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1 AULA 24 GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES Relações entre variáveis lineares e angulares: A B Em uma volta completa: - Os pontos A e B percorrem a mesma distância angular (Dq = 2p rad) no mesmo intervalo de tempo Dt. rB - Mas o ponto A descreve um círculo de raio rA enquanto o ponto B descreve um círculo maior, de raio rB. Portanto, as distâncias lineares que A e B percorrem são diferentes. rA AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 2 Posição angular e posição linear: q = 0 A qA sA rA rA Enquanto q é definida por um ângulo, a posição linear é definida por uma distância linear, dada pelo arco de círculo formado entre a linha que foi escolhida como referencial e a posição da partícula 𝜽𝑨 = 𝒔𝑨 𝒓𝑨 𝒔 = 𝜽 ∙ 𝒓 A posição linear de um ponto no corpo depende de sua distância r ao eixo de rotação! s e r devem estar sempre em metros e q em rad AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 3 Velocidade angular e velocidade linear: Derivando a equação anterior em relação à t: 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ∙ 𝒓 A velocidade linear de um ponto no corpo depende de sua distância r ao eixo de rotação! v e r devem estar em m/s e m, respectivamente, e w em rad/s (A distância r ao eixo de rotação não varia durante o giro) 𝒗 = 𝝎 ∙ 𝒓 AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 4 A B Em uma volta completa: Justamente por isso os pontos mais afastados do eixo de rotação precisam ter maior velocidade linear. rB O ponto A descreve um círculo de raio rA enquanto o ponto B descreve um círculo de raio rB. Portanto, as distâncias lineares que A e B percorrem são diferentes. rA vA vB 𝝎𝑨 = 𝝎𝑩 𝒗𝑨 𝒓𝑨 = 𝒗𝑩 𝒓𝑩 AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 5 Aceleração angular e aceleração linear: Derivando a equação anterior em relação à t: 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝒅𝝎 𝒅𝒕 ∙ 𝒓 Como a velocidade linear de um ponto em movimento circular é sempre tangencial à trajetória, a aceleração calculada pela equação acima também será sempre tangencial à trajetória 𝒂 = 𝜶 ∙ 𝒓 𝒂𝒕 = 𝜶 ∙ 𝒓 aT e r devem ser em m/s 2 e m, respectivamente, e a em rad/s2 AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 6 Mas já sabemos que para a velocidade linear ser sempre tangencial à trajetória no movimento circular, é preciso que a direção da velocidade linear varie constantemente. A aceleração que causa essa mudança tem que ser tangencial à velocidade linear, atuando, portanto, sempre na direção radial. 𝒂𝒓 = 𝒗𝟐 𝒓 = 𝝎𝟐 ∙ 𝒓 A 𝒂𝒓 𝒂𝒕 𝒂𝒍 A aceleração linear resultante é dada pela soma vetorial das componentes tangencial e radial no ponto em questão. 𝒂𝒍 = 𝒂𝒕 𝟐 + 𝒂𝒓 𝟐 AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 7 Período: Só para relembrar, período é o tempo necessário para completar uma volta. Quando a velocidade angular é constante, o período pode ser calculado por: 𝑻 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 𝒗 = 𝟐 ∙ 𝝅 𝝎 AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 8 Exemplo: Um toca-discos girando a 33,3 rpm é desligado e para, com aceleração angular constante, após dois minutos. a) Calcule a aceleração angular. b) Qual a velocidade angular média nesse intervalo? c) Quantas voltas serão dadas antes de parar? AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 9 Exemplo: Um disco gira em torno de seu eixo central, de forma que a posição angular q(t) de uma linha no disco é dada por: 𝜽 𝒕 = 𝟏, 𝟎𝟎 − 𝟏, 𝟐𝟎 ∙ 𝒕 + 𝟎, 𝟐𝟓𝟎 ∙ 𝒕𝟐 Onde os ângulos estão em radianos e o tempo em segundos. A posição angular zero coincide com o semi-eixo x positivo. a) Com base na equação, diga qual a posição inicial da linha e se o disco começa girando no sentido horário ou anti-horário. b) Para qual instante de tempo t a linha no disco está alinhada com a posição angular zero? c) Em que instante de tempo t a posição angular atinge seu valor mínimo? Qual é esse valor? AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 10 Exemplo: Um ponto em um disco está a uma distância r = 0,40 m do eixo de rotação, sobre uma linha caracterizada pelo ângulo q = 0. Em t = 0,25 s depois de o disco começar a girar, a linha encontra-se em q = 10°. a) Admitindo que a aceleração angular seja constante, quanto tempo levará para o disco girar a 33,3 rpm? b) A aceleração tangencial desse ponto também é constante? c) E a aceleração radial? d) Calcule a aceleração linear do ponto no instante em que o disco atinge 33,3 rpm. AULA 24 – GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES 11
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