Análise Dimensional e Semelhança em Escoamentos

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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Análise Dimensional e Semelhança
Paulo R. de Souza Mendes
Departamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
Novembro de 2004
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Outline
1 Introdução
2 Teoria da análise dimensional
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
3 Semelhança de escoamentos: modelos
O conceito de semelhança
Exemplo
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Para que servem?
Raramente escoamentos têm solução analítica
Resultados experimentais são necessários
A análise dimensional minimiza o número de experiências,
e compacta a apresentação dos dados
O princípio da semelhança permite o uso de modelos em
escala reduzida
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Para que servem?
Raramente escoamentos têm solução analítica
Resultados experimentais são necessários
A análise dimensional minimiza o número de experiências,
e compacta a apresentação dos dados
O princípio da semelhança permite o uso de modelos em
escala reduzida
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Para que servem?
Raramente escoamentos têm solução analítica
Resultados experimentais são necessários
A análise dimensional minimiza o número de experiências,
e compacta a apresentação dos dados
O princípio da semelhança permite o uso de modelos em
escala reduzida
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Para que servem?
Raramente escoamentos têm solução analítica
Resultados experimentais são necessários
A análise dimensional minimiza o número de experiências,
e compacta a apresentação dos dados
O princípio da semelhança permite o uso de modelos em
escala reduzida
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O que é análise dimensional?
Os escoamentos são regidos por parâmetros dinâmicos,
geométricos e outros. Exemplo: força de arraste em uma
esfera lisa:
F = f (D,V , µ, ρ)
O número de experimentos necessários para determinar f
seria muito grande, e o volume de gráficos e tabelas
gerados seria gigantesco.
A análise dimensional reduz o número de experimentos e
amplia a faixa de utilização dos resultados.
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O que é análise dimensional?
Os escoamentos são regidos por parâmetros dinâmicos,
geométricos e outros. Exemplo: força de arraste em uma
esfera lisa:
F = f (D,V , µ, ρ)
O número de experimentos necessários para determinar f
seria muito grande, e o volume de gráficos e tabelas
gerados seria gigantesco.
A análise dimensional reduz o número de experimentos e
amplia a faixa de utilização dos resultados.
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O que é análise dimensional?
Os escoamentos são regidos por parâmetros dinâmicos,
geométricos e outros. Exemplo: força de arraste em uma
esfera lisa:
F = f (D,V , µ, ρ)
O número de experimentos necessários para determinar f
seria muito grande, e o volume de gráficos e tabelas
gerados seria gigantesco.
A análise dimensional reduz o número de experimentos e
amplia a faixa de utilização dos resultados.
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Teorema dos Π de Buckngham.
Seja uma relação entre n parâmetros na forma
g(q1,q2, · · · ,qn) = 0
Então os n parâmetros podem ser agrupados em n −m
razões independentes adimensionais (os parâmetros Πi ),
que se relacionam através de
G(Π1,Π2, · · · ,Πn−m) = 0
m é em geral (mas nem sempre) igual ao número mínimo
de dimensões primárias envolvidas nas dimensões dos
parâmetros, r . Isto é, em geral m = r , mas nem sempre.
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Teorema dos Π de Buckngham.
Seja uma relação entre n parâmetros na forma
g(q1,q2, · · · ,qn) = 0
Então os n parâmetros podem ser agrupados em n −m
razões independentes adimensionais (os parâmetros Πi ),
que se relacionam através de
G(Π1,Π2, · · · ,Πn−m) = 0
m é em geral (mas nem sempre) igual ao número mínimo
de dimensões primárias envolvidas nas dimensões dos
parâmetros, r . Isto é, em geral m = r , mas nem sempre.
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Teorema dos Π de Buckngham.
Seja uma relação entre n parâmetros na forma
g(q1,q2, · · · ,qn) = 0
Então os n parâmetros podem ser agrupados em n −m
razões independentes adimensionais (os parâmetros Πi ),
que se relacionam através de
G(Π1,Π2, · · · ,Πn−m) = 0
m é em geral (mas nem sempre) igual ao número mínimo
de dimensões primárias envolvidas nas dimensões dos
parâmetros, r . Isto é, em geral m = r , mas nem sempre.
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. I
1 Listar todos os parâmetros envolvidos.
2 Selecionar um conjunto de dimensões primárias (ex.: MLt).
3 Escrever todos os parâmetros em termos de suas
dimensões primárias. Determinar r e m (ver exemplo a
seguir).
4 Selecionar m parâmetros que aparecerão em todos os
grupos. Estes não podem envolver as mesmas dimensões
primárias, mesmo que diferindo por um expoente. O
parâmetro dependente também não deve ser selecionado.
5 Escrever as equações dimensionais, combinando os
parâmetros repetidos com cada um dos que sobraram.
6 Verificar se os parâmetros Π obtidos são realmente
adimensionais.
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. I
1 Listar todos os parâmetros envolvidos.
2 Selecionar um conjunto de dimensões primárias (ex.: MLt).
3 Escrever todos os parâmetros em termos de suas
dimensões primárias. Determinar r e m (ver exemplo a
seguir).
4 Selecionar m parâmetros que aparecerão em todos os
grupos. Estes não podem envolver as mesmas dimensões
primárias, mesmo que diferindo por um expoente. O
parâmetro dependente também não deve ser selecionado.
5Escrever as equações dimensionais, combinando os
parâmetros repetidos com cada um dos que sobraram.
6 Verificar se os parâmetros Π obtidos são realmente
adimensionais.
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. I
1 Listar todos os parâmetros envolvidos.
2 Selecionar um conjunto de dimensões primárias (ex.: MLt).
3 Escrever todos os parâmetros em termos de suas
dimensões primárias. Determinar r e m (ver exemplo a
seguir).
4 Selecionar m parâmetros que aparecerão em todos os
grupos. Estes não podem envolver as mesmas dimensões
primárias, mesmo que diferindo por um expoente. O
parâmetro dependente também não deve ser selecionado.
5 Escrever as equações dimensionais, combinando os
parâmetros repetidos com cada um dos que sobraram.
6 Verificar se os parâmetros Π obtidos são realmente
adimensionais.
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. I
1 Listar todos os parâmetros envolvidos.
2 Selecionar um conjunto de dimensões primárias (ex.: MLt).
3 Escrever todos os parâmetros em termos de suas
dimensões primárias. Determinar r e m (ver exemplo a
seguir).
4 Selecionar m parâmetros que aparecerão em todos os
grupos. Estes não podem envolver as mesmas dimensões
primárias, mesmo que diferindo por um expoente. O
parâmetro dependente também não deve ser selecionado.
5 Escrever as equações dimensionais, combinando os
parâmetros repetidos com cada um dos que sobraram.
6 Verificar se os parâmetros Π obtidos são realmente
adimensionais.
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. I
1 Listar todos os parâmetros envolvidos.
2 Selecionar um conjunto de dimensões primárias (ex.: MLt).
3 Escrever todos os parâmetros em termos de suas
dimensões primárias. Determinar r e m (ver exemplo a
seguir).
4 Selecionar m parâmetros que aparecerão em todos os
grupos. Estes não podem envolver as mesmas dimensões
primárias, mesmo que diferindo por um expoente. O
parâmetro dependente também não deve ser selecionado.
5 Escrever as equações dimensionais, combinando os
parâmetros repetidos com cada um dos que sobraram.
6 Verificar se os parâmetros Π obtidos são realmente
adimensionais.
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. I
1 Listar todos os parâmetros envolvidos.
2 Selecionar um conjunto de dimensões primárias (ex.: MLt).
3 Escrever todos os parâmetros em termos de suas
dimensões primárias. Determinar r e m (ver exemplo a
seguir).
4 Selecionar m parâmetros que aparecerão em todos os
grupos. Estes não podem envolver as mesmas dimensões
primárias, mesmo que diferindo por um expoente. O
parâmetro dependente também não deve ser selecionado.
5 Escrever as equações dimensionais, combinando os
parâmetros repetidos com cada um dos que sobraram.
6 Verificar se os parâmetros Π obtidos são realmente
adimensionais.
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. II
Comentários:
A relação G entre os parâmetros Π obtidos deve ser
determinada experimentalmente.
Os parâmetros Π obtidos são independentes mas não
únicos. Uma escolha diferente dos parâmetros repetidos
resulta em diferentes grupos Π.
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Procedimento para obter os grupos Π. II
Comentários:
A relação G entre os parâmetros Π obtidos deve ser
determinada experimentalmente.
Os parâmetros Π obtidos são independentes mas não
únicos. Uma escolha diferente dos parâmetros repetidos
resulta em diferentes grupos Π.
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. I
V
Hipótese inicial: F = f (V ,D, ρ, µ)
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dosgrupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. II
1 F ,V ,D, ρ, µ
2 M,L, t
3 [F ] = ML
t2
; [V ] = L
t
; [D] = L; [ρ] = ML3 ; [µ] =
M
Lt .(três dimensões primárias: r = 3).
Para determinar m, montamos a matriz dimensional:
F V D ρ µ
M 1 0 0 1 1
L 1 1 1 -3 -1
t -2 -1 0 0 -1
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. III
m é o grau da matriz dimensional, isto é, é a ordem de seu
maior determinante não nulo. Neste caso, por inspeção, vê-se
que há pelo menos um determinante de ordem 3 não nulo:∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 1 1
−2 −1 0
∣∣∣∣∣∣ =
(1× 1× 0) + (0× 1×−2) + (1×−1× 0)−
[(−2× 1× 0) + (1× 1×−1) + (0× 1× 0)] = 1
Logo, m = r = 3 neste caso.
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. III
m é o grau da matriz dimensional, isto é, é a ordem de seu
maior determinante não nulo. Neste caso, por inspeção, vê-se
que há pelo menos um determinante de ordem 3 não nulo:∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 1 1
−2 −1 0
∣∣∣∣∣∣ =
(1× 1× 0) + (0× 1×−2) + (1×−1× 0)−
[(−2× 1× 0) + (1× 1×−1) + (0× 1× 0)] = 1
Logo, m = r = 3 neste caso.
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. III
m é o grau da matriz dimensional, isto é, é a ordem de seu
maior determinante não nulo. Neste caso, por inspeção, vê-se
que há pelo menos um determinante de ordem 3 não nulo:∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 1 1
−2 −1 0
∣∣∣∣∣∣ =
(1× 1× 0) + (0× 1×−2) + (1×−1× 0)−
[(−2× 1× 0) + (1× 1×−1) + (0× 1× 0)] = 1
Logo, m = r = 3 neste caso.
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. III
m é o grau da matriz dimensional, isto é, é a ordem de seu
maior determinante não nulo. Neste caso, por inspeção, vê-se
que há pelo menos um determinante de ordem 3 não nulo:∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 1 1
−2 −1 0
∣∣∣∣∣∣ =
(1× 1× 0) + (0× 1×−2) + (1×−1× 0)−
[(−2× 1× 0) + (1× 1×−1) + (0× 1× 0)] = 1
Logo, m = r = 3 neste caso.
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. IV
4 Parâmetros repetidos: ρ,V ,D
5 Equações dimensionais:
Π1 = ρ
aV bDcF
Logo, (
M
L3
)a (L
t
)b
(L)c
(
ML
t2
)
= M0L0t0
ou seja,
M : a + 1 = 0
L : −3a + b + c + 1 = 0
t : −b − 2 = 0
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Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. IV
4 Parâmetros repetidos: ρ,V ,D
5 Equações dimensionais:
Π1 = ρ
aV bDcF
Logo, (
M
L3
)a (L
t
)b
(L)c
(
ML
t2
)
= M0L0t0
ou seja,
M : a + 1 = 0
L : −3a + b + c + 1 = 0
t : −b − 2 = 0
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. IV
4 Parâmetros repetidos: ρ,V ,D
5 Equações dimensionais:
Π1 = ρ
aV bDcF
Logo, (
M
L3
)a (L
t
)b
(L)c
(
ML
t2
)
= M0L0t0
ou seja,
M : a + 1 = 0
L : −3a + b + c + 1 = 0
t : −b − 2= 0
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. IV
4 Parâmetros repetidos: ρ,V ,D
5 Equações dimensionais:
Π1 = ρ
aV bDcF
Logo, (
M
L3
)a (L
t
)b
(L)c
(
ML
t2
)
= M0L0t0
ou seja,
M : a + 1 = 0
L : −3a + b + c + 1 = 0
t : −b − 2 = 0
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. IV
4 Parâmetros repetidos: ρ,V ,D
5 Equações dimensionais:
Π1 = ρ
aV bDcF
Logo, (
M
L3
)a (L
t
)b
(L)c
(
ML
t2
)
= M0L0t0
ou seja,
M : a + 1 = 0
L : −3a + b + c + 1 = 0
t : −b − 2 = 0
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Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. V
o que implica a = −1, b = −2 e c = −2.
Portanto,
Π1 =
F
ρV 2D2
Analogamente, Π2 = ρdV eDfµ, e(
M
L3
)d (L
t
)e
(L)f
(
M
Lt
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : −3d + e + f − 1 = 0
t : −e − 1 = 0
o que implica d = −1, e = −1 e f = −1.
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. V
o que implica a = −1, b = −2 e c = −2.
Portanto,
Π1 =
F
ρV 2D2
Analogamente, Π2 = ρdV eDfµ, e(
M
L3
)d (L
t
)e
(L)f
(
M
Lt
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : −3d + e + f − 1 = 0
t : −e − 1 = 0
o que implica d = −1, e = −1 e f = −1.
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. V
o que implica a = −1, b = −2 e c = −2.
Portanto,
Π1 =
F
ρV 2D2
Analogamente, Π2 = ρdV eDfµ, e(
M
L3
)d (L
t
)e
(L)f
(
M
Lt
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : −3d + e + f − 1 = 0
t : −e − 1 = 0
o que implica d = −1, e = −1 e f = −1.
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Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. V
o que implica a = −1, b = −2 e c = −2.
Portanto,
Π1 =
F
ρV 2D2
Analogamente, Π2 = ρdV eDfµ, e(
M
L3
)d (L
t
)e
(L)f
(
M
Lt
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : −3d + e + f − 1 = 0
t : −e − 1 = 0
o que implica d = −1, e = −1 e f = −1.
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. V
o que implica a = −1, b = −2 e c = −2.
Portanto,
Π1 =
F
ρV 2D2
Analogamente, Π2 = ρdV eDfµ, e(
M
L3
)d (L
t
)e
(L)f
(
M
Lt
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : −3d + e + f − 1 = 0
t : −e − 1 = 0
o que implica d = −1, e = −1 e f = −1.
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. V
o que implica a = −1, b = −2 e c = −2.
Portanto,
Π1 =
F
ρV 2D2
Analogamente, Π2 = ρdV eDfµ, e(
M
L3
)d (L
t
)e
(L)f
(
M
Lt
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : −3d + e + f − 1 = 0
t : −e − 1 = 0
o que implica d = −1, e = −1 e f = −1.
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. VI
Logo,
Π2 =
µ
ρVD
Logo, conclui-se que
F
ρV 2D2 = f
∗
(
µ
ρVD
)
6 Testando se Π1 e Π2 são mesmo adimensionais:
[Π1] :
ML
t2(M
L3
) (L
t
)2
(L)2
= 1; [Π2] :
M
Lt(M
L3
) (L
t
)
(L)
= 1.
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. VI
Logo,
Π2 =
µ
ρVD
Logo, conclui-se que
F
ρV 2D2 = f
∗
(
µ
ρVD
)
6 Testando se Π1 e Π2 são mesmo adimensionais:
[Π1] :
ML
t2(M
L3
) (L
t
)2
(L)2
= 1; [Π2] :
M
Lt(M
L3
) (L
t
)
(L)
= 1.
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Força de arraste em uma esfera. VI
Logo,
Π2 =
µ
ρVD
Logo, conclui-se que
F
ρV 2D2 = f
∗
(
µ
ρVD
)
6 Testando se Π1 e Π2 são mesmo adimensionais:
[Π1] :
ML
t2(M
L3
) (L
t
)2
(L)2
= 1; [Π2] :
M
Lt(M
L3
) (L
t
)
(L)
= 1.
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Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. I
Δh
D
Hipótese inicial: ∆h = f (D, γ, σ)
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Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ]= ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. II
1 ∆h,D, γ, σ
2 M,L, t
3 [∆h] = L; [D] = L; [γ] = ML2t2 ; [σ] =
M
t2(três dimensões primárias: r = 3)
Matriz dimensional:
∆h D γ σ
M 0 0 1 1
L 1 1 -2 0
t 0 0 -2 -2
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Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. III
Neste caso, por inspeção, vê-se que não há nenhum
determinante de ordem 3 não nulo. O maior não nulo é de
ordem 2:∣∣∣∣∣∣
0 0 1
1 1 −2
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∣∣∣∣∣∣
0 1 1
1 −2 0
0 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∣∣∣∣ −2 0−2 −2
∣∣∣∣ = 4
Logo, m = 2 6= r neste caso.
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. III
Neste caso, por inspeção, vê-se que não há nenhum
determinante de ordem 3 não nulo. O maior não nulo é de
ordem 2:∣∣∣∣∣∣
0 0 1
1 1 −2
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∣∣∣∣∣∣
0 1 1
1 −2 0
0 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∣∣∣∣ −2 0−2 −2
∣∣∣∣ = 4
Logo, m = 2 6= r neste caso.
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Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. III
Neste caso, por inspeção, vê-se que não há nenhum
determinante de ordem 3 não nulo. O maior não nulo é de
ordem 2:∣∣∣∣∣∣
0 0 1
1 1 −2
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∣∣∣∣∣∣
0 1 1
1 −2 0
0 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∣∣∣∣ −2 0−2 −2
∣∣∣∣ = 4
Logo, m = 2 6= r neste caso.
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. IV
4 Parâmetros repetidos: D, γ
5 Equações dimensionais:
Π1 = Daγb∆h
Logo,
(L)a
(
M
L2t2
)b
(L) = M0L0t0
ou seja,
M : b + 0 = 0
L : a− 2b + 1 = 0
t : −2b + 0 = 0
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. IV
4 Parâmetros repetidos: D, γ
5 Equações dimensionais:
Π1 = Daγb∆h
Logo,
(L)a
(
M
L2t2
)b
(L) = M0L0t0
ou seja,
M : b + 0 = 0
L : a− 2b + 1 = 0
t : −2b + 0 = 0
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. IV
4 Parâmetros repetidos: D, γ
5 Equações dimensionais:
Π1 = Daγb∆h
Logo,
(L)a
(
M
L2t2
)b
(L) = M0L0t0
ou seja,
M : b + 0 = 0
L : a− 2b + 1 = 0
t : −2b + 0 = 0
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. IV
4 Parâmetros repetidos: D, γ
5 Equações dimensionais:
Π1 = Daγb∆h
Logo,
(L)a
(
M
L2t2
)b
(L) = M0L0t0
ou seja,
M : b + 0 = 0
L : a− 2b + 1 = 0
t : −2b + 0 = 0
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. IV
4 Parâmetros repetidos: D, γ
5 Equações dimensionais:
Π1 = Daγb∆h
Logo,
(L)a
(
M
L2t2
)b
(L) = M0L0t0
ou seja,
M : b + 0 = 0
L : a− 2b + 1 = 0
t : −2b + 0 = 0
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. V
o que implica a = −1 e b = 0. Portanto,
Π1 =
∆h
D
Analogamente, Π2 = Dcγdσ, e
(L)c
(
M
L2t2
)d (M
t2
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : c − 2d = 0
t : −2d − 2 = 0
o que implica c = −2 e d = −1. Logo,
Π2 =
σ
D2γ
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. V
o que implica a = −1 e b = 0. Portanto,
Π1 =
∆h
D
Analogamente, Π2 = Dcγdσ, e
(L)c
(
M
L2t2
)d (M
t2
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : c − 2d = 0
t : −2d − 2 = 0
o que implica c = −2 e d = −1. Logo,
Π2 =
σ
D2γ
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. V
o que implica a = −1 e b = 0. Portanto,
Π1 =
∆h
D
Analogamente, Π2 = Dcγdσ, e
(L)c
(
M
L2t2
)d (M
t2
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : c − 2d = 0
t : −2d − 2 = 0
o que implica c = −2 e d = −1. Logo,
Π2 =
σ
D2γ
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Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. V
o que implica a = −1 e b = 0. Portanto,
Π1 =
∆h
D
Analogamente, Π2 = Dcγdσ, e
(L)c
(
M
L2t2
)d (M
t2
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : c − 2d = 0
t : −2d − 2 = 0
o que implica c = −2 e d = −1. Logo,
Π2 =
σ
D2γ
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. V
o que implica a = −1 e b = 0. Portanto,
Π1 =
∆h
D
Analogamente, Π2 = Dcγdσ, e
(L)c
(
M
L2t2
)d (M
t2
)
= M0L0t0
M : d + 1 = 0
L : c − 2d = 0
t : −2d − 2 = 0
o que implica c = −2 e d = −1. Logo,
Π2 =
σ
D2γ
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Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
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Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. VI
Logo, conclui-se que
∆h
D = f
∗
(
σ
D2γ
)
6 Testando se Π1 e Π2 são mesmo adimensionais:
Π1 :
L
L = 1; Π2 :
M
t2
L2
(
M
L2t2
) = 1.
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Efeito capilar. VI
Logo, conclui-se que
∆h
D = f
∗
(
σ
D2γ
)
6 Testando se Π1 e Π2 são mesmo adimensionais:
Π1 :
L
L = 1; Π2 :
M
t2
L2
(
M
L2t2
) = 1.
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Valores característicos de forças importantes.
Força de inércia
= ma ∼ ρL
3du
dt ∼ ρL
3u
du
dx ∼ ρL
3 V 2
L ∼ ρV
2L2
Força viscosa = τA ∼ µdudy L
2 ∼ µVL L
2 ∼ µVL
Força de pressão = ∆pA ∼ ∆pL2
Força da gravidade = mg ∼ gρL3
Força de tensão superficial = σL
Força de compressibilidade = Ev A ∼ Ev L2, onde
Ev ≡ ρ∂p(ρ,T )∂ρ
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Valores característicos de forças importantes.
Força de inércia
= ma ∼ ρL
3du
dt ∼ ρL
3u
du
dx ∼ ρL
3 V 2
L ∼ ρV
2L2
Força viscosa = τA ∼ µdudy L
2 ∼ µVL L
2 ∼ µVL
Força de pressão = ∆pA ∼ ∆pL2
Força da gravidade = mg ∼ gρL3
Força de tensão superficial = σL
Força de compressibilidade = Ev A ∼ Ev L2, onde
Ev ≡ ρ∂p(ρ,T )∂ρ
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Valores característicos de forças importantes.
Força de inércia
= ma ∼ ρL
3du
dt ∼ ρL
3u
du
dx ∼ ρL
3 V 2
L ∼ ρV
2L2
Força viscosa = τA ∼ µdudy L
2 ∼ µVL L
2 ∼ µVL
Força de pressão = ∆pA ∼ ∆pL2
Força da gravidade = mg ∼ gρL3
Força de tensão superficial = σL
Força de compressibilidade = Ev A ∼ Ev L2, onde
Ev ≡ ρ∂p(ρ,T )∂ρ
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Valores característicos de forças importantes.
Força de inércia
= ma ∼ ρL
3du
dt ∼ ρL
3u
du
dx ∼ ρL
3 V 2
L ∼ ρV
2L2
Força viscosa = τA ∼ µdudy L
2 ∼ µVL L
2 ∼ µVL
Força de pressão = ∆pA ∼ ∆pL2
Força da gravidade = mg ∼ gρL3
Força de tensão superficial = σL
Força de compressibilidade = Ev A ∼ Ev L2, onde
Ev ≡ ρ∂p(ρ,T )∂ρ
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Valores característicos de forças importantes.
Força de inércia
= ma ∼ ρL
3du
dt ∼ ρL
3u
du
dx ∼ ρL
3 V 2
L ∼ ρV
2L2
Força viscosa = τA ∼ µdudy L
2 ∼ µVL L
2 ∼ µVL
Força de pressão = ∆pA ∼ ∆pL2
Força da gravidade = mg ∼ gρL3
Força de tensão superficial = σL
Força de compressibilidade = Ev A ∼ Ev L2, onde
Ev ≡ ρ∂p(ρ,T )∂ρ
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Valores característicos de forças importantes.
Força de inércia
= ma ∼ ρL
3du
dt ∼ ρL
3u
du
dx ∼ ρL
3 V 2
L ∼ ρV
2L2
Força viscosa = τA ∼ µdudy L
2 ∼ µVL L
2 ∼ µVL
Força de pressão = ∆pA ∼ ∆pL2
Força da gravidade = mg ∼ gρL3
Força de tensão superficial = σL
Força de compressibilidade = Ev A ∼ Ev L2, onde
Ev ≡ ρ∂p(ρ,T )∂ρ
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Grupos adimensionais mais comuns.
No. de Reynolds: Re = ρVL
µ
=
ρV 2L2
µVL
No. de Euler: Eu = ∆p1
2ρV 2
Índice de cavitação: Ca = p − pv1
2ρV 2
No. de Froude: Fr = V√
gL
; Fr2 = V
2
gL =
ρV 2L2
ρgL3
No. de Weber: We = ρV
2L
σ
=
ρV 2L2
σL
No. de Mach:
M = V
c
; M2 = V
2
c2
=
V 2
∂p(ρ,T )
∂ρ=
V 2
Ev
ρ
=
ρV 2L2
Ev L2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Grupos adimensionais mais comuns.
No. de Reynolds: Re = ρVL
µ
=
ρV 2L2
µVL
No. de Euler: Eu = ∆p1
2ρV 2
Índice de cavitação: Ca = p − pv1
2ρV 2
No. de Froude: Fr = V√
gL
; Fr2 = V
2
gL =
ρV 2L2
ρgL3
No. de Weber: We = ρV
2L
σ
=
ρV 2L2
σL
No. de Mach:
M = V
c
; M2 = V
2
c2
=
V 2
∂p(ρ,T )
∂ρ
=
V 2
Ev
ρ
=
ρV 2L2
Ev L2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Grupos adimensionais mais comuns.
No. de Reynolds: Re = ρVL
µ
=
ρV 2L2
µVL
No. de Euler: Eu = ∆p1
2ρV 2
Índice de cavitação: Ca = p − pv1
2ρV 2
No. de Froude: Fr = V√
gL
; Fr2 = V
2
gL =
ρV 2L2
ρgL3
No. de Weber: We = ρV
2L
σ
=
ρV 2L2
σL
No. de Mach:
M = V
c
; M2 = V
2
c2
=
V 2
∂p(ρ,T )
∂ρ
=
V 2
Ev
ρ
=
ρV 2L2
Ev L2
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Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Grupos adimensionais mais comuns.
No. de Reynolds: Re = ρVL
µ
=
ρV 2L2
µVL
No. de Euler: Eu = ∆p1
2ρV 2
Índice de cavitação: Ca = p − pv1
2ρV 2
No. de Froude: Fr = V√
gL
; Fr2 = V
2
gL =
ρV 2L2
ρgL3
No. de Weber: We = ρV
2L
σ
=
ρV 2L2
σL
No. de Mach:
M = V
c
; M2 = V
2
c2
=
V 2
∂p(ρ,T )
∂ρ
=
V 2
Ev
ρ
=
ρV 2L2
Ev L2
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Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Grupos adimensionais mais comuns.
No. de Reynolds: Re = ρVL
µ
=
ρV 2L2
µVL
No. de Euler: Eu = ∆p1
2ρV 2
Índice de cavitação: Ca = p − pv1
2ρV 2
No. de Froude: Fr = V√
gL
; Fr2 = V
2
gL =
ρV 2L2
ρgL3
No. de Weber: We = ρV
2L
σ
=
ρV 2L2
σL
No. de Mach:
M = V
c
; M2 = V
2
c2
=
V 2
∂p(ρ,T )
∂ρ
=
V 2
Ev
ρ
=
ρV 2L2
Ev L2
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Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
Teorema dos Π de Buckngham
Obtenção dos grupos adimensionais
Exemplo 1
Exemplo 2
Significado físico dos grupos adimensionais
Grupos adimensionais mais comuns.
No. de Reynolds: Re = ρVL
µ
=
ρV 2L2
µVL
No. de Euler: Eu = ∆p1
2ρV 2
Índice de cavitação: Ca = p − pv1
2ρV 2
No. de Froude: Fr = V√
gL
; Fr2 = V
2
gL =
ρV 2L2
ρgL3
No. de Weber: We = ρV
2L
σ
=
ρV 2L2
σL
No. de Mach:
M = V
c
; M2 = V
2
c2
=
V 2
∂p(ρ,T )
∂ρ
=
V 2
Ev
ρ
=
ρV 2L2
Ev L2
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O conceito de semelhança
Exemplo
Semelhança geométrica: modelo e protótipo têm a mesma
forma, e todas as dimensões lineares diferem por um fator
de escala constante.
Semelhança cinemática: velocidades correspondentes
têm mesma direção e sentido, e as magnitudes
correspondentes diferem por um fator de escala constante.
Semelhança dinâmica: forças têm mesma direção e
sentido, e as magnitudes correspondentes diferem por um
fator de escala constante.
Sem. dinâmica 7→ Sem. cinemática 7→ Sem. geométrica
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O conceito de semelhança
Exemplo
Semelhança geométrica: modelo e protótipo têm a mesma
forma, e todas as dimensões lineares diferem por um fator
de escala constante.
Semelhança cinemática: velocidades correspondentes
têm mesma direção e sentido, e as magnitudes
correspondentes diferem por um fator de escala constante.
Semelhança dinâmica: forças têm mesma direção e
sentido, e as magnitudes correspondentes diferem por um
fator de escala constante.
Sem. dinâmica 7→ Sem. cinemática 7→ Sem. geométrica
Paulo R. de Souza Mendes Análise Dimensional e Semelhança
Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O conceito de semelhança
Exemplo
Semelhança geométrica: modelo e protótipo têm a mesma
forma, e todas as dimensões lineares diferem por um fator
de escala constante.
Semelhança cinemática: velocidades correspondentes
têm mesma direção e sentido, e as magnitudes
correspondentes diferem por um fator de escala constante.
Semelhança dinâmica: forças têm mesma direção e
sentido, e as magnitudes correspondentes diferem por um
fator de escala constante.
Sem. dinâmica 7→ Sem. cinemática 7→ Sem. geométrica
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O conceito de semelhança
Exemplo
Semelhança geométrica: modelo e protótipo têm a mesma
forma, e todas as dimensões lineares diferem por um fator
de escala constante.
Semelhança cinemática: velocidades correspondentes
têm mesma direção e sentido, e as magnitudes
correspondentes diferem por um fator de escala constante.
Semelhança dinâmica: forças têm mesma direção e
sentido, e as magnitudes correspondentes diferem por um
fator de escala constante.
Sem. dinâmica 7→ Sem. cinemática 7→ Sem. geométrica
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O conceito de semelhança
Exemplo
Arraste sobre um transdutor de sonar. I
Deseja-se prever o arraste em um transdutor de sonar com
base em testes de túnel de vento. O protótipo (uma esfera,
D = 1 ft) deve ser rebocado a 5 nós na água do mar, a 5oC. O
modelo tem D = 6 in. Achar a velocidade do ar no túnel de
vento. Se o arraste medido em laboratório for F = 5,58 lbf,
estime o arraste sobre o protótipo.
Solução: Vimos que
F
ρV 2D2 = f
(
ρVD
µ
)
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O conceito de semelhança
Exemplo
Arraste sobre um transdutor de sonar. II
Logo, deve-se conduzir o teste de forma que
Remodelo = Reprotótipo
Para a água do mar a 5oC, ρ = 1,99 slug/ft3, e
ν = 1,68× 10−5ft2/s. Logo,
Rep =
VpDp
νp
=
(
5mi.náut.
h
· 6080 ft
mi.náut. ·
h
3600 s
)
×1 ft · s
1,68× 10−5 ft2 = 5,02× 10
5
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
O conceito de semelhança
Exemplo
Arraste sobre um transdutor de sonar. III
Para o ar nas CNTP, ν = 1,56× 10−4ft2/s e
ρ = 0,00238 slug/ft3. Logo,
Vm = Rem
νm
Dm
= 5,02× 105 · 1,56× 10−4 ft
2
s
· 10,5 ft
Vm = 156 ft/s
Cálculo da força no modelo: Fm
ρmV 2mD2m
=
Fp
ρpV 2p D2p
.
Logo, Fp = Fm
ρp
ρm
V 2p
V 2m
D2p
D2m
= 5,58 1,990,00238
8,442
1562
12
0,52 ou
Fp = 54,6 lbf
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Introdução
Teoria da análise dimensional
Semelhança de escoamentos: modelos
Sumário
SumárioA análise dimensional minimiza a quantidade de
experimentos.
Os grupos adimensionais comparam a relevância de
forças atuantes no escoamento.
A semelhança permite o projeto de protótipos a partir de
dados experimentais obtidos com modelos.
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	Introdução
	Teoria da análise dimensional
	Teorema dos de Buckngham
	Obtenção dos grupos adimensionais
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Significado físico dos grupos adimensionais
	Semelhança de escoamentos: modelos
	O conceito de semelhança
	Exemplo
	Sumário