Praticando a Aritmética   Lacerda [www.souexatas.blogspot.com.br] [materialcursoseconcursos.blogspot.com.br]
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(d× q) + r+ n = (d× q) + k× d+ r \u2032 \u21d2 r \u2032 = r + n\u2212 k× d
Como 0 \u2264 r \u2032 < d, enta\u2dco 0 \u2264 r+ n\u2212 k × d < d
Dessa dupla desigualdade podemos escrever que:
r+ n\u2212 k × d \u2265 0 . . . (III) e r+ n\u2212 k× d < d . . . (IV)
Em (III) . . . n \u2265 k × d\u2212 r e em (IV), n < (k+ 1)× d\u2212 r . . . (V)
De (IV) e (V) pode-se escrever que: k× d\u2212 r n < (k+ 1)× d\u2212 r . . . (VI)
4) Observando a soluc¸a\u2dco anterior, calcular:
a) o menor nu´mero n que devemos somar ao dividendo, de modo que
o quociente aumente de k unidades.
Em (V) concluiremos facilmente que: n = k × d\u2212 r
b) os poss´\u131veis valores que devemos atribuir a n, de modo que o quo-
ciente aumente de 1 unidade.
Fazendo k = 1 em (VI), teremos: d\u2212 r \u2264 n < 2× d\u2212 r
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[SEC. 2.5: DIVISA\u2dcO 51
c) o menor valor n e o maior valor de N que podemos somar ao divi-
dendo, de modo que o quociente aumente de 1 unidade.
Fazendo k = 1 em (VI), teremos: d \u2212 r \u2264 n < 2× d\u2212 r
Analisando essa dupla desigualdade, teremos:
1o ) n = d\u2212 r
2o ) N = 2× d\u2212 r\u2212 1
d) os poss´\u131veis valores a serem atribu´\u131dos a n, de modo que o quociente
na\u2dco se altere.
Fazendo k = 0 em (VI), teremos: \u2212r \u2264 n < d\u2212 r
Como 0 \u2264 r < d, enta\u2dco concluiremos que: n < d\u2212 r
5) Numa divisa\u2dco de dividendoD, divisor d, quociente q e resto r, determinar
os poss´\u131veis valores naturais n a serem subtra´\u131dos do dividendo, de modo
que o quociente diminua de k unidades.
Resoluc¸a\u2dco:
D
\u2223\u2223d . . .D = d× q+ r, 0 \u2264 r < d . . . (I)
r q
D \u2212 n
\u2223\u2223d . . .D \u2212 n = d× q\u2212 k× d+ r \u2032, 0 \u2264 r \u2032 < d . . . (II)
r \u2032 q\u2212 k
Substituindo (I) em (II), teremos:
(d × q) + r\u2212 n = (d× q) \u2212 k× d+ r \u2032 \u21d2 r \u2032 = r\u2212 n+ k× d
Como 0 \u2264 r \u2032 < d, enta\u2dco 0 \u2264 r \u2212 n+ k× d < d
Dessa dupla desigualdade podemos escrever que:
r\u2212 n+ k × d \u2265 0 . . . (III) e r\u2212 n+ k× d < d . . . (IV)
Em (III) . . . n \u2264 k × d + r e, em (IV), n > (k\u2212 1)× d + r . . . (V)
De (IV) e (V) pode-se escrever que:
(k \u2212 1)× d+ r < n k× d + r . . . (VI)
6) Observando a soluc¸a\u2dco anterior, determinar:
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52 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
a) o menor nu´mero n que devemos subtrair do dividendo, de modo que
o quociente diminua de k unidades.
Em (VI) concluiremos facilmente que: n = r+ (k\u2212 1)× d+ 1
b) o maior nu´mero N que devemos subtrair do dividendo, de modo que
o quociente diminua de k unidades.
Em (VI) vemos que: N = k × d + r
c) os poss´\u131veis valores n que podemos subtrair do dividendo, de modo
que o quociente na\u2dco se altere.
Fazendo k = 0 em (VI), teremos: r\u2212 d < n \u2264 r.
Como r < d e n \u2208 N\u2192 0 \u2264 n \u2264 r
Observac¸a\u2dco: A partir dessa u´ltima desigualdade, ve\u2c6-se que o maior
valor que devemos subtrair de N, sem alterar o quociente, e´ igual ao
pro´prio resto.
d) o menor valor n e o maior valor N que podemos subtrair ao divi-
dendo, de modo que o quociente diminua de 1 unidade.
Fazendo k = 1 em (VI), teremos: r < n \u2264 d+ r
Analisando essa dupla desigualdade, teremos:
1o ) n = r+ 1
2o ) N = d + r
7) Numa divisa\u2dco de dividendoD, divisor d, quociente q e resto r, determinar
os poss´\u131veis valores naturais n a serem somados ao divisor, de modo que
o quociente diminua de k unidades.
Resoluc¸a\u2dco:
D
\u2223\u2223d . . .D = d× q+ r, 0 \u2264 r < d . . . (I)
r q
e
D + n
\u2223\u2223d + n
r \u2032 q\u2212 k
onde
D = (q\u2212 k)× d+ n× (q \u2212 k) + r \u2032, 0 \u2264 r \u2032 < d+ n . . . (II)
Substituindo (I) em (II), teremos:
(d×q)+r = (d×q)\u2212k×d+n×(q\u2212k)+r \u2032 \u21d2 r \u2032 = r+k×d\u2212n×(q\u2212k)
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[SEC. 2.5: DIVISA\u2dcO 53
Como 0 \u2264 r \u2032 < d+ n, enta\u2dco 0 \u2264 r+ k× d \u2212 n× (q\u2212 k) < d + n
Dessa dupla desigualdade podemos escrever que:
1o ) r+ k× d+n× (k\u2212 q) \u2265 0\u21d2 n \u2265 \u2212r \u2212 k× d
k\u2212 q
e n \u2264 r+ k× d
q \u2212 k
2o ) r + k× d+ n× (k \u2212 q) < d+ n
n× (k \u2212 q\u2212 1) < d\u2212 r\u2212 k× d
n >
k× d\u2212 d+ r
q\u2212 k+ 1
ou ainda, n >
(k\u2212 1)× d + r
q \u2212 k
Portanto . . .
(k \u2212 1)× d+ r
q\u2212 k+ 1
< n \u2264 r+ k× d
q \u2212 k
8) Observando a soluc¸a\u2dco anterior, determinar:
a) os que valores que devem ser atribu´\u131dos a n, de modo que o quociente
na\u2dco se altere.
Fazendo k = 0, na desigualdade anterior, teremos:
\u2212d + r
q + 1
< n \u2264 r
q
Como n \u2208 N, concluiremos que n podera´ assumir va´rios valores e o
maior deles sera´ igual a
r
q
.
b) que valores podemos subtrair do divisor, de modo que o quociente
diminua de 1 unidade.
Fazendo k = 1 em
(k \u2212 1)× d+ r
q\u2212 k\u2212 1
< n \u2264 r+ k× d
q\u2212 k
, teremos:
r
q \u2212 2
< n \u2264 r+ d
q\u2212 1
9) Numa divisa\u2dco de dividendo D, divisor d, quociente q e resto r, calcular os
poss´\u131veis valores n a serem subtra´\u131dos ao divisor, de modo que o quociente
aumente de k unidades.
Resoluc¸a\u2dco:
D
\u2223\u2223d . . .D = d× q+ r, 0 \u2264 r < d . . . (I)
r q
D + n
\u2223\u2223d \u2212 n . . .D = (d\u2212 n)× (q + k) + r \u2032, 0 \u2264 r \u2032 < d\u2212 n . . . (II)
r \u2032 q+ k
Substituindo (I) em (II), teremos:
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54 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
(d×q)+r = (d×q)+k×d\u2212n×(q+k)+r \u2032 \u21d2 r \u2032 = r\u2212k×d+n×(q+k)
Como 0 \u2264 r \u2032 < d\u2212 n, enta\u2dco, 0 \u2264 r\u2212 k× d+ n× (q + k) < d\u2212 n...(III)
Dessa dupla desigualdade, podemos escrever:
1o ) r\u2212 k× d+ n× (q + k) \u2265 0\u21d2 n \u2265 k× d\u2212 r
q + k
2o ) r\u2212 k× d+ n× (q + k) < d\u2212 n\u21d2 n < (k+ 1)× d\u2212 r
q + k + 1
Conclusa\u2dco:
k× d\u2212 r
q + k
\u2264 n < (k+ 1)× d\u2212 r
q + k + 1
10) Analisando a soluc¸a\u2dco anterior, calcular:
a) o(s) valor(es) de n a serem diminu´\u131dos do divisor, sem que o quo-
ciente se altere.
Fazendo k = 0 em
k× d\u2212 r
q + k
\u2264 n < (k+ 1)× d \u2212 r
q+ k+ 1
, teremos:
\u2212r
q + 1
\u2264 n < d\u2212 r
q + 2
Como n \u2208 N, enta\u2dco, 0 \u2264 n < d\u2212 r
q + 2
b) os valores que podem assumir o nu´mero n, de modo que o quociente
aumente de 1 unidade.
Fazendo k = 1 em
k × d\u2212 r
q+ k
\u2264 n < (k + 1) × d\u2212 r
q+ k+ 1
, teremos:
d \u2212 r
q + 1
\u2264 n < 2× d\u2212 r
q+ 2
11) Numa divisa\u2dco de dividendoD, divisor d, quociente q e resto r, determinar
os poss´\u131veis valores naturais n a serem somados ao dividendo e ao divisor,
de modo que o quociente diminua de k unidades.
Resoluc¸a\u2dco:
D
\u2223\u2223d . . .D = d× q+ r, 0 \u2264 r < d . . . (I)
r q
D + n
\u2223\u2223d + n . . .D = (d+ n)× (q \u2212 k) + r \u2032 . . . (II)
r \u2032 q\u2212 k
com 0 \u2264 r \u2032 < d+ n . . .(III)
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[SEC. 2.5: DIVISA\u2dcO 55
Substituindo (I) em (II), teremos:
(d × q) + r+ n = d× q\u2212 d× k+ n× (q\u2212 k) + r \u2032
r \u2032 = r+ k× d+ n\u2212 n× (q \u2212 k)
ou ainda . . .
r \u2032 = r+ k× d+ n× (1\u2212 q+ k) . . . (IV)
Substituindo (IV) em (III), teremos:
0 \u2264 r+ k× d+ n× (1\u2212 q+ k) < d + n
Dessa dupla desigualdade, podemos escrever:
1o ) r + k× d+ n× (1\u2212 q+ k) \u2265 0
n× (1 \u2212 q + k) \u2265 \u2212r\u2212 k× d
n \u2265 \u2212r \u2212 k × d
1\u2212 q + k
ou n \u2264 r+ k × d
q\u2212 k\u2212 1
2o ) r + k× d+ n× (1\u2212 q+ k) < d+ n, ou ainda
n× (1 \u2212 q + k) \u2212 n < d \u2212 r\u2212 k× d
portanto . . .
n× (1 \u2212 q + k\u2212 1) < d \u2212 r\u2212 k× d
n <
d\u2212 r\u2212 k× d
\u2212q + k
ou n >
r+ (k\u2212 1)× d
q\u2212 k
r+ (k\u2212 1)× d
q\u2212 k
< n \u2264 k× d+ r
q\u2212 k\u2212 1
12) Analisando a dupla desigualdade anterior, determinar:
a) os valores que podem ser atribu´\u131dos a n, de modo que o quociente
na\u2dco se altere.
Fazendo k = 0 na expressa\u2dco anterior, teremos:
r\u2212 d
q
< n \u2264 r
q\u2212 1
b) os valores atribu´\u131dos a n, a fim de que o quociente diminua de 1
unidade.
Fazendo k = 1 em
r \u2212 d + k× d
q \u2212 k
< n \u2264 r + k× d
q \u2212 k \u2212 1
, teremos:
r
q \u2212 1
< n \u2264 r+ d
q\u2212 2
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56 [CAP. 2: OPERAC¸O\u2dcES FUNDAMENTAIS EM N
c) o maior valor N, de modo que o quociente diminua de 1 unidade?
Na inequac¸a\u2dco anterior, ve\u2c6-se facilmente que: N =
r+ d
q\u2212 2
13) Numa divisa\u2dco de dividendoD, divisor d, quociente q e resto r, determinar
os poss´\u131veis valores naturais n a serem subtra´\u131dos do dividendo e do
divisor, de modo que o quociente aumente de k unidades.
Resoluc¸a\u2dco:
D
\u2223\u2223d , D = d× q+ r , 0 \u2264 r < d (I)
r q
D \u2212 n
\u2223\u2223d \u2212 n , D\u2212 n = (d\u2212 n)× (q+ k) + r \u2032 . . . (II)
r \u2032 q + k
com 0 \u2264 r \u2032 < d\u2212 n . . .(III)
Substituindo (I) em (II), teremos:
(d× q) + r\u2212 n = d× q+ d× k\u2212 n× (q+ k) + r \u2032 \u21d2
r \u2032 = r\u2212 k× d \u2212 n+ n× (q + k)
ou ainda