Teorema do Transporte de Reynolds

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o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
Formulação integral da dinâmica de fluidos
Paulo R. de Souza Mendes
Grupo de Reologia
Departamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
1 de agosto de 2011
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
Sumário
o teorema do transporte de Reynolds
características das leis de conservação
demonstração do teorema do transporte
conservação de massa
interpretação física dos termos da equação
casos especiais
conservação de quantidade de movimento linear
volume de controle fixo
volume de controle com velocidade constante
volume de controle com aceleração linear
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
leis de conservação em linguagem matemática
• massa:
dM
dt
= 0 ⇒ d
dt
∫
∀(t)
ρd∀ = 0
• quantidade de movimento linear:
d
dt
∫
∀(t)
Vρd∀ = F
onde F é a soma de todas as
forças que agem sobre a massa
M contida em ∀(t).
O
V(t)
M = const
n
t = n.T
V
r
dA
gr V
dV
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
• quantidade de movimento
angular:
d
dt
∫
∀(t)
r × Vρd∀ = M
M ...soma dos torques que agem
sobre a massa M.
• energia:
d
dt
∫
∀(t)
(
u +
V · V
2
)
ρd∀ = Q˙+W˙
u ......... energia interna,
Q˙, W˙ ... taxas de calor e trabalho.
O
V(t)
M = const
n
t = n.T
V
r
dA
gr V
dV
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
• 2a lei da termodinâmica:
d
dt
∫
∀(t)
sρd∀ ≥ Q˙
T
s ............ entropia
T ........... temperatura O
V(t)
M = const
n
t = n.T
V
r
dA
gr V
dV
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
observa-se que aparece sempre um termo na forma
d
dt
∫
∀(t)
α(t)d∀
onde α é uma grandeza por unidade de volume
• conservação de massa: α = ρ
• conservação de quantidade de movimento linear: α = ρV
• cons. de quantidade de movimento angular: α = ρr × V
• conservação de energia: α = ρ
(
u + V ·V2
)
• 2a lei da termodinâmica: α = ρs
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
cálculo de ddt
∫
∀(t) α(t)d∀
d
dt
∫
∀(t)
α(t)d∀ = lim
∆t→0
1
∆t
{∫
∀(t+∆t)
α(t + ∆t)d∀ −
∫
∀(t)
α(t)d∀
}
= lim
∆t→0
1
∆t
{(∫
∀(t+∆t)
α(t + ∆t)d∀ −
∫
∀(t+∆t)
α(t)d∀
)
+
(∫
∀(t+∆t)
α(t)d∀ −
∫
∀(t)
α(t)d∀
)}
= lim
∆t→0
(∫
∀(t+∆t)
α(t + ∆t)− α(t)
∆t
d∀
)
+ lim
∆t→0
1
∆t
(∫
∀(t+∆t)
α(t)d∀ −
∫
∀(t)
α(t)d∀
)
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
d
dt
∫
∀(t)
α(t)d∀ =
∫
∀(t)
∂α
∂t
d∀
+ lim
∆t→0
1
∆t
(∫
∀(t+∆t)−∀(t)
α(t)d∀
)
ou
d
dt
∫
∀(t)
α(t)d∀ =
∫
∀(t)
∂α
∂t
d∀+
∫
S(t)
α(t)V · n dA
V(t)
V(t+∆t)
n dA
V
dV=V.n∆tdA
V.n∆t
V(t+∆t)-V(t)
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
A eq. acima vale para qualquer
massa fixa de volume ∀(t),
incluindo as massas que, a cada
instante, ocupam um volume de
controle fixo no espaço ∀C:
d
dt
∫
∀(t)
α(t)d∀ =
∫
∀C
∂α
∂t
d∀+
∫
SC
α(t)V ·n dA
ou
d
dt
∫
∀(t)
α(t)d∀ = d
dt
∫
∀C
α(t)d∀+
∫
SC
α(t)V ·n dA
V(t)
VC (fixo no
 espaço)
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
conservação de massa
dM
dt
= 0 ⇒ d
dt
∫
∀(t)
ρd∀ = 0
logo, do teorema do transporte,
d
dt
∫
∀C
ρd∀+
∫
SC
ρV · n dA = 0 O
V(t)
M = const
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
significado físico dos termos
d
dt
∫
∀C ρd∀ é a taxa de variação
com o tempo da massa dentro
do ∀C
tempot
∫ ρdV
∫ ρdV
V(t)
VC
V · n dA é o volume que sai por
dA por unidade de tempo
dA sobre a
superfície 
de controle
t t+∆t
V
n
dV=V.n∆tdA V.n∆t
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
casos especiais
• escoamento permanente ( ∂∂t = 0):
d
dt
∫
∀C
ρd∀ = 0 ⇒
∫
SC
ρV · n dA = 0
• fluido incompressível (ρ = constante):
d
dt
∫
∀C
ρd∀ = ρd∀C
dt
= 0 ⇒
∫
SC
ρV · n dA = 0
e, como ρ 6= 0, ∫
SC
V · n dA = 0
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
para um volume de controle fixo:
d
dt
∫
∀(t)
Vρd∀ = FS + FB
onde
FS... forças de superfície, i.e.
forças que agem sobre SC
FB... forças de corpo, i.e. forças
que agem sobre a massa em ∀C
logo, do teorema do transporte,
FS+FB =
d
dt
∫
∀C
Vρd∀+
∫
SC
VρV ·n dA
M = const
V(t)
dV
n
t = n.T
dA
g
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
no sist. de coordenadas cartesianas em que V = uıˆ + v ˆ +wkˆ ,
dir. x :
FSx+FBx =
d
dt
∫
∀C
uρd∀+
∫
SC
uρV ·n dA
dir. y :
FSy+FBy =
d
dt
∫
∀C
vρd∀+
∫
SC
vρV ·n dA
dir. z:
FSz+FBz =
d
dt
∫
∀C
wρd∀+
∫
SC
wρV ·n dA
dA sobre a
superfície 
de controle
t t+∆t
V
n
dV=V.n∆tdA V.n∆t
u
v
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
velocidade do fluido no referencial móvel
Em certas situações é conveniente utilizar um
∀C móvel (e.g. esc. em torno de um veículo).
Neste caso, utiliza-se um referencial preso ao
∀C. Quando a velocidade do ∀C é constante,
o referencial continua sendo inercial, de modo
que as eqs. para um ∀C fixo ainda valem, mas
as velocidades são agora avaliadas do
referencial móvel:
VXYZ = V xyz + V rf
VXYZ
Vrf VC
X
Y
Z
x
y
z
Vrf Vxyz
V xyz ... velocidade medida do referencial preso ao ∀C
VXYZ ... velocidade medida do referencial preso à terra
V rf ... vel. do referencial preso ao ∀C com relação à terra
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
equação para um ∀C com velocidade constante
FS + FB =
d
dt
∫
∀C
V xyzρd∀+
∫
SC
V xyzρV xyz · n dA
em coordenadas cartesianas,
dir. x :
FSx + FBx =
d
dt
∫
∀C
uxyzρd∀+
∫
SC
uxyzρV xyz · n dA
dir. y :
FSy + FBy =
d
dt
∫
∀C
vxyzρd∀+
∫
SC
vxyzρV xyz · n dA
dir. z:
FSz + FBz =
d
dt
∫
∀C
wxyzρd∀+
∫
SC
wxyzρV xyz · n dA
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
2a lei de Newton para um referencial não inercial
Quando a velocidade do ∀C não é constante, o referencial
preso a ele deixa de ser inercial, de modo que as eqs. para um
∀C fixo não valem mais, pois a quant. de movimento tem que
ser descrita de um ref. inercial:
FS + FB =
d
dt
∫
∀(t)
VXYZρd∀ = ddt
∫
M
VXYZdM
=
∫
M
dVXYZ
dt
dM =
∫
M
aXYZdM =
∫
∀(t)
aXYZρd∀
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade de movimento linear
equação para um referencial não inercial
mas, quando o movimento é
retilíneo,
aXYZ = arf + axyz
logo,
FS + FB =
∫
∀(t)
(arf + axyz)ρd∀
= Marf +
d
dt
∫
∀(t)
V xyzρd∀
aXYZ
arf VC
X
Y
Z
x
y
z
arf axyz
o teorema do transporte de Reynolds conservação de massa conservação de quantidade
de movimento linear
usando o teorema do transporte,
FS + FB −Marf =
d
dt
∫
∀C
V xyzρd∀+
∫
SC
V xyzρV xyz · n dA
em coordenadas cartesianas,
dir. x :
FSx + FBx −Marfx =
d
dt
∫
∀C
uxyzρd∀+
∫
SC
uxyzρV xyz · n dA
dir. y :
FSy + FBy −Marfy =
d
dt
∫
∀C
vxyzρd∀+
∫
SC
vxyzρV xyz · n dA
dir. z:
FSz + FBz −Marfz =
d
dt
∫
∀C
wxyzρd∀+
∫
SC
wxyzρV xyz · n dA
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	características das leis de conservação
	demonstração do teorema do transporte
	conservação de massa
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