Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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e rn\u22121 = 1, enta\u2dco qn =
rn\u22122
rn\u22121
=
2
1
= 2.
Conclusa\u2dco: O menor valor que rn pode assumir e´ o 2.
6.1.4 Exerc´\u131cios Resolvidos
1) Achar o mdc de 60 e 36 atrave´s do algoritmo de Euclides
60 36 \u21d2 160 36
24
\u21d2 160 36 24
24
\u21d2
1 1
60 36 24
24 12
\u21d2 1 1 260 36 24 12
24 12 0
\u21d2 mdc(60; 36) = 12.
1Euclides (365a.c\u2212 300a.c)
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[SEC. 6.1: MA´XIMO DIVISOR COMUM (MDC) 235
2) Na determinac¸a\u2dco domdc de dois nu´meros A e B, atrave´s do \u201calgoritmo de
Euclides\u201d, encontraram-se tre\u2c6s quocientes, sendo os mesmos os menores
poss´\u131veis. Calcular A e B, sabendo-se que o mdc e´ igual a 7.
Resoluc¸a\u2dco:
Se os quocientes sa\u2dco os menores poss´\u131veis, podemos afirmar que sa\u2dco 1; 1
e 2, respectivamente. Logo, tem-se:
a)
1 1 2
A B 7
b)
1 1 2
A B x 7
y 7 0
x = 2× 7+ 0
x = 14 = y
c)
1 1 2
A B 14 7
14 7 0
B = 1× 14+ 7\u21d2 B = 21
d)
1 1 2
A 21 14 7
14 7 0
A = 1× 21+ 14\u21d2 A = 35
Resp.: 35 e 21.
3) Determinar o maior nu´mero natural pelo qual se deve dividir 574 e 754,
a fim de que os restos sejam 15 e 23, respectivamente.
Resoluc¸a\u2dco
Seja d o nu´mero desejado.
De acordo com os dados, teremos:
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574 |d ............ (I)
15 q1
e
754 |d ............ (II)
23 q2
De (I), temos:
574 = d× q1 + 15 ou d× q1 = 574\u2212 15 \u2234 q1 = 559
d
De (II), temos:
754 = d× q2 + 23 ou d× q2 = 754\u2212 23 \u2234 q2 = 731
d
Como d e´ divisor simulta\u2c6neo de 559 e 731, e queremos determinar o maior,
basta calcularmos o mdc dos nu´meros 559 e 731, ou seja:
1 3 4
731 559 172 43
172 43 0
Resp.: O nu´mero procurado e´ o 43
4) Calcular a diferenc¸a (positiva) de dois nu´meros naturais, que te\u2c6m para
produto 2.304 e para ma´ximo divisor comum o nu´mero 12.
Resoluc¸a\u2dco:
Supondo A e B dois nu´meros, teremos, de acordo com os dados:\uf8f1\uf8f2\uf8f3A× B = 2.304mdc(A;B) = 12
A
12
= q \u2032 \u21d2 A = 12× q \u2032 .......... (I)
B
12
= q \u2032\u2032 \u21d2 B = 12× q \u2032\u2032 .......... (II)
Multiplicando-se (I) por (II), teremos:
(12× q \u2032)× (12× q \u2032\u2032) = 2 304
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[SEC. 6.1: MA´XIMO DIVISOR COMUM (MDC) 237
q \u2032 × q \u2032\u2032 = 2 304
144
ou
q \u2032 × q \u2032\u2032 = 16
Como q \u2032 e q \u2032\u2032 sa\u2dco nu´meros primos entre si, teremos que determinar o(s)
par(es) de nu´meros que satisfazem tal condic¸a\u2dco, da´\u131,
Se q \u2032 × q \u2032\u2032 = 16, enta\u2dco, q \u2032 = 1 e q \u2032\u2032 = 16
Substituindo q \u2032 e q \u2032\u2032 em (I) e (II), teremos:
A = 12× 1 \u2234 A = 12
B = 12× 16 \u2234 B = 192
Logo, a diferenc¸a positiva sera´ 192\u2212 12 = 180.
5) Dividindo-se dois nu´meros por 5, omdc passou a ser 9. Determinar esses
nu´meros, sabendo que um deles e´ o triplo do outro.
Resoluc¸a\u2dco:
Supondo A = x o primeiro nu´mero, enta\u2dco, o segundo (B) sera´ 3x.
De acordo com os dados, teremos:
mdc
(
x
5
,
3x
5
)
= 9, ou, o mdc(x; 3x) = 45 (3a propriedade).
Aplicando agora a 2a propriedade, concluiremos que o mdc de x e 3x e´
x, portanto, x igual a 45, logo,
se x = 45, enta\u2dco, 3x = 135.
Resp.: 45 e 135
6) Uma pessoa dispo\u2dce de tre\u2c6s pedac¸os de arame do mesmo tipo, cujas medi-
das sa\u2dco: 2, 40m, 3.200mm e 0, 0056km. Desejando obter o maior compri-
mento poss´\u131vel, sem qualquer perda, calcular nu´mero de pedac¸os a serem
obtidos.
Resoluc¸a\u2dco:
2, 40m = 240 cm; 3 200mm = 320 cm; 0, 0056 km = 560 cm
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mdc(240; 320; 560) = mdc(24; 32; 56) = 8× 10 = 80, da´\u131:
240 cm
80 cm
= 3 pedac¸os de 80 cm;
320 cm
80 cm
= 4 pedac¸os de 80 cm;
560 cm
80 cm
= 7 pedac¸os de 80 cm.
Total: 3+ 4+ 7 = 14 pedac¸os.
Obs.: 240 cm+ 320 cm+560 cm=1.120 cm
1120 cm÷ 80= 14 pedac¸os
7) O mdc de dois nu´meros A = 360 e 2x× 5y e´ igual a 8. Calcular x0+ yx.
Resoluc¸a\u2dco:
A = 360 = 23 × 32 × 5
B = 2x × 5y
mdc(A;B) = 8 = 23
Como o mdc de 23 e 2x e´ igual a 8, infere-se que x > 3 e como na\u2dco ha´ o
fator 5 no mesmo, y tera´ que ser igual a zero. Da´\u131 . . .
x0 + yx = 1+ 0x = 1, \u2200 x \u2265 3.
8) Em uma rua existe um trecho com 200m de comprimento e querem-se
colocar postes de 8 em 8 metros. Sabendo-se que devera\u2dco existir postes
nos extremos, determinar o nu´mero de postes que devera\u2dco ser adquiridos.
Resoluc¸a\u2dco:
nu´mero de postes =
200
8
+ 1 = 26 postes.
9) Os pontos P1, P2, P3, P4 e P5, no desenho seguinte, sa\u2dco postes, ja´ exis-
tentes em uma estrada, cujas dista\u2c6ncias esta\u2dco indicadas . . .
15m 70m 150m 5000m
P
1 P2 P3 P4 P5
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[SEC. 6.1: MA´XIMO DIVISOR COMUM (MDC) 239
Quer-se colocar outros entre os ja´ existentes, de modo que a dista\u2c6ncia
entre eles seja a mesma e a maior poss´\u131vel. Determinar o nu´mero de
postes necessa´rios.
Resoluc¸a\u2dco:
O mdc das dista\u2c6ncias 15m, 70m, 150m e 500m e´ igual a 5m.
15m : 5m = 3; 70m : 5m = 14; 150m : 5m = 30; 500m : 5m = 100
3+ 14+ 30+ 100 = 147\u2212 2 (extremos) \u22125 (ja´ existentes) = 140 postes.
10) Quer-se colocar mouro\u2dces2 sobre a linha imagina´ria que delimita os lados
do terreno, cujas dimenso\u2dces esta\u2dco indicadas a seguir:
B C
DA
AB=30m
BC=20m
CD=40m
AD=50m
Sabendo-se que a dista\u2c6ncia entre eles deve ser a mesma, e a maior poss´\u131vel,
determinar o nu´mero de mouro\u2dces que devem ser adquiridos.
Resoluc¸a\u2dco:
1o O mdc(30m, 20m, 40m, 50m) = 10m
2o De A ate´ B\u21d2 30m : 10m = 3 mouro\u2dces;
De B ate´ C\u21d2 20m : 10m = 2 mouro\u2dces;
De C ate´ D\u21d2 40m : 10m = 4 mouro\u2dces;
De D ate´ A\u21d2 50m : 10m = 5 mouro\u2dces.
Conclusa\u2dco: Devera\u2dco ser adquiridos 14 mouro\u2dces
11) O mdc de dois nu´meros e´ 15. Dividindo-se esses dois nu´meros pelo mmc
deles, encontraremos quocientes cuja soma e´ igual a 10. Determinar os
pares de nu´meros que satisfazem essas condic¸o\u2dces.
2Estacas que servem para sustentar os fios de uma cerca.
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Resoluc¸a\u2dco:
Sejam a e b os nu´meros a serem determinados, onde o mmc(a;b) = M.
De acordo com os dados, podemos escrever:
1o mdc(a;b) = D = 15
2o
M
a
+
M
b
= 10 ........ (I)
Sabemos que a × b = M ×D\u21d2M = a × b
15
........ (II)
Substituindo (II) em (I) e simplificando, teremos:
a
15
+
b
15
= 10.
Fazendo:
a
15
= q \u2032 \u21d2 a = 15q \u2032 ........ (III)
b
15
= q \u2032\u2032 \u21d2 b = 15q \u2032\u2032 ........ (IV)
q \u2032 + q \u2032\u2032 = 10 . . .q \u2032 e q \u2032\u2032 primos entre si.
1o ) q \u2032 = 1 e q \u2032\u2032 = 9\u21d2 em (III) e (IV), a = 15 e b = 135
2o ) q \u2032 = 3 e q \u2032\u2032 = 7\u21d2 em (III) e (IV), a = 45 e b = 105
Resp.: 15 e 135; 45 e 105.
6.2 M\u131´nimo Mu´ltiplo Comum (em N\u2217)-MMC
E´ o menor mu´ltiplo comum de dois ou mais nu´meros dados.
6.2.1 Notac¸a\u2dco
Para indicarmos o m\u131´nimomu´ltiplo comum de va´rios nu´meros (A,B,C, . . .),
escreveremos: mmc(A,B,C, . . .).
6.2.2 Determinac¸a\u2dco do MMC
1o modo: Atrave´s da intersecc¸a\u2dco do(s) menor(es) mu´ltiplo(s) comum(ns).
Ex.: Seja determinar o mmc dos nu´meros 3 e 4.
1o passo: M(3)\u2217 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, . . .}
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[SEC. 6.2: MI´NIMO MU´LTIPLO COMUM (EM N\u2217)-MMC 241
2o passo: M(4)\u2217 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, . . .}
3o passo: M(3)\u2217 \u2229M(4)\u2217 = {12, 24, 36, . . .}
Ve\u2c6-se que, dentre os mu´ltiplos comuns, o menor e´ o 12, da´\u131, o
mmc(3; 4) = 12.
2o modo: Atrave´s da decomposic¸a\u2dco em fatores primos
1o caso: Por decomposic¸a\u2dco simulta\u2c6nea.
Sejam A,B,C, . . . nu´meros naturais, diferentes de zero. Desejando deter-
minar o mmc deles, divide-se A,B,C, . . . pelos divisores primos a, b, c, . . .
conforme o algoritmo a seguir:
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242 [CAP. 6: MA´XIMO DIVISOR COMUM E MI´NIMO MU´LTIPLO COMUM
A\u2212 B \u2212C\u2212 · · ·
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
a
a
a
...
b
b
b
...
c
c
c
...
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe \u3b1 fatores\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe \u3b2 fatores\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe \u3b3 fatores
mmc(A,B,C, . .