Física 1C Aula 26: Dinâmica da Rotação

Prévia do material em texto

1
AULA 26
DINÂMICA DA 
ROTAÇÃO
Torque:
Por que a maçaneta de uma porta sempre fica no lado oposto
às dobradiças e não no meio da porta, por exemplo?
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças)
Vista superior 
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças)
Direção radial
Direção tangencial
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
2
Para abrir uma porta (fazê-la girar em torno do eixo das
dobradiças), não basta aplicar uma força...
Vista superior 
𝑭
Vista superior 
𝑭
Por exemplo, forças aplicadas na direção radial não fazem a
porta girar (abrir ou fechar) independentemente do seu módulo.
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
3
Além do módulo da força, também o ângulo de aplicação e a
distância ao eixo de rotação são importantes para produzir
um movimento de giro como o de uma porta abrindo.
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças)
𝒓
𝑭
𝝋
A grandeza física que leva em conta esses fatores é o torque.
Ele representa a ação de giro de uma força, resultando numa
aceleração angular.
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
4
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças)
𝒓
𝑭
𝝋
𝑭𝒓𝒂𝒅 = 𝑭 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋
𝑭𝒕𝒂𝒏 = 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
𝑭𝒓𝒂𝒅  componente de 𝑭 na direção radial, não causa torque
𝒓 distância do eixo de rotação ao ponto de aplicação de 𝑭
𝝋 menor ângulo entre as direções de 𝒓 e 𝑭
𝑭𝒕𝒂𝒏  componente de 𝑭 na direção tangencial, responsável
pelo torque
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
5
O torque é calculado como:
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
Podemos olhar para essa fórmula de duas maneiras diferentes:
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
Unidade: [N.m]
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭𝒕𝒂𝒏
𝒓
𝑭𝒕𝒂𝒏 = 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
𝝉 = 𝑭 ∙ 𝒓 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
𝝉 = 𝑭 ∙ 𝒓⊥
𝑭
𝝋
𝒓
𝑭
𝝋
𝒓⊥
b
ra
ç
o
 d
e
 a
la
v
a
n
c
a
𝝋
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
6
Na verdade o torque é um vetor e resulta do produto vetorial
de outros dois vetores:
Vetor torque:
𝝉 = 𝒓 × 𝑭
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
7
Não esqueçam dos
sinais de cada um
dos torques!!
Por enquanto não trabalharemos com as componentes. Vamos
calcular o módulo do torque por:
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
E determinar o sinal do torque pela regra da mão direita:
Torques que geram rotações HORÁRIAS são NEGATIVOS
Torques que geram rotações ANTI-HORÁRIAS são POSITIVOS
Torque resultante:
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 +⋯+ 𝝉𝒏
O torque resultante agindo sobre um corpo é a soma vetorial
de todos os torques agindo sobre aquele corpo:
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
8
Eixo de
rotação
𝒓𝟏
𝑭𝟏
𝝋𝟏
Representação de vetores
perpendiculares ao plano:
Vetor entrando no plano
Vetor saindo do plano
𝝉𝑭𝟏 𝝉𝑭𝟐
𝑭𝟐
𝒓𝟐
𝝋𝟐
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝑭𝟏 + 𝝉𝑭𝟐
𝝉𝑭𝟏 = + 𝒓𝟏 ∙ 𝑭𝟏 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏
𝝉𝑭𝟐 = − 𝒓𝟐 ∙ 𝑭𝟐 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝒓𝟏 ∙ 𝑭𝟏 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏 − 𝒓𝟐 ∙ 𝑭𝟐 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
9
Forma rotacional da 2ª lei de Newton:
Eixo de rotação fixo
Haste de comprimento
R e massa desprezível
Partícula de 
massa m
Consideremos a 
seguinte situação:
𝝋
𝑭
Pela 2ª lei de Newton:
𝑭𝒕𝒂𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒕𝒂𝒏
E pela definição de torque:
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭𝒕𝒂𝒏
Então, para esse caso temos:
𝝉 = 𝑹 ∙ (𝒎 ∙ 𝒂𝒕𝒂𝒏)
Como vimos anteriormente,
𝒂𝒕𝒂𝒏 = 𝜶 ∙ 𝒓
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
10
De modo que temos: 𝝉 = 𝑹 ∙ (𝒎 ∙ 𝜶 ∙ 𝑹)
𝝉 = 𝑰 ∙ 𝜶
Mas, para uma partícula de massa m, que gira em torno de um
eixo fixo à uma distância R, o produto m.R2 é justamente o
momento de inércia I.
𝝉 = 𝜶 ∙ (𝒎 ∙ 𝑹𝟐)
Como F é a única força causando torque, na verdade temos:
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶
Que é a forma rotacional da 2ª lei de Newton
OBS: não esqueça de considerar os sinais ao calcular o torque resultante!
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
11
m
M
Um disco uniforme de massa M = 2,5 kg e raio
R = 20 cm é montado em um eixo horizontal
fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg é
suspenso por uma corda enrolada na borda do
disco, com massa desprezível.
Determine a aceleração do bloco em queda, a
aceleração angular do disco e a tensão na
corda. A corda não escorrega e não existe
atrito entre a roldana e o eixo.
R
Exemplo:
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
12
Bloco:
Roldana:
y
x
Giro HORÁRIO (-)
M
R
m
𝑷
𝑻
𝒂
R
𝑻
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒂_𝒚
𝑻 −𝒎 ∙ 𝒈 = −𝒎 ∙ 𝒂
𝑻 = 𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶
−𝑹 ∙ 𝑻 = 𝑰 ∙ (−𝜶)
𝑹 ∙ 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝟐
∙ 𝜶
Disco girando em torno de um 
eixo de rotação fixo no C.M. 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙ 𝜶
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
13
𝑻 = 𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙ 𝜶e
M
R
m
𝒂
𝒂
𝒂
Como a corda não se deforma, ela cai com
a mesma aceleração do bloco. E como a
corda não desliza em relação à roldana, a
aceleração tangencial da roldana na sua
borda é igual à aceleração do bloco.
𝒂 = 𝒂𝒕𝒂𝒏 = 𝜶 ∙ 𝒓
𝒂 = 𝜶 ∙ 𝑹 𝜶 =
𝒂
𝑹
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
14
𝑻 = 𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙ 𝜶𝒂 = 𝜶 ∙ 𝑹
𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙
𝒂
𝑹
𝒎 ∙ 𝒈 = 𝒎 ∙ 𝒂 +
𝑴
𝟐
∙ 𝒂
𝒂 =
𝒎 ∙ 𝒈
𝒎+
𝑴
𝟐
𝒂 =
𝟏, 𝟐 ∙ 𝟗, 𝟖
𝟏, 𝟐 +
𝟐, 𝟓
𝟐
𝒂 = 𝟒, 𝟖 𝒎/𝒔𝟐
𝜶 =
𝒂
𝑹
𝜶 =
𝟒, 𝟖
𝟎, 𝟐
𝜶 = 𝟐𝟒 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐
𝑻 =
𝟐, 𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐
𝟐
∙ 𝟐𝟒
𝑻 = 𝟔, 𝟎 𝑵
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
15
Bloco desliza sem atrito
Roldana de massa M e raio R
Qual é a aceleração
dos blocos?
OBS: Este problema é similar
aos que fizemos na primeira
área, a diferença é que agora
a roldana tem massa!
Pelo fato da roldana possuir massa a
tensão no bloco 1 será diferente da
tensão no bloco 2!
!!
Exemplo:
𝑻𝟏
𝑻𝟐
m1
m2
𝑇1 ≠ 𝑇2
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
16
Sendo a roldana um disco e 
relacionando
Usando a segunda lei de Newton
Bloco 1
Bloco 2
Roldana
x
y
x
y
x
y
𝒂
𝑵𝟏
𝑷𝟏
𝑻𝟏
𝒂𝑻𝟐
𝑷𝟐
Bloco desliza sem atrito
m1
m2 𝑻𝟐
R
𝑻𝟏
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒙 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒂_𝒙
𝑻𝟏 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒂
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒚 = 𝒎𝟐 ∙ 𝒂_𝒚
𝑻𝟐 −𝒎𝟐 ∙ 𝒈 = −𝒎𝟐 ∙ 𝒂
𝑻𝟐 = 𝒎𝟐 ∙ 𝒈 −𝒎𝟐 ∙ 𝒂
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶
𝑹 ∙ 𝑻𝟏 − 𝑹 ∙ 𝑻𝟐 = 𝑰 ∙ (−𝜶)
𝑹 ∙ 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 =
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝟐
∙
−𝒂
𝑹
𝒂 = 𝜶 ∙ 𝑹
[1]
[2]
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO 17
x
y
Substituindo [1] e [2] em [3]:
Bloco desliza sem atrito
m1
m2
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 =
𝑴
𝟐
∙ 𝒂 [3]
(𝒎𝟐 ∙ 𝒈 −𝒎𝟐 ∙ 𝒂) − (𝒎𝟏 ∙ 𝒂) =
𝑴
𝟐
∙ 𝒂
𝒎𝟐 ∙ 𝒈 = 𝒎𝟐 ∙ 𝒂 +𝒎𝟏 ∙ 𝒂 +
𝑴
𝟐
∙ 𝒂
𝒂 =
𝒎𝟐 ∙ 𝒈
𝒎𝟏 +𝒎𝟐 +
𝑴
𝟐
AULA 25 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO
18