Física 1C Aula 29

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AULA 29
ROLAMENTO
Exemplo:
Um objeto de periferia circular, com massa M e raio R, é solto do
alto de uma rampa que forma um ângulo q com a horizontal.
Sabendo que o objeto desce rolando sem deslizar, determine
qual é a aceleração do centro de massa do objeto.
𝜽
Como visto anteriormente, nem a
força peso nem a força normal
geram um torque no objeto.
Então, se ele desce rolando,
obrigatoriamente existe uma força
de atrito agindo. E tem que ser
atrito ESTÁTICO, já que o objeto
não desliza.
AULA 29 – ROLAMENTO
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𝜽
𝑷
𝑪𝑴
𝑵
𝑹
𝒇𝒆
𝝉𝑷 = 𝒓𝑷 ∙ 𝑷 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝑷
𝝉𝑷 = 𝟎 ∙ 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝑷 = 𝟎
𝝉𝑵 = 𝒓𝑵 ∙ 𝑵 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝑵
𝝉𝑵 = 𝑹 ∙ 𝑵 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟏𝟖𝟎° = 𝟎
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝑷 + 𝝉𝑵 + 𝝉𝒇𝒆
𝒓
𝝉𝒇𝒆 = 𝒓𝒇𝒆 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋𝒇𝒆
𝝉𝒇𝒆 = 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎°
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑹 ∙ 𝒇𝒆
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶
𝑹 ∙ 𝒇𝒆 = 𝑰 ∙ 𝜶
𝒇𝒆 =
𝑰 ∙ 𝜶
𝑹
[1]
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𝜽
𝑷
𝑪𝑴
𝑵
𝑹
𝒇𝒆
𝑭𝒓𝒆𝒔𝒙 = 𝑷𝒙 + 𝒇𝒆
Aplicando agora a 2ª lei na forma translacional:
𝑭𝒓𝒆𝒔𝒚 = 𝑷𝒚 +𝑵
𝑷𝒙
𝑷𝒚
𝒙
𝒚
𝟎 = −𝑷 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝑵
𝑵 = 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑷 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 − 𝒇𝒆
[2]𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 − 𝒇𝒆
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𝒇𝒆 =
𝑰 ∙ 𝜶
𝑹
𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 − 𝒇𝒆
𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 −
𝑰 ∙ 𝜶
𝑹
Substituindo [1] em [2]:
Mas no rolamento suave, é necessário que: 𝒂𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ 𝜶
𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽 −
𝑰 ∙ 𝒂𝑪𝑴
𝑹𝟐
𝒂𝑪𝑴 ∙ 𝟏 +
𝑰
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
= 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
(÷𝑴)
AULA 29 – ROLAMENTO
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𝒂𝑪𝑴 =
𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝟏 +
𝑰
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
Essa equação vale para qualquer corpo de periferia circular
(aro, esfera, disco, cilindro) que rola sem deslizar numa rampa,
não estando ligado a nenhuma corda ou outros objetos.
AULA 29 – ROLAMENTO
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Exemplo:
Dois cilindros maciços, uma esfera maciça, uma casca esférica
e um aro, de diferentes raios e massas, são liberados, a partir
do repouso, da mesma altura h sobre um plano inclinado. Todos
descem rolando sem deslizar.
Todos os corpos chegarão à base do plano ao mesmo tempo?
Se sim, justifique por que. Se não, qual será a ordem de
chegada dos objetos ?
AULA 29 – ROLAMENTO
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𝒂𝑪𝑴 =
𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝟏 +
𝑰
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
Como todos os objetos têm periferia circular, todos devem
descer o plano com uma aceleração de módulo dado pela
resposta do exemplo anterior:
Note que g e q são iguais para todos os objetos. E não importa
o fato de os objetos terem raios e massas diferentes, pois as
massas e os raios se cortarão no segundo termo do
denominador: 𝑰
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
Mas como o valor total do momento de inércia de cada objeto é
diferente do dos outros, os objetos NÃO CHEGARÃO na base
ao mesmo tempo.
AULA 29 – ROLAMENTO
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O objeto que tiver o MENOR momento de inércia descerá mais
rápido, pois terá a MAIOR aceleração do centro de massa.
Cilindro maciço Aro Esfera maciça Casca esférica
𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝟏 + 𝟎, 𝟓
𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝟏 + 𝟏
𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝟏 + 𝟎, 𝟒
𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝟏 + 𝟎, 𝟕
1º lugar !!2º lugar !! 3º lugar !!4º lugar !!
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Essa questão também pode ser respondida com argumentos de
energia: todos os corpos partem com apenas energia potencial
inicial e terão apenas energia cinética na base da rampa.
𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝑪𝑴 ∙ 𝝎
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴
𝟐
𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒄 ∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 ∙
𝒗𝑪𝑴
𝟐
𝑹𝟐
+
𝟏
𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴
𝟐
𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 = 𝒄 ∙ 𝒗𝑪𝑴
𝟐 + 𝒗𝑪𝑴
𝟐
𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉
𝟏 + 𝒄
= 𝒗𝑪𝑴
Onde a constante c é a fração que
multiplica o termo M.R2 na equação do
momento de inércia de cada objeto.
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Logo, o objeto que tiver o MENOR valor da constante c terá a
MAIOR velocidade na base do plano, indicando que teve a
MAIOR aCM e portanto chegou na base MAIS RAPIDAMENTE.
Também podemos argumentar que o objeto com o MENOR
valor da constante c tem o menor momento de inércia, logo
converte uma fração MENOR de energia potencial em energia
cinética rotacional, podendo portanto converter MAIS ENERGIA
POTENCIAL EM ENERGIA CINÉTICA DE TRANSLAÇÃO.
AULA 29 – ROLAMENTO
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Exemplo: puxando o carretel
𝑻r
R
a) Determine a aceleração do
centro de massa do carretel quando
ele é puxado da maneira ilustrada
ao lado.
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r
R
𝑻
𝒇𝒆 tendência à derrapagem
Aplicando a 2ª lei de Newton nas formas translacional e rotacional:
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝑻 + 𝒇𝒆
𝒙
𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑻 − 𝒇𝒆
𝒇𝒆 = 𝑻 −𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝑻 + 𝝉𝒇𝒆
𝑰 ∙ −𝜶 = 𝒓 ∙ 𝑻 ∙ 𝟏 − 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝟏
𝑰 ∙ 𝜶 = 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 − 𝒓 ∙ 𝑻[1] [2]
Se o rolamento é suave, 
obrigatoriamente temos:
𝒂𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ 𝜶 [3]
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Substituindo [1] e [3] em [2]:
𝑰 ∙
𝒂𝑪𝑴
𝑹
= 𝑹 ∙ 𝑻 −𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 − 𝒓 ∙ 𝑻
𝑹 ∙ 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 + 𝑰 ∙
𝒂𝑪𝑴
𝑹
= 𝑹 ∙ 𝑻 − 𝒓 ∙ 𝑻
𝒂𝑪𝑴 ∙ 𝑹 ∙ 𝑴 +
𝑰
𝑹
= 𝑻 ∙ (𝑹 − 𝒓)
𝒂𝑪𝑴 =
𝑻 ∙ (𝑹 − 𝒓)
𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝑹
𝒂𝑪𝑴 =
𝑻 ∙ 𝑹 ∙ (𝑹 − 𝒓)
𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹𝟐
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𝑻
r
R
b) A aceleração do centro de massa do carretel mudaria
se ele fosse puxado da maneira ilustrada abaixo ao
invés da maneira mostrada na letra a) ?
𝒇𝒆
tendência à
derrapagem
𝒙
𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑻 + 𝒇𝒆
Muda o sinal de 𝒇𝒆 :
Mudam os sinais dos torques:
[1]
𝑰 ∙ −𝜶 = 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝟏 − 𝒓 ∙ 𝑻 ∙ 𝟏
𝑰 ∙ 𝜶 = 𝒓 ∙ 𝑻 − 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 [2]
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E a aceleração do CM fica:
𝑰 ∙
𝒂𝑪𝑴
𝑹
= 𝒓 ∙ 𝑻 − 𝑹 ∙ 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 − 𝑻
𝑹 ∙ 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 + 𝑰 ∙
𝒂𝑪𝑴
𝑹
= 𝒓 ∙ 𝑻 + 𝑹 ∙ 𝑻
𝒂𝑪𝑴 ∙ 𝑹 ∙ 𝑴 +
𝑰
𝑹
= 𝑻 ∙ (𝑹 + 𝒓)
𝒂𝑪𝑴 =
𝑻 ∙ (𝑹 + 𝒓)
𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝑹
𝒂𝑪𝑴 =
𝑻 ∙ 𝑹 ∙ (𝑹 + 𝒓)
𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹𝟐
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c) Por fim, se o carretel for puxado de modo que a corda
forme um ângulo 𝜽 com a horizontal, como ilustrado
abaixo (sendo que o carretel não perde contato com a
superfície horizontal), quais serão:
- A aceleração do centro de massa?
- O valor de 𝜽 para o qual o carretel desliza sem rolar?
𝑻
r
R
𝜽
𝜽
𝑻
𝑻𝒙
𝑻𝒚
𝑻𝒙 = 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽
Apenas uma componente de T 
tende a causar deslizamento:
AULA 29 – ROLAMENTO
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𝑻
r
R
𝜽
𝑻𝒙
𝒇𝒆
tendência à
derrapagem
𝑭𝒓𝒆𝒔𝒙 = 𝑻𝒙 + 𝒇𝒆
𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 = 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝒇𝒆
𝒇𝒆 = 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 −𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝑻 + 𝝉𝒇𝒆
𝑰 ∙ −𝜶 = 𝒓 ∙ 𝑻 ∙ 𝟏 − 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝟏
𝑰 ∙ 𝜶 = 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 − 𝒓 ∙ 𝑻
Se o rolamento é suave, 
obrigatoriamente temos:
𝒂𝑪𝑴 = 𝑹 ∙ 𝜶
𝒙
𝑰 ∙
𝒂𝑪𝑴
𝑹
=
𝑹 ∙ 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 −𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 − 𝒓 ∙ 𝑻
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𝑹 ∙ 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 + 𝑰 ∙
𝒂𝑪𝑴
𝑹
= 𝑹 ∙ 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝒓 ∙ 𝑻
𝒂𝑪𝑴 ∙ 𝑹 ∙ 𝑴 +
𝑰
𝑹
= 𝑻 ∙ (𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 − 𝒓)
𝒂𝑪𝑴 =
𝑻 ∙ (𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝒓)
𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝑹
𝒂𝑪𝑴 =
𝑻 ∙ 𝑹 ∙ (𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 − 𝒓)
𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝐜𝐨𝐬𝜽 >
𝒓
𝑹
- Se então 𝒂𝑪𝑴 > 𝟎 e o carretel rola para a direita
𝐜𝐨𝐬𝜽 <
𝒓
𝑹
- Se então 𝒂𝑪𝑴 < 𝟎 e o carretel rola para a esquerda
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𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝑻 + 𝝉𝒇𝒆 = 𝟎
𝟎 = 𝒓 ∙ 𝑻 − 𝑹 ∙ 𝒇𝒆 𝒇𝒆 =
𝒓 ∙ 𝑻
𝑹
Para deslizar sem rolar, é necessário que
Na iminência do deslizamento, é necessário que
𝑭𝒓𝒆𝒔𝒙 = 𝑻𝒙 + 𝒇𝒆 = 𝟎
𝟎 = 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 − 𝒇𝒆 𝒇𝒆 = 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 =
𝒓 ∙ 𝑻
𝑹
𝜽 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏
𝒓
𝑹
O valor de q para que 
o carretel deslize sem 
rolar só depende dos 
valores de r e R
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