Física 1C

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AULA 33
MOVIMENTO 
HARMÔNICO 
SIMPLES
O oscilador angular ou pêndulo de torção:
O oscilador angular é um
sistema formado por um
fio/cabo/corda inextensível e de
massa desprezível que pode ser
torcido, tendo uma constante de
torção k, e um corpo de massa
m preso à uma extremidade do
fio, que pode girar livremente
quando o fio é torcido.
Nesse caso, ao invés de termos
uma força restauradora temos
um torque restaurador, já que o
objeto executa uma oscilação
angular.𝝉𝒇𝒊𝒐 𝒕 = −𝜿 ∙ 𝜽 𝒕
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𝑰 ∙ 𝜶 𝒕 = −𝜿 ∙ 𝜽 𝒕
−𝑰 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝜽 𝒕 = −𝜿 ∙ 𝜽 𝒕 𝝎𝟐 = ൗ𝜿 𝑰
𝝎 =
𝜿
𝑰
E como 𝑻 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙
𝑰
𝜿
𝝉𝒓𝒆𝒔 𝒕 = 𝝉𝒇𝒊𝒐 𝒕
Como esse movimento também é um MHS, lembre que:
𝜽 𝒕 = 𝜽𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ∙ 𝒕 + 𝝓
𝜶 𝒕 = −𝝎𝟐 ∙ 𝜽𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ∙ 𝒕 + 𝝓
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𝝎 = ൗ𝟐𝝅 𝑻
O pêndulo simples:
O pêndulo simples é um sistema idealizado, formado por um
fio/cabo/corda inextensível, de massa desprezível e de
comprimento L, e um corpo puntiforme de massa m preso à
uma extremidade do fio, que descreve um arco de círculo em
torno de um eixo que passa pelo pivô (ponto onde a outra
extremidade da corda está presa).
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Px (= m.g.sen(q)) atua como força restauradora
Interpretando o movimento
em termos do torque
restaurador gerado por Px,
teremos:
𝑰 ∙ 𝜶 𝒕
= −𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑳 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒕
𝝉𝒓𝒆𝒔 𝒕 = 𝝉𝑷𝒙 𝒕
−𝑰 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝜽 𝒕
= −𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑳 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒕
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E na verdade não podemos resolver essa relação, porque o
torque de Px depende do seno de q e não de q, de forma que a
rigor esse movimento não é um MHS.
−𝑰 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝜽 𝒕 = −𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑳 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒕
Mas, quando o pêndulo oscila com pequenas amplitudes, o
ângulo q entre a corda e a vertical é pequeno e podemos fazer
uma aproximação . Assim ficaremos com:
−𝑰 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝜽 𝒕 = −𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑳 ∙ 𝜽 𝒕
𝝎𝟐 = ൗ
𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑳
𝑰
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𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒕 ≈ 𝜽 𝒕
𝝎 =
𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑳
𝑰
𝑻 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙
𝑰
𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝑳
Como no pêndulo simples sempre consideramos a massa como
uma partícula na extremidade da corda, teremos I = m.r2 = m.L2:
𝑻 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙
𝑳
𝒈
𝝎 =
𝒈
𝑳
Então o período do pêndulo simples NÃO depende da massa m
do corpo, apenas da aceleração da gravidade g e do
comprimento da corda L.
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AULA 33 – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
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O pêndulo físico:
Um pêndulo físico consiste
em um objeto de forma e
tamanho quaisquer que está
preso em um ponto, que não
seja o seu centro de
gravidade cg, à um pivô/eixo
fixo em torno do qual o corpo
pode girar livremente.
Quando o corpo é afastado
de sua posição de equilíbrio
e liberado, ele passa a
oscilar de forma que cada
ponto do corpo descreve um
arco de círculo em torno do
eixo fixo.
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Assim como no caso do pêndulo simples, aqui Px (= m.g.sen(q)) é
quem atua como força restauradora.
Como Px atua no centro de gravidade
do objeto, a distância que entra no
torque de Px é a distância h do eixo de
rotação ao centro de gravidade.
Note também que como o eixo
nunca estará no centro de
gravidade, o momento de
inércia terá que ser calculado
pelo teorema dos eixos
paralelos, onde entrará a
mesma distância h.
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𝑰 ∙ 𝜶 𝒕 = −𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒕
𝝉𝒓𝒆𝒔 𝒕 = 𝝉𝑷𝒙 𝒕
−𝑰 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝜽 𝒕 = −𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒕
E aqui novamente temos que fazer uma aproximação e
considerar . Então nossas equações para o
pêndulo físico, assim como as equações para o pêndulo
simples, só valem para pequenas amplitudes de oscilação
onde o ângulo q não excede ~ 15°
−𝑰 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝜽 𝒕 = −𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 ∙ 𝜽 𝒕
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𝐬𝐞𝐧𝜽 𝒕 ≈ 𝜽 𝒕
𝝎𝟐 = ൗ
𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉
𝑰
𝝎 =
𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉
𝑰
𝑻 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙
𝑰
𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉
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