Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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Pr
Dividindo-se os dois membros por d e aplicando o T.F.D, teremos:
P \u2261 Pr (mod. d) . . . c. q. d.
5.3.3 Teorema
Dividindo-se n nu´meros iguais A,A,A, . . . pelo mesmo divisor d, a pote\u2c6ncia
gerada por An e a gerada por rn, onde r seja o resto da divisa\u2dco do fator A por
d, sera\u2dco congruentes em relac¸a\u2dco a esse divisor .
An \u2261 rn (mod. d)
Obs.: A demonstrac¸a\u2dco deste teorema e´ ana´loga ao do anterior.
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192 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE
5.4 Crite´rios de Divisibilidade
Sa\u2dco regras que nos permitem, sem efetuar a divisa\u2dco, saber se um dado
nu´mero e´, ou na\u2dco, divis´\u131vel por outro.
Veremos tambe´m que, a partir da determinac¸a\u2dco dos restos, poderemos ve-
rificar tais crite´rios.
5.4.1 Principais Crite´rios
a) Divisibilidade por 10p; 2p ou 5p
a.1) Teorema.
Um nu´mero sera´ divis´\u131vel por 10p, 2p ou 5p, quando os p u´ltimos algarismos
da direita formarem um nu´mero divis´\u131vel por 10p, 2p ou 5p.
Demonstrac¸a\u2dco:
Seja N = abc . . . stu um nu´mero composto por m algarismos.
Analisemos agora N com 1, 2, 3, . . .p algarismos, em uma adic¸a\u2dco da forma:
N = 10m\u22121 × a + (bc . . . stu)
1o ) N com um algarismo, isto e´, N = a\u21d2 N = 101\u22121 × a
2o ) N com dois algarismos, isto e´, N = ab \u21d2 N = 102\u22121 × a+ b ou
N = 1\u2d90× a+ b
3o ) N com tre\u2c6s algarismos, isto e´, N = abc\u21d2 N = 103\u22121 × a + bc ou
N = 1\u2d90× a+ bc
...
Para N = abc . . . stu\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m algs
\u21d2 N = [1\u2d90]m\u22121 × a+ bc . . . stu\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m\u22121 algs
. . . (I)
Como 10 = 2× 5\u21d2 10 = 2\u2d9 e 10 = 5\u2d9, deduz-se que
[1\u2d90]m\u22121 = [2\u2d9]m\u22121 e [1\u2d90]m\u22121 = [5\u2d9]m\u22121, enta\u2dco, podemos escrever que:
N = [2\u2d9]m\u22121 × a+ bc . . . stu\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m\u22121 algs
. . . (II) ou
N = [5\u2d9]m\u22121 × a+ bc . . . stu\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
m\u22121 algs
. . . (III).
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[SEC. 5.4: CRITE´RIOS DE DIVISIBILIDADE 193
Aplicando o T.F.D, teremos:
N \u2261 bcd . . . stu (mod. 2p; 5p; 10p)
a.2) Corola´rio.
O resto da divisa\u2dco de um nu´mero por 2p, 5p ou 10p e´ o mesmo que o resto
da divisa\u2dco do u´ltimo algarismo da direita ou dos p u´ltimos da direita por 2p,
5p ou 10p.
A partir desse corola´rio, pode-se concluir que:
Um nu´mero sera´ divis´\u131vel por 21 ou por 51, isto e´, por 2 ou por 5, quando
o u´ltimo algarismo da direita for um nu´mero divis´\u131vel por 2 ou por 5;
Um nu´mero sera´ divis´\u131vel por 22 ou por 52, isto e´, por 4 ou por 25, quando
os dois u´ltimos algarismos da direita formarem um nu´mero divis´\u131vel por 4 ou
por 25;
Um nu´mero sera´ divis´\u131vel por 23 ou por 53, isto e´, por 8 ou por 125, quando
os tre\u2c6s u´ltimos algarismos da direita formarem um nu´mero divis´\u131vel por 8 ou
por 125,. . . e assim por diante;
Um nu´mero sera´ divis´\u131vel por 101, 102, 103, . . . , quando terminar em um
zero, dois zeros, tre\u2c6s zeros,. . .
Ex1. Verificar se o nu´mero 1.758.960.148 e´ divis´\u131vel por 2, por 4 e por 8. Caso
na\u2dco seja, determinar o respectivo resto.
1o ) por 2
8
\u2223\u2223 2
0 4
2o ) por 4
48
\u2223\u2223 4
0 12
3o ) por 8
148
\u2223\u22238
4 18
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado e´ divis´\u131vel por 2, e´ divis´\u131vel por 4, mas na\u2dco e´
divis´\u131vel por 8 e, nessa divisa\u2dco, o resto e´ igual a 4.
Ex2.: Verificar se o nu´mero 1.234.563.150 e´ divis´\u131vel por 5, por 25 e por 125.
Caso na\u2dco seja, determinar o respectivo resto.
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194 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE
1o ) Por 5
0
\u2223\u2223 5
0 0
2o ) Por 25
50
\u2223\u2223 25
0 2
3o ) Por 125
150
\u2223\u2223 125
25 1
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado e´ divis´\u131vel por 5, e´ divis´\u131vel por 25, mas na\u2dco e´
divis´\u131vel por 125, divisa\u2dco pela qual o resto e´, como vimos, igual a 25.
Ex3.: Verificar se o nu´mero 458.791.200 e´ divis´\u131vel por 10, por 100 e por 1.000.
Caso na\u2dco seja, determinar o respectivo resto.
1o ) Por 10
O nu´mero dado e´ divis´\u131vel por 10, pois o u´ltimo algarismo da direita e´ o
zero.
2o ) Por 100
O nu´mero dado e´ divis´\u131vel por 100, pois os dois u´ltimos algarismos da direita
sa\u2dco iguais a` zero.
3o ) Por 1.000
1.200
\u2223\u2223 1.000
200 1
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado na\u2dco e´ divis´\u131vel por 1.000, e o resto e´ igual a 200.
b) Divisibilidade por 9 ou por 3
b.1) Teorema
Um nu´mero sera´ divis´\u131vel por 9 ou por 3, quando a soma de seus algarismos
for um nu´mero divis´\u131vel por 9 ou por 3.
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[SEC. 5.4: CRITE´RIOS DE DIVISIBILIDADE 195
Demonstrac¸a\u2dco:
1a ) Sabemos que:
101 = 10 = 9+ 1\u21d2 101 = 9\u2d9+ 1
102 = 100 = 99+ 1\u21d2 102 = 9\u2d9+ 1
103 = 1.000 = 999+ 1\u21d2 103 = 9\u2d9+ 1
...
10n = 1 00 . . .0\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
n zeros
\u21d2 10n = 9\u2d9+ 1
Vemos que qualquer pote\u2c6ncia de 10 e´ igual a um mu´ltiplo de 9 mais 1.
2o ) Seja N = abc . . . stu, um nu´mero com n algarismos.
Explicitando-o sob forma polino\u2c6mica, teremos:
N = a× 10n\u22121+ b× 10n\u22122 + c× 10n\u22123+ · · ·+ s× 102 + t× 101+ u× 100
ou
N = a× (9\u2d9+ 1)+b× (9\u2d9+ 1)+ c× (9\u2d9+ 1)+ · · ·+ s× (9\u2d9+ 1)+ t× (9\u2d9+ 1)+u
3o ) Desenvolvendo e ordenando convenientemente, teremos:
N = a× 9\u2d9+ b × 9\u2d9+ c× 9\u2d9+ · · ·+ s× 9\u2d9+ t× 9\u2d9\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
mu´lts. de 9
+a+ b + c + · · ·+ s+ t + u\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
S algs
N = . . . 9\u2d9+ (a + b+ c+ · · ·+ s+ t + u)
Dividindo os dois membros por 9 e aplicando o T.F.D, teremos:
N \u2261 [a+ b + c + · · ·+ s+ t + u](mod. 9)
Obs.: Como todo mu´ltiplo de 9 tambe´m e´ mu´ltiplo de 3, poderemos escrever:
N \u2261 [a+ b + c + · · ·+ s+ t + u](mod. 9; 3)
b.1.1) Corola´rio
O resto da divisa\u2dco de um nu´mero por 9 ou por 3 e´ o mesmo que o resto da
soma dos algarismos desse nu´mero por 9 ou por 3.
Ex.: Verificar se o nu´mero 12.003.100.512 e´ divis´\u131vel por 3 e, em seguida, por
9.
Salgs = 1+ 2+ 0+ 0+ 3+ 1+ 0+ 0+ 5+ 1+ 2 = 15
1o ) Por 3
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196 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE
15
\u2223\u2223 3
0 5
2o ) Por 9
15
\u2223\u2223 9
6 1
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado e´ divis´\u131vel por 3, mas na\u2dco e´ divis´\u131vel por 9.
c) Divisibilidade por 6
c.1) Teorema
Um nu´mero sera´ divis´\u131vel por 6 quando a soma do algarismo das unidades
com o qua´druplo da soma dos algarismos anteriores, for um nu´mero divis´\u131vel
por 6.
Demonstrac¸a\u2dco:
1o ) Sabemos que:
101 = 10 = 6+ 4\u21d2 101 = 6\u2d9+ 4
102 = 100 = 96+ 4\u21d2 102 = 6\u2d9+ 4
103 = 1.000 = 996+ 4\u21d2 103 = 6\u2d9+ 4
...
...
...
10n = 1 00 . . .0\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
n zero(s)
\u21d2 10n = 6\u2d9+ 4
Vemos que qualquer pote\u2c6ncia de 10 pode ser expressa como mu´ltiplo de 6
mais 4.
2o ) Seja N = abc . . . stu um nu´mero com n algarismos. Explicitando-o sob
forma polino\u2c6mica, teremos:
N = a× 10n\u22121 +b× 10n\u22122+ c× 10n\u22123+ · · ·+ s× 102+ t× 101+u× 100.
ou
N = a× (6\u2d9+ 4)+b× (6\u2d9+ 4)+ c× (6\u2d9+ 4)+ · · ·+ s× (6\u2d9+ 4)+ t× (6\u2d9+ 4)+u
3o ) Desenvolvendo e ordenando a expressa\u2dco anterior, teremos:
N = a×6+b× 6\u2d9+c× 6\u2d9+ · · ·+s× 6\u2d9+t× 6\u2d9+(4a+4b+4c+ · · ·+4s+4t)+u
N = 6\u2d9+ 4× (a+ b+ c+ · · ·+ s + t) + u
Dividindo-se os dois membros por 6 e, aplicando o teorema fundamental da
divisibilidade, teremos:
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[SEC. 5.5: TEOREMA 197
N \u2261 [u+ 4× (a + b + c + · · ·+ s+ t](mod. 6)
c.1.2) Corola´rio
O resto da divisa\u2dco de um nu´mero por 6 e´ igual ao resto da soma do algarismo
das unidades com o qua´druplo da soma dos algarismos anteriores por 6.
Ex.: Verificar se os nu´meros 42.003.144.132 e 230.124.658.973 sa\u2dco divis´\u131veis
por 6. Caso na\u2dco sejam, determinar os respectivos restos.
a) 42.003.144.132
Ve\u2c6-se inicialmente que o nu´mero dado e´ divis´\u131vel por 2, resta saber se ele e´
divis´\u131vel por 3.
Somemos os algarismos:
4+ 2+ 0+ 0+ 3+ 1+ 4+ 4+ 1+ 3+ 2 = 24
24
\u2223\u2223 6
0 4
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado e´ divis´\u131vel por 6
b) 230.124.658.973
1o ) Como o algarismo das unidades e´ o 3 (nu´mero \u131´mpar), o nu´mero dado na\u2dco
e´ divis´\u131vel por 6.
2o ) Ca´lculo do resto por 6.
R
6
=
3+ 4× (2+ 3+ 0+ 1+ 2+ 4+ 6+ 5+ 8+ 9+ 7)
6
=
3+ 4× 47
6
=
191
6
191
\u2223\u22236
5 31
Conclusa\u2dco: O nu´mero dado na\u2dco e´ divis´\u131vel por 6, e o resto e´ igual a 5.
5.5 Teorema
Se um nu´mero for divis´\u131vel por va´rios outros primos entre si, dois a dois,
enta\u2dco sera´