Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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contro sera´ em: 1985+ 300 = 2.285.
5) A soma de dois nu´meros A e B e´ 42, e o mmc deles e´ 60. Determinar esses
nu´meros.
Resoluc¸a\u2dco:
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[SEC. 6.2: MI´NIMO MU´LTIPLO COMUM (EM N\u2217)-MMC 249
De acordo com os dados, teremos:\uf8f1\uf8f2\uf8f3A+ B = 42 ........ (I)mmc(A;B) = 60\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
60÷ A = q \u2032 \u21d2 A = 60
q \u2032
...... (II)
60÷ B = q \u2032\u2032 \u21d2 B = 60
q \u2032\u2032
...... (III)
Substituindo (II) e (III) em (I), teremos:
60
q \u2032
+
60
q \u2032\u2032
= 42 ou
10
q \u2032
+
10
q \u2032\u2032
= 7 ou ainda,
q \u2032 + q \u2032\u2032
q \u2032 × q \u2032\u2032 =
7
10
\u2192
\uf8f1\uf8f2\uf8f3q \u2032 + q \u2032\u2032 = 7q \u2032 × q \u2032\u2032 = 10
Resolvendo esse sistema, teremos: q \u2032 = 2 e q \u2032\u2032 = 5 ou vice-versa.
Substituindo esses valores em (II) e (III), teremos:
1o ) para q \u2032 = 2\u21d2 A = 60
2
\u2234 A = 30
2o ) para q \u2032\u2032 = 5\u21d2 B = 60
5
\u2234 B = 12
Resp.: Os nu´meros sa\u2dco, 30 e 12, respectivamente.
6) O produto de dois nu´meros naturais e´ 720. Sabendo-se que o mdc deles e´ 6,
determinar o mmc desses nu´meros.
Resoluc¸a\u2dco:
Supondo A e B os nu´meros dados, podemos escrever que:
A× B = mdc(A;B) ×mmc(A;B)
Substituindo os dados do problema, convenientemente, teremos:
720 = 6 ×mmc(A;B)
mmc(A;B) =
720
6
mmc(A;B) = 120
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250 [CAP. 6: MA´XIMO DIVISOR COMUM E MI´NIMO MU´LTIPLO COMUM
Resp.: 120
7) Determinar o nu´mero de mu´ltiplos de 3 e 5, na sucessa\u2dco dos nu´meros natu-
rais, de 1 ate´ 600.
Resoluc¸a\u2dco:
O menor mu´ltiplo comum dos dois e´ o 15 (mmc(3, 5)), portanto, os mu´ltiplo
comuns sa\u2dco:
15, 30, . . . , 600
Total: 600÷ 15
Resp.: 40
8) Determinar o nu´mero de mu´ltiplos de 3 ou de 5, na sucessa\u2dco dos nu´meros
naturais, de 1 ate´ 600.
Resoluc¸a\u2dco:
Sabemos da Teoria dos Conjuntos que, se dois conjuntos A e B na\u2dco sa\u2dco
disjuntos, enta\u2dco
n(A\u222a B) = n(A) + n(B) \u2212 n(A \u2229 B)
n(3\u2d9\u222a 5\u2d9) = n(3\u2d9) + n(5\u2d9) \u2212 n(3\u2d9 \u2229 5\u2d9)
n(3\u2d9\u222a 5\u2d9) = 600
3
+
600
5
\u2212
600
15
, onde 15 = mmc(3; 5)
n(3\u2d9\u222a 5\u2d9) = 200+ 120\u2212 40
n(3\u2d9\u222a 5\u2d9) = 280
Resp.: 280
6.3 Exerc´\u131cios Propostos
1) O mdc de dois nu´meros e´ 15. Na sua determinac¸a\u2dco pelo algoritmo de
Euclides, encontramos os quocientes 3, 1, 2 e 4. Quais sa\u2dco os nu´meros?
a) 540 e 180 b) 540 e 385 c) 720 e 195 d) 620 e 165
2) Dividindo-se dois nu´meros por 7, omdc passou a ser 29. Determine esses
nu´meros, sabendo-se que um deles e´ o dobro do outro.
a) 203 e 406 b) 215 e 430 c) 223 e 446 d) 230 e 460
3) No ca´lculo do mdc de dois nu´meros, pelas diviso\u2dces sucessivas, obteve-
se como quocientes os nu´meros 3, 6, 1 e 3. Sabendo-se que o mdc e´ 4,
determine-os.
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[SEC. 6.3: EXERC´ICIOS PROPOSTOS 251
a) 340 e 104 b) 340 e 108 c) 220 e 108 d) 340 e 92
4) No aeroporto Santos Dumont partem avio\u2dces para Sa\u2dco Paulo a cada 20
minutos, para o Sul do pa´\u131s a cada 40 minutos e para Bras´\u131lia, a cada
100 minutos. A`s 8 horas da manha\u2dc, houve embarque simulta\u2c6neo para
partida. Ate´ as 18 horas, coincidira\u2dco ainda, quantos embarques?
a) tre\u2c6s b) dois c) quatro d) cinco
5) O mdc de dois nu´meros e´ 1, e o mmc deles 29.403. Se um dos nu´meros
e´ 112, qual e´ o outro?
a) 32 b) 33 c) 34 d) 35
6) O mmc de dois nu´meros e´ 24. Determine o produto desses nu´meros,
sabendo-se que o mdc deles e´ 4.
a) 66 b) 76 c) 86 d) 96
7) Suponha dois cometas: um aparecendo a cada 20 anos e, outro, a cada 30
anos. Se em 1960 tivessem ambos aparecido, pergunta-se: quantas novas
coincide\u2c6ncias havera\u2dco ate´ o ano 2.500?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
8) Qual e´ a operac¸a\u2dco que permite-nos determinar o mmc de dois nu´meros
primos absolutos?
a) Adic¸a\u2dco b) Subtrac¸a\u2dco c) Divisa\u2dco d) Multiplicac¸a\u2dco
9) O produto de dois nu´meros e´ 300, e o mmc deles, 60. Qual e´ o mdc
desses dois nu´meros?
a) 20 b) 15 c) 10 d) 5
10) O maior nu´mero pelo qual devemos dividir 30 e 411, para que os restos
sejam respectivamente, 5 e 4, esta´ entre:
a) 20 e 30 b) 31 e 40 c) 41 e 50 d) 51 e 60
11) Sendo dois nu´meros A = 24 × 33 × 5 e B = 23 × 32 × 11, o quociente da
divisa\u2dco do seu mmc pelo seu mdc sera´:
a) 5× 11 b) 22 × 33 c) 2× 3× 5× 11 d) 22 × 32 × 5× 11
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252 [CAP. 6: MA´XIMO DIVISOR COMUM E MI´NIMO MU´LTIPLO COMUM
12) O mdc de dois nu´meros e´ 20. Na determinac¸a\u2dco pelo algoritmo de Eu-
clides, encontraram-se os quocientes 2, 1, 3 e 2. Quais sa\u2dco os nu´meros?
a) 235 e 160 b) 500 e 180 c) 450 e 180 d) 725 e 190
13) Na determinac¸a\u2dco do maior divisor comum de dois nu´meros pelo algoritmo
de Euclides, encontramos os quocientes 1; 2 e 6 e os restos 432; 72 e 0,
respectivamente. Qual e´ a soma desses nu´meros?
a) 1.800 b) 2.000 c) 2.104 d) 2.304
14) O quociente do mmc dos nu´meros 6; 8 e 12 pelo mdc de 8 e 160 e´ igual
a:
a) 3 b) 8 c) 16 d) 24
15) Sejam os nu´meros 18 e 5y. Se o mmc deles e´ 90, e o mdc igual a 1/10
do mmc, calcule a diferenc¸a desses nu´meros.
a) 9 b) 27 c) 4 d) 81
16) O mdc dos nu´meros fatorados 24 × 32 e 23 × 33, e´:
a) 36 b) 72 c) 24 d) 54
17) O mdc de dois nu´meros e´ 15, e o menor e´ a quarta parte do maior. Qual
e´ o maior?
a) 80 b) 50 c) 30 d) 60
18) Para acondicionar 1.560 latas de azeite e 870 latas de o´leo em caixotes,
de modo que cada caixote contenha o maior e o mesmo nu´mero de latas,
sem que sobre nenhuma, e, ainda, sem misturar latas de cada espe´cie,
quantas latas em cada caixote sera\u2dco necessa´rias?
a) 30 b) 40 c) 20 d) 50
19) O mdc de 288 e 23 × 32, e´ igual a:
a) 144 b) 288 c) 72 d) 36
20) O mmc de 180 e 216, e´ igual a:
a) 1.080 b) 36 c) 216 d) 6
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[SEC. 6.3: EXERC´ICIOS PROPOSTOS 253
21) O menor nu´mero que dividido por 18; 32 e 54, deixa sempre resto 11 e´
igual a:
a) 115 b) 853 c) 875 d) 299
22) Sejam A = 23 × 32 × 5, B = 22 × 7 e C = 2 × 3× 5. O ma´ximo divisor
comum deles, e´ igual a:
a) 2 b) 6 c) 10 d) 8
23) O ma´ximo divisor comum de 24 e 36 e´ igual a:
a) 9 b) 6 c) 12 d) 4
24) O produto de dois nu´meros e´ 1.176, e ommc, 84. O mdc desses nu´meros
e´ igual a:
a) 84 b) 42 c) 14 d) 28
25) Sabendo-se que o mdc dos nu´meros n e 15 e´ igual a 3, e o mmc, 90.
Determine o valor de 2n, supondo n \u2208 N.
a) 18 b) 5 c) 6 d) 36
26) Tre\u2c6s sate´lites artificiais giram em torno da Terra, em o´rbitas constantes.
O tempo de rotac¸a\u2dco do primeiro e´ 42 minutos, do segundo, 72 minutos
e, do terceiro, 126 minutos. Em dado momento, eles se alinham em
um mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltara\u2dco em
seguida, a passar simultaneamente pelo mesmo meridiano, depois de:
a) 15h 24min b) 7h 48min c) 126min d) 8h 24min
27) Sabendo-se que A = 2x × 32 × 5, B = 22x × 32 × 52, e que o mmc de A
e B te\u2c6m 45 divisores, qual e´ o valor de x?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
28) Se a = 22 × 3× 5 e b = 23 × 32, enta\u2dco, o mdc e o mmc desses nu´meros
sa\u2dco, respectivamente:
a) 12 e 360 b) 360 e 12 c) 12 e 240 d) 24 e 360
29) O mdc de dois nu´meros e´ 75; o maior deles e´ 300 e, o menor, e´ diferente
de 75. O menor e´, portanto:
a) 53 b) 3× 53 c) 32 × 52 d) 2× 3× 52
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254 [CAP. 6: MA´XIMO DIVISOR COMUM E MI´NIMO MU´LTIPLO COMUM
30) O cabo Praxedes tira servic¸o a cada 5 dias, e o soldado Atanagildo, a
cada 7 dias. Se os soldados esta\u2dco de servic¸o hoje, daqui ha´ quantos dias
tirara\u2dco servic¸o juntos novamente?
a) 12 dias b) 14 dias c) 17 dias d) 35 dias
31) Ao calcular o mdc dos nu´meros A e B (A e B \u2208 N), pelo algoritmo de
Euclides, obteve-se (ver abaixo):
2 1 3
A B x 11
y z 0
Podemos afirmar que:
a) A\u2212 B = 27 b) A\u2212 B = 47 c) A\u2212 B = 55 d) A\u2212 B = 53
e) A \u2212 B = 77
32) Um trem A parte de uma cidade a cada 6 dias. Um trem B parte da
mesma cidade a cada 9 dias. Se A e B partirem juntos, voltara\u2dco a faze\u2c6-lo,
pela primeira vez, depois de quantos dias?
a) 54 b) 18 c) 15 d) 12 e) 10
33) Omdc de dois nu´meros A e B e´ 25×32×54×7. Sendo A = 2x×3z×5y×7
e B = 26 × 33 × 55 × 7, enta\u2dco,