Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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585 A.C-500 A.C
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38 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
4o Escrevem-se na 4a linha, a partir da 2a coluna, a soma dos elementos da
1a com os da 3a ; na 5a linha, os elementos da 1a com os da 4a , e assim
sucessivamente, ou seja:
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 56
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Exemplo: Suponha que se queira obter o produto de 7 por 5 .
Resoluc¸a\u2dco:
Procura-se o fator 7 na 1a coluna, e o fator 5 , na 1a linha, ou vice-versa.
O elemento da intersecc¸a\u2dco das linhas, horizontal e vertical, sera´ o produto
desejado.
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 56
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
2.4.4 Exerc´\u131cios Resolvidos
1) Determinar a alterac¸a\u2dco sofre o produto de tre\u2c6s fatores, quando multipli-
camos o primeiro por 2, o segundo por 3 e o terceiro por 4.
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[SEC. 2.4: MULTIPLICAC¸A\u2dcO 39
Resoluc¸a\u2dco:
A× B× C = P
(A × 2)× (B× 3)× (C× 4) = A× B× C\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
P
× 2× 3× 4\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
24
= P × 24
Conclusa\u2dco: O produto ficara´ multiplicado por 24.
2) O produto de dois nu´meros e´ 216. Acrescentando-se 6 unidades ao mul-
tiplicando, obte´m-se um novo produto igual a 324. Calcular o multipli-
cador.
Resoluc¸a\u2dco:
De acordo com os dados, pode-se escrever:\uf8f1\uf8f2\uf8f3A× B = 216 . . . (I)(A+ 6)× B = 324\u21d2 A× B+ 6× B = 324 . . . (II)
Substituindo (I) em (II), teremos:
216+ 6× B = 324
B =
324\u2212 216
6
\u2234 B = 18
3) Numa multiplicac¸a\u2dco de dois fatores, uma pessoa trocou a ordem dos alga-
rismos do multiplicador que era 43, pondo em seu lugar o 34. Sabendo-se
que o produto, apo´s a inversa\u2dco, ficou 99 unidades inferiores ao produto
primitivo, determinar o multiplicando.
Resoluc¸a\u2dco:\uf8f1\uf8f2\uf8f3a × 43 = p (I)a × 34 = p \u2212 99 (II)
Substituindo (I) em (II), teremos:
a × 34 = a × 43\u2212 99
43× a \u2212 34× a = 99
9× a = 99
a = 11
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40 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
2.4.5 Proposic¸o\u2dces
1a A soma de dois nu´meros pares gera sempre um nu´mero par .
(2n) + (2p) = 2× (n+ p) = nu´mero par (n e p \u2208 N)
2a A soma de dois nu´meros \u131´mpares gera sempre um nu´mero par .
(2n+1)+(2p+1) = 2n+2p+1+1 = 2n+2p+2 = 2×(n+p+1) = nu´mero par
3a A soma de um nu´mero par com outro \u131´mpar gera sempre um nu´mero \u131´mpar .
(2n) + (2p+ 1) = 2n+ 2p + 1 = 2× (n+ p) + 1 = nu´mero \u131´mpar.
4a O produto de dois nu´meros pares e´ um nu´mero par .
(2n)× (2p) = 2× [n× (2p)] = nu´mero par
5a O produto de um nu´mero par por outro \u131´mpar e´ um nu´mero par .
(2n)× (2p+ 1) = 2× [n× (2p + 1)] = nu´mero par
6a O produto de dois nu´meros \u131´mpares e´ um nu´mero \u131´mpar .
(2n+ 1)× (2p + 1) = nu´mero \u131´mpar
7a O produto de dois ou mais nu´meros \u131´mpares e´ um nu´mero \u131´mpar .
Ao multiplicarmos dois deles, encontraremos um nu´mero \u131´mpar (8a ppdd)
que, multiplicado por outro, tambe´m gerara´ um outro \u131´mpar, e assim por di-
ante.
8a O produto de dois ou mais nu´meros pares e´ um nu´mero par .
2.4.6 Exerc´\u131cios Propostos
1) Por quanto devemos multiplicar 18, para que o produto seja o qu´\u131ntuplo
de 198?
2) Em uma multiplicac¸a\u2dco com dois fatores, por descuido, uma pessoa trocou
o multiplicador, que era 715, escrevendo em seu lugar, 751. Sabendo-se
que o produto ficou, assim, aumentado em 39.636 unidades, qual foi o
multiplicando?
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[SEC. 2.4: MULTIPLICAC¸A\u2dcO 41
3) Em vez de multiplicar um nu´mero por 82, uma pessoa, por engano, mul-
tiplicou por 28 e obteve, assim, um produto inferior de 11.016 unidades
ao verdadeiro produto. Calcule o nu´mero que foi multiplicado por 28.
4) Uma pessoa, ao multiplicar um nu´mero por 40, multiplicou-o por 4 e
esqueceu de colocar o zero a direita do produto. Encontrou enta\u2dco, um
produto inferior em 8.928 unidades ao que deveria ter obtido. Determine
esse nu´mero.
5) Uma aluna, ao multiplicar um nu´mero por 80, multiplicou-o por 8 e
esqueceu de colocar o zero a` direita do produto, ficando, assim, inferior
em 4.824 unidades ao que deveria ter obtido. Calcule-o.
6) Somando-se tre\u2c6s unidades ao multiplicador, o produto aumenta de 135
unidades. Determine o multiplicando.
7) Dois nu´meros sa\u2dco tais que, um deles e´ o dobro do outro. Somando-se 4
unidades a cada um deles, o produto dos nu´meros dados ficara´ aumentado
de 124. Quais sa\u2dco esses nu´meros?
8) Determine a soma gerada por: 1+ 2+ 3+ · · ·+ 98+ 99+ 100.
9) Quantos fatores existem nas multiplicac¸o\u2dces?
a) 6× 12× 18× · · · × 288× 294× 300.
b) 3× 6× 9× · · · × 144× 147× 150.
10) Observe e calcule as operac¸o\u2dces alternadas, de 1.997 ate´ 1, ou seja:
1.997\u2212 1.996+ 1.995\u2212 1.994+ · · ·+ 3\u2212 2+ 1.
11) A soma dos primeiros 1.998 nu´meros pares e´ igual a p, enquanto que a
soma dos 1.998 primeiros nu´meros \u131´mpares e´ igual a q. Determine q\u2212 p.
12) Pesquisando o prec¸o de custo de frutas, observo que 2 mac¸a\u2dcs valem por
3 pe\u2c6ras e que meia du´zia de pe\u2c6ras vale 8 laranjas. Quantas mac¸a\u2dcs devo
trocar por meia du´zia de laranjas?
13) Comprei va´rias du´zias de la´pis. Deram-me uma a mais em cada duas
du´zias. Recebi, enta\u2dco, 350 la´pis. Quantas du´zias comprei?
14) A diferenc¸a entre dois nu´meros e´ 15. Multiplicando o maior deles por 11,
a diferenc¸a passa a ser 535. Determine esses dois nu´meros.
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42 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
15) Seja a multiplicac¸a\u2dco 56 × 24. Aumentando-se o multiplicador de uma
unidade, em quanto devemos aumentar o multiplicando, para que o novo
produto exceda o primitivo de 456 unidades?
16) Numa multiplicac¸a\u2dco de dois fatores, um deles termina em 317. Calcule
os tre\u2c6s u´ltimos algarismos do outro fator, para que o produto efetuado
termine por 372.
17) Imagine que 285 candidatos classificados em um concurso resolvam cum-
primentarem-se em um sala\u2dco uma u´nica vez. Qual o nu´mero de cumpri-
mentos a serem trocados?
Respostas:
1) 55 10) 999
2) 1.101 11) 1.998
3) 204 12) 3 mac¸a\u2dcs
4) 248 13) 28
5) 67 14) 52 e 37
6) 45 15) 16
7) 9 e 18 16) 916
8) 5.050 17) 4.047
9) a) 50 b) 50
2.5 Divisa\u2dco
E´ a operac¸a\u2dco que tem por fim, a partir de dois nu´meros (D e d ; D \u2265 d),
obter um terceiro (q) que, multiplicado pelo segundo (d), reproduza o maior
nu´mero (N) menor ou igual ao primeiro (D).
2.5.1 Modos diferentes para indicarmos uma divisa\u2dco de
dois nu´meros D e d
Entre os diferentes me´todos7 de indicarmos a operac¸a\u2dco de divisa\u2dco, destacam-
se os seguintes:
D (1)
d
; D/d (2); D : d (3); D ÷ d (4); D |d ; D
\u2223\u2223\u2223d
7(1) Nicole d\u2019Oresme (1.325\u2212 1.385); (2) Augustus De Morgan (1.806\u2212 1.871); (3) John-
sons, generalizada por Leibniz; (4) John Heinrich Rahn (1.622\u2212 1.676).
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[SEC. 2.5: DIVISA\u2dcO 43
2.5.2 Prova Real da Divisa\u2dco
De acordo com a definic¸a\u2dco, temos inicialmente que:
D
\u2223\u2223 d
q
; q× d = N; N \u2264 D
D
\u2223\u2223d ; D\u2212N = r
N q
Ou simplesmente ...
dividendo D
\u2223\u2223d divisor
resto r q quociente
Uma divisa\u2dco estara´ correta se, e so´ se, o dividendo for igual ao divisor vezes
o quociente mais o resto.
D = d × q + r . . . 0 \u2264 r < d
2.5.3 Divisa\u2dco Exata e Divisa\u2dco Inexata
Dizemos que uma divisa\u2dco e´ exata, em N, quando o resto for igual a zero;
em caso contra´rio, ou seja, quando o resto for diferente de zero, di-la-emos
inexata.
D = d × q
2.5.4 Teoremas
1o Numa divisa\u2dco exata, multiplicando-se o dividendo por um nu´mero k (k 6= 0),
o quociente ficara´ multiplicado por esse nu´mero.\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
Hip:
A
B
= q . . . (I) e
A× k
B
= q \u2032 . . . (II)
Tese: q \u2032 = k× q
De (I) A = B×