simo (700o )
oitocentos ... octingente´simo (800o )
novecentos ... noningente´simo ou nongente´simo (900o )
mil mile´simo ou primeiro mile´simo (1.000o )
dez mil de´cimo mile´simo (10.000o )
cem mil cente´simo mile´simo (100.000o )
um milha\u2dco primeiro milione´simo (1.000.000o )
um bilha\u2dco primeiro bilhone´simo (1.000.000.000o )
Obs: O ordinal de \u201cB\u201de´ o bee´simo , o ordinal de \u201cN\u201de´ o ene´simo, e assim
por diante.
1.12.7 Valores Posicionais dos Algarismos
Existem dois valores posicionais para os algarismos:
o valor absoluto e o valor relativo
.
a) Valor Absoluto (V. A) - E´ o nu´mero de unidades simples desse algarismo,
que independe de sua posic¸a\u2dco (ordem) em um nu´mero dado.
Ex.: No nu´mero 2.543, temos:
V.A(2) = 2; V.A(5) = 5; V.A(4) = 4; V.A(3) = 3
b) Valor Relativo (V.R) - E´ o nu´mero de unidades simples, de dezenas, de
centenas, . . . de um algarismo qualquer, que vai depender portanto de sua
posic¸a\u2dco (ordem) em um nu´mero dado.
Ex.: No nu´mero 2.543, temos:
V. R (2) = 2.000 (duas unidades de 4a ordem)
V. R (5) = 500 (cinco unidades de 3a ordem)
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[SEC. 1.12: NUMERAC¸A\u2dcO DECIMAL 13
V. R (4) = 40 (quatro unidades de 2a ordem)
V. R (3) = 3 (tre\u2c6s unidades de 1a ordem)
1.12.8 Propriedades
1a De um nu´mero natural \u3b1 ate´ um outro natural \u3c9 existem, sucessiva-
mente, [(\u3c9 \u2212 \u3b1) + 1] nu´meros.
2a Em uma centena de nu´meros naturais sucessivos, qualquer algarismo se
repete 20 vezes6, nas 1a e 2a ordens.
3a Em um milhar de nu´meros naturais sucessivos, qualquer algarismo se
repete 300 vezes7, nas 1a , 2a e 3a ordens.
4a De 1 ate´ 10n (exclusive), qualquer algarismo significativo se repete n ×
10n\u22121 vezes8, nas 1a , 2a , 3a , . . .n-e´sima ordens.
5a De 0 ate´ 10n , exclusive, o algarismo 0 se repete n× 10n\u22121 \u2212 10 vezes4,
nas 1a , 2a , 3a , . . .n-e´sima ordens.
1.12.9 Quantidade (Q) de algarismos, na sucessa\u2dco dos
nu´meros naturais, de 1 ate´ N
Para efeito de demonstrac¸a\u2dco consideremos de 0 ate´ a, de 00 ate´ ab, de 000
ate´ abc . . .
1o ) De 1 ate´ a, teremos:
0
1
2
...
a
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
Q = [(a\u2212 0) + 1] \u2212 1\ufe38\ufe37\ufe37\ufe38
zero
ou Q = a algarismos
6O zero so´ comec¸a a se repetir 20 vezes, nas 1a e 2a ordens, em todas as centenas sucessivas
a partir de 10.
7O zero so´ comec¸a a se repetir 300 vezes, nas 1a , 2a e 3a ordens, em todas as centenas
sucessivas a partir de 10 e assim, por diante.
8O zero so´ comec¸a a se repetir n× 10n\u22121 vezes, nas 1a ,2a , 3a ,. . . , na ordens, em todas
as unidades, dezenas, centenas sucessivas . . . a partir de 10 e assim, por diante.
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14 [CAP. 1: NUMERAC¸A\u2dcO
2o ) De 1 ate´ ab, teremos:
00
01
02
.
..
09
10
11
.
..
ab
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
Q = [(ab \u2212 00) + 1]× 2 \u2212 (1 + 10)\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
11 zeros
ou Q = [(ab + 1)× 2 \u2212 11] algarismos
3o ) De 1 ate´ abc, teremos:
000
001
002
.
..
009
010
011
.
..
abc
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
Q = [(abc \u2212 000) + 1]× 3 \u2212 (1 + 10 + 100)\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
111 zeros
ou
Q = [(abc + 1)× 3 \u2212 111] algarismos
4o ) De 1 ate´ abcd, teremos:
0000
0001
0002
.
..
0009
0010
0011
.
..
0099
0100
0101
.
..
0999
1000
1001
.
..
abcd
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
Q = [(abcd \u2212 0000) + 1]× 4 \u2212 (1 + 10 + 100+ 1.000)\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
1.111 zeros
ou
Q = [(abcd + 1)× 4 \u2212 1.111] algarismos
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[SEC. 1.12: NUMERAC¸A\u2dcO DECIMAL 15
Generalizando para N = abc . . .w\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1 algs
, chegaremos a conclusa\u2dco que:
Q = (N + 1)× \u3b1 \u2212 (111 . . . 1)\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1 1\u2019s
Ex1.: Calcular a quantidade algarismos que existem na sucessa\u2dco dos nu´meros
naturais, de 1 ate´ 432.
Resoluc¸a\u2dco:
Se N = 432\u21d2 \u3b1 = 3\u2192 Q = (432+ 1)× 3\u2212 111 \u2234 Q = 1.188 algarismos
Verificac¸a\u2dco:
De 1 ate´ 9\u21d2 9 nu´meros ou 9 algarismos
De 10 ate´ 99\u21d2 90 nu´meros ou 180 algarismos
De 100 ate´ 432\u21d2 333 nu´meros ou 999 algarismos
Total: 9+ 180+ 999 = 1.188 algarismos
1.12.10 Lei de Formac¸a\u2dco da Quantidade de Algarismos
De 1 ate´ 9\u21d2 Q = (9+ 1)× 1\u2212 1 \u2234 Q = 9 algs
De 1 ate´ 99\u21d2 Q = (99+ 1)× 2\u2212 11 \u2234 Q = 189 algs
De 1 ate´ 999\u21d2 Q = (999+ 1)× 3\u2212 111 \u2234 Q = 2.889 algs
De 1 ate´ 9.999\u21d2 Q = (9.999+ 1)× 4\u2212 1111 \u2234 Q = 38.889 algs
...
Consequ¨entemente, de 1 ate´ 999 . . .9\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1 algs
, teremos: Q =\u201c\u3b1\u2212 1\u201d 888 . . .8\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1\u22121 8\u2019s
9.
Observac¸o\u2dces:9.
Se 1 \u2264 Q \u2264 9\u21d2 N = a \u2234 \u3b1 = 1
9Os sinais > e < apareceram pela 1a vez em Londres, 1.631, na obra Artis Analyticae
Pra´xis, de Thomaz Harriot(1.560\u20131.621), enquanto os sinais \u2265 e \u2264 devemo-los a Pierre
Bouguer(1.698\u20131.758)
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16 [CAP. 1: NUMERAC¸A\u2dcO
Se 9 < Q \u2264 189\u21d2 N = ab \u2234 \u3b1 = 2
Se 189 < Q \u2264 2.889\u21d2 N = abc \u2234 \u3b1 = 3
Se 2.889 \u2264 Q < 38.889\u21d2 N = abcd \u2234 \u3b1 = 4
...
Cuidado! A quantidade de algarismos nos intervalos 9 < Q \u2264 189, 189 < Q \u2264
2.889, . . . podera´ gerar um nu´mero que na\u2dco tenha todas as ordens (v. exerc.
resolv. n o 6) .
1.12.11 Ca´lculo Simplificado de Q em Func¸a\u2dco de N, e
vice-versa
Vimos que: Q = (N + 1) × \u3b1 \u2212 (111 . . .1)\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
\u3b1 1\u2019s
algarismos
Se \u3b1 = 1\u2192 Q = N ou N = Q
Se \u3b1 = 2\u2192 Q = 2N\u2212 9 ou N = Q + 9
2
Se \u3b1 = 3\u2192 Q = 3N\u2212 108 ou N = Q + 108
3
Se \u3b1 = 4\u2192 Q = 4N\u2212 1.107 ou N = Q+ 1.107
4
...
Observe uma \u201clei\u201dregendo o numerador: 9, 108, 1.107, 11.106, 111.105, . . .
1.13 Exerc´\u131cios Resolvidos
1) Calcular a quantidade de nu´meros naturais sucessivos que existem, de 7
ate´ 18.
Resoluc¸a\u2dco:
De acordo com a 1a propriedade, podemos facilmente ver que:
[(18\u2212 7) + 1] = 12 nu´meros.
2) Escolher um algarismo significativo, qualquer, e verificar que de 0 ate´
10n (exclusive) ele aparece n× 10n\u22121 vezes, nas 1a , 2a , 3a ,. . .n-e´simas
ordens.
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[SEC. 1.13: EXERC´ICIOS RESOLVIDOS 17
Resoluc¸a\u2dco:
Seja, para efeito de demonstrac¸a\u2dco, o algarismo 7.
1o ) De 0 ate´ 10 (exclusive) o 7 aparece uma u´nica vez, quando escrevemos
o pro´prio 7.
2o ) De 0 ate´ 100 (exclusive) deveremos analisa´-lo nas, 1a e 2a ordens.
Na ordem das unidades u o 7 aparece nos nu´meros:
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 e 97
ou seja, 10 vezes;
Na ordem das dezenas d, ve\u2c6-se que o 7 aparece de 70 ate´ 79, isto e´,
[(79\u2212 70) + 1] = 10 vezes
Total: 10(u) + 10(d) = 20 vezes
3o ) De 1 ate´ 1.000 (exclusive)
1 milhar\u21d4 10 centenas (c);
Se em cada centena o 7 aparece 20 vezes, enta\u2dco em 10 centenas aparecera´
10× 20 vezes, ou seja, 200 vezes (unidades + dezenas);
O 7 aparece na ordem das centenas, de 700 ate´ 799, ou seja:
[(799\u2212 700) + 1] = 100 vezes.
Total: 200(u;d) + 100(c) = 300 vezes.
Conclusa\u2dco:
De 0 ate´ 101 (exclusive) \u21d2 1 vez; 1 = 1× 100;
De 0 ate´ 102 (exclusive) \u21d2 20 vezes = 2× 101 vezes;
De 0 ate´ 103 (exclusive) \u21d2 300 vezes = 3× 102 vezes;
...
...
De 0 ate´ 10n (exclusive) \u21d2 n× 10n\u22121 vezes
3) Determinar o nu´mero de algarismos que existem na sucessa\u2dco dos nu´meros
naturais, de 1 ate´ 4.321.
Resoluc¸a\u2dco:
Se N = 4.321\u2192 \u3b1 = 4 \u2234 Q = 4× 4.321\u2212 1.107 ou Q = 16.177
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18 [CAP. 1: NUMERAC¸A\u2dcO
4) Calcular o nu´mero de vezes o algarismo 7 aparece na sucessa\u2dco dos nu´meros
naturais, de 0 ate´ 10.000, exclusive.
Resoluc¸a\u2dco:
Sabemos que 10.000 = 104 \u21d2 n = 4
Se, de 0 ate´ 10n (exclusive) \u21d2 n× 10n\u22121, enta\u2dco, de 1 ate´ 104 teremos:
4× 104\u22121 = 4.000 vezes.
5) Determinar o u´ltimo nu´mero N escrito na sucessa\u2dco dos nu´meros naturais,
sabendo que de 1 ate´ N foram escritos 3.829 algarismos.
Resoluc¸a\u2dco:
Se Q = 3.829, enta\u2dco,
2.889 < 3.829