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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 1 do Caderno Dida´tico, bem como comec¸ar a relembrar algumas operac¸o˜es aritme´ticas e expresso˜es alge´bricas. Exerc´ıcio 1 Considerando o conjunto C = {a, b, p, q}, complete convenientemente as lacunas com ∈, /∈, ⊂, 6⊂ ou = . a) q . . . C b) {q} . . . C c) w . . . C d) {p, q, w} . . . C e) {p, a, b, q} . . . C Exerc´ıcio 2 Um conjunto A e´ um subconjunto do conjunto B se A ⊂ B, isto e´, se todos os elementos de A sa˜o elementos de B. Alguns exemplos: • A = {1, 3} e´ subconjunto de B = {1, 2, 3, 4}; • A e´ subconjunto de A, pois A ⊂ A (todo elemento de A e´ elemento de A, certo?); • os subconjuntos na˜o vazios de X = {a, b, c} sa˜o {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}. a) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de A = {a, b}. b) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de B = {1, 2, 3, 4}. c) Baseando-se nos itens anteriores, voceˆ consegue dizer quantos subconjuntos na˜o vazios possui um conjunto de 2 exatamente elementos? E se ele tiver exatamente 3 elementos? E se tiver exatamente 4? Me´todos Determin´ısticos I EP1 2 Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 1, produzida pelas professoras Magda e Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma. Exerc´ıcio 3 Seja o conjunto U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Explicite os elementos de cada um dos conjuntos a seguir. a) A = {x ∈ U | x < 0} b) B = {x ∈ U | x2 + x− 20 = 0} c) C = {x ∈ U | − x− 7 = 10} d) D = {x ∈ U | x2 ≥ 0} Exerc´ıcio 4 Seja o conjunto U = {3, 5,−1,−7,−5,−2}. Verifique se os conjuntos A e B, a seguir, sa˜o iguais. a) A = { x ∈ U ∣∣ x− 3 2x = 0 } , B = { x ∈ U ∣∣ x > 0}. b) A = { x ∈ U ∣∣ x < −2}, B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0}. Exerc´ıcio 5 Pinte nos diagramas, a seguir, os conjuntos indicados. a) A ∩ (B − A) b) (A ∩B) ∩ C c) O complementar de C em A ∩B d) (A ∪B) ∩ C Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 3 Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C. Ainda, na˜o conhecemos o conjunto C. a) Determine A ∪B. b) Determine A ∩B. c) Determine B − A. d) Determine A−B. e) Determine B × A. f) Determine A×B. g) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C? h) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e que C ∩ A = {2, 3} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C? Exerc´ıcio 7 Se A = {−1, 0, 1, 2, 3} e B = {−4,−1, 0, 1, 4}, a) Determine A×B. b) Determine o conjunto R = {(x, y) ∈ A × B|x2 = y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) com x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x2 = y). c) Determine o conjunto S = {(x, y) ∈ A × B|x < y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) com x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x < y). Exerc´ıcio 8 Sendo W um conjunto, vamos denotar por n(W), o nu´mero de elementos em W . Sabendo que A e B sa˜o dois conjuntos em que n(A) = 15, n(B) = 11 e n(A∪B) = 23, determine: a) n(A ∩B) b) n(A−B). c) n(B − A). Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 2, produzida pela professora Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 4 Exerc´ıcio 9 Em um grupo de 100 crianc¸as: • 80 sa˜o meninas. • 50 teˆm menos de 10 anos. O nu´mero m´ınimo de meninas com 10 ou mais anos nesse grupo e´: (a) 0 (b) 10 (c) 20 (d) 30 (e) 50. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova para te´cnico em administrac¸a˜o geral da Eletroba´s em 2007. Prova elaborada pelo CNE/UFRJ Exerc´ıcio 10 Em uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se o seguinte resultado: 1100 leˆem o JB; 1300 leˆem o Estado; 1500 leˆem a Folha; 300 leˆem a JB e o Estado; 500 leˆem a Folha e o Estado; 400 leˆem a Folha e o JB; 100 leˆem a Folha, o JB e o Estado; E´ correto afirmar que: (a) 600 pessoas leˆem apenas o JB. (b) 500 pessoas leˆem apenas o Estado. (c) 900 pessoas na˜o leˆem nenhum dos treˆs jornais. (d) 400 pessoas leˆem apenas o Estado e a Folha. (e) 1200 pessoas leˆem mais de um dos treˆs jornais. Ao final desta EP, encontra uma sugesta˜o para a resoluc¸a˜o desta questa˜o. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF. Exerc´ıcio 11 Numa pesquisa sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas 3000 pessoas em um supermercado, sendo constatado que: 1440 consomem ervilhas; 1350 consomem milho; 1500 consomem palmito; 540 consomem ervilhas e milho; Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 5 750 consomem milho e palmito; 450 ervilhas e palmito; 150 na˜o consomem nenhum dos produtos selecionados; a) Determine a quantidade de entrevistados que consomem os treˆs produtos. b) Determine quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF. Exerc´ıcio 12 A operadora de telefonia mo´vel Chabu oferece diversas opc¸o˜es de pacotes de dados e minutos de voz. As opc¸o˜es de pacote de dados, em gigabytes, sa˜o 0.5, 1, 2, 5, 10 e as opc¸o˜es de minutos de voz sa˜o 100, 150, 200, 300, 500 e 1000. Um plano comercializado e´ um par ordenado (p, v) formado por um pacote de dados p e uma escolha de minutos de voz v, dentre os oferecidos pela empresa (listados acima) e de forma que sejam satisfeitas, ao mesmo tempo, as desigualdades: v ≥ 100p e v ≤ 300p. Por exemplo, (2, 300) e´ um plano comercializado, pois, nele, p = 2 e v = 300, e temos 300 ≥ 100 · 2 e 300 ≤ 300 · 2, de modo que as desigualdades v ≥ 100p e v ≤ 300p sa˜o ambas satisfeitas. Por outro lado, (0.5, 300) na˜o e´ um plano comercializado, pois a desigualdade 300 ≤ 300 · 0.5 e´ falsa e, com isso, na˜o e´ satisfeita a segunda condic¸a˜o, v ≤ 300p. Da mesma forma, (10, 100) tambe´m na˜o e´ um plano comercializado, pois a desigualdade 100 ≥ 100 · 10 e´ falsa, na˜o sendo portanto satisfeita a primeira condic¸a˜o v ≥ 100p. Lembre-se de que, em um plano comercializado, as duas desigualdades precisam ser satisfeitas. a) Determine o conjunto PD de pacotes de dados. b) Determine o conjunto MV de minutos de voz. c) Determine o conjunto dos planos comercializados pela Chabu. Exerc´ıcio 13 A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funciona´rio em uma viagem a um cliente, para agilizar a aprovac¸a˜o de alguns contratos pendentes. O funciona´rio deve embarcar para o cliente na semana que comec¸a no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que comec¸a no dia 8 e termina no dia 14. Chamaremos de poss´ıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos crite´rios acima. Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 e´ uma poss´ıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 e´ outra poss´ıvel viagem. Ida em 1 e volta em 6 na˜o e´ uma poss´ıvel viagem, pois a volta na˜o esta´ na semana de 8 a 14. O nu´mero de dia´rias de uma poss´ıvel viagem e´ a diferenc¸a entre as datas de ida e volta, isto e´, v− i, onde i e´ a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a poss´ıvel viagem que comec¸a no dia 2 e termina no dia 11 tem 11− 2 = 9 dia´rias. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 6 i. Explique como e por que uma poss´ıvel viagem pode ser representada por um par ordenado. Este par ordenado pertence ao produto cartesiano de quais conjuntos? ii. De acordo com sua resposta ao item acima, determine o conjunto V de todas as poss´ıveis viagens. iii. Como o funciona´rio tera´ muito trabalho em sua ida ao cliente, uma poss´ıvel viagem e´ consi-derada proveitosa se tiver a durac¸a˜o de, no m´ınimo, 9 dia´rias. Se P e´ o conjunto de todas as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que P ⊂ V . iv. Represente o conjunto P enumerando seus elementos. O prec¸o da passagem de ida no dia i e´ representado por p(i). Assim, p(2) e´, por exemplo, o prec¸o da passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o prec¸o da passagem de volta no dia v e´ representado por p′(v). Assim, p′(10) e´ o prec¸o da passagem de volta no dia 10. Os prec¸os das passagens, para cada dia, sa˜o dados abaixo: Viagem de ida: Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7 Prec¸o em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00 Viagem de volta: Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14 Prec¸o em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00 Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00. O custo de uma poss´ıvel viagem e´ dado pela soma dos prec¸os das passagens de ida e de volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria. Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00. Note que 12− 3 e´ o nu´mero de dia´rias. O custo-benef´ıcio de uma poss´ıvel viagem e´ obtido dividindo o custo pelo nu´mero de dia´rias. Assim, a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef´ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00. Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se o custo benef´ıcio for menor do que R$ 500,00. v. Qual e´ o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef´ıcio desta viagem? vi. Se A e´ o conjunto das viagens via´veis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade. Diga por que A ⊂ V . vii. A empresa quer que a viagem de seu funciona´rio seja proveitosa e via´vel. Represente, por meio de uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V , P e A (na˜o necessariamente todos), bem como as operac¸o˜es entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes crite´rios. Por razo˜es de foro ı´ntimo, o funciona´rio diz que na˜o pode voar a`s quintas-feiras e sextas-feiras, que caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As poss´ıveis viagens que possuem algum voo nestas datas sa˜o chamadas, pelo funciona´rio, de amaldic¸oadas, e o conjunto das viagens amaldic¸oadas e´ denotado por M . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 7 viii. Represente, por uma propriedade, o conjunto M . ix. Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M . x. A empresa resolveu compreender as questo˜es ı´ntimas de seu funciona´rio e na˜o deseja sub- meteˆ-lo a uma viagem amaldic¸oada, afinal, ele na˜o seria nada produtivo nessas circunstaˆncias. Determine, por uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V, P,A e M (na˜o necessariamente todos) e suas operac¸o˜es, o conjunto D das viagens que o funciona´rio podera´ fazer. xi. Represente o conjunto D enumerando seus elementos. [Em algum momento, voceˆ precisara´ calcular o custo-benef´ıcio das viagens. Se prestar atenc¸a˜o ao que esta´ sendo pedido, voceˆ na˜o precisara´ calcular o custo-benef´ıcio de todas as poss´ıveis viagens (que sa˜o muitas!!!)] Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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