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1 AULA 19 DINÂMICA EM SISTEMAS L Qual é a posição do CM do sistema de 3 barras uniformes abaixo, com relação à origem indicada? M m m ¾L 0 dy x Como cada barra é uniforme, o CM de cada uma delas é seu centro geométrico Cálculo do CM do sistema: Usamos a posição do CM de cada barra, representando a barra como se fosse uma partícula localizada ali e com massa igual àquela da barra correspondente Exemplo: CM3 CM2 CM1 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 2 𝒙𝑪𝑴 = 𝒙𝟏 ∙ 𝒎𝟏 + 𝒙𝟐 ∙ 𝒎𝟐 + 𝒙𝟑 ∙ 𝒎𝟑 𝒎𝟏 +𝒎𝟐 +𝒎𝟑 𝒙𝑪𝑴 = 𝟎 ∙ 𝒎 + ൗ𝒅 𝟐 ∙ 𝑴 + 𝒅 ∙ 𝒎 𝒎+𝑴+𝒎 𝒙𝑪𝑴 = 𝒅 ∙ ൗ𝑴 𝟐 +𝒎 𝟐𝒎+𝑴 L M m m ¾L 0 d y x CM3 CM2 CM1 𝒙𝑪𝑴 = 𝒅 ∙ ൗ𝑴 𝟐 +𝒎 𝟐 ∙ 𝒎 + ൗ𝑴 𝟐 𝒙𝑪𝑴 = 𝒅 𝟐 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 3 𝒚𝑪𝑴 = − ൗ𝟑𝑳 𝟖 ∙ 𝒎 + 𝟎 ∙ 𝑴 − ൗ 𝑳 𝟐 ∙ 𝒎 𝒎+𝑴+𝒎 𝒚𝑪𝑴 = 𝑳 ∙ 𝒎 ∙ − ൗ𝟕 𝟖 𝟐𝒎 +𝑴 L M m m ¾L 0 d y x CM3 CM2 CM1 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 4 Sendo: L = 1,0 m d = 0,80 m m = 0,60 kg M = 1,2 kg 𝒙𝑪𝑴 = 𝒅 𝟐 𝒙𝑪𝑴 = 𝟎, 𝟖 𝟐 𝒙𝑪𝑴 = 𝟎, 𝟒𝟎 m 𝒚𝑪𝑴 = 𝑳 ∙ 𝒎 ∙ − ൗ𝟕 𝟖 𝟐𝒎 +𝑴 = 𝟎, 𝟔. − ൗ𝟕 𝟖 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟐 𝒚𝑪𝑴 = −𝟎, 𝟐𝟐 m CM L M m m ¾L 0 dy x AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 5 Um disco metálico de raio 2R tem um orifício de raio R, como mostra a figura. Localize as coordenadas do centro de massa do disco, sabendo-se que sua massa está uniformemente distribuída com densidade superficial s . 2R R O disco com orifício pode ser pensado como uma superposição de dois discos: Exemplo: 1 – Um disco uniforme completo (sem furo) de raio 2R com massa M, sendo 𝝈 = 𝑴 𝑨 ⟹ 𝑴 = 𝝈 ∙ 𝑨 ⟹ 𝑴 = 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝟐𝑹 𝟐 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 6 2R R Tomamos como origem o centro do disco de raio 2R. Com isso teremos 𝒚𝑪𝑴 = 𝟎 pois a distribuição de massa é simétrica acima e abaixo da origem. CM O centro de massa do sistema formado pelo disco cheio M e o disco “de falta de material” –m deve ser o mesmo centro de massa do objeto que queremos determinar. x y Calculando 𝒙𝑪𝑴: 𝒙𝑪𝑴 = 𝑴 ∙ 𝟎 +𝒎 ∙ −𝑹 𝑴+𝒎 = 𝟎 + −𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐 ∙ −𝑹 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝟒 ∙ 𝑹𝟐 − 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐 = 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟑 𝟑 ∙ 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐 𝒙𝑪𝑴 = 𝑹 𝟑 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 7 O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola, como uma partícula. 2ª lei de Newton para um sistema de partículas: AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 8 Considere duas partículas de massas m1 e m2 sob as quais atuam forças em uma dimensão: É importante identificar e distinguir as forças que são internas ao sistema (𝑭𝟐→𝟏 e 𝑭𝟏→𝟐) e as forças que são externas ao sistema (𝑭𝟏 𝒆𝒙𝒕 e 𝑭𝟐 𝒆𝒙𝒕) F1 ext F2 ext 𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 = 𝑭𝟐→𝟏 + 𝑭𝟏 𝒆𝒙𝒕 𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟏→𝟐 + 𝑭𝟐 𝒆𝒙𝒕 Somando-se as equações termo a termo: 𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟐→𝟏 + 𝑭𝟏→𝟐 + 𝑭𝟏 𝒆𝒙𝒕 + 𝑭𝟐 𝒆𝒙𝒕 1 2 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 9 Considerando o sentido positivo para a direita: −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟐→𝟏 − 𝑭𝟏→𝟐 − 𝑭𝟏 𝒆𝒙𝒕 + 𝑭𝟐 𝒆𝒙𝒕 Como as partículas estão ligadas pela mesma mola, as forças internas se cancelam −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 =𝑭 𝒆𝒙𝒕 E a resultante é dada pela soma das forças externas apenas 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝑭𝑹𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒕 = −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 10 Em particular, se 𝑭𝑹𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒕 = 𝟎 teremos sempre a velocidade do centro de massa constante (o CM continuará em MRU se estava em movimento, ou continuará na mesma posição se estava em repouso) 2a Lei de Newton para um sistema de partículas 𝒂𝑪𝑴 = 𝟏 𝑴 ∙ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒊 Pela definição da aceleração do centro de massa: 𝑴.𝒂𝑪𝑴 = −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 O que finalmente nos leva a: 𝑭𝑹𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒕 = 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 11 M Usando a 2ª lei de Newton, podemos determinar o movimento do sistema de duas massas representando-o por uma partícula de massa M localizada no CM sobre a qual atua apenas uma força, que é a soma de todas as forças externas agindo sobre o sistema F1 ext F2 ext 𝑭𝑹𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒕 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 12 Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem velocidade constante. Como estava inicialmente em repouso, permanecerá na mesma posição. Não importam as forças exercidas pelos patinadores (internas). Dois patinadores no gelo (sem atrito) encontram-se em repouso a uma distância inicial de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles? M1 = 80 kg M2 = 60 kg Os patinadores se encontrarão a 5,1 m da posição inicial do patinador da esquerda. Exemplo: 𝒙𝑪𝑴 = 𝟖𝟎 ∙ 𝟎 + 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟐 𝟖𝟎 + 𝟔𝟎 = 𝟓, 𝟏 𝒎 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 13 Exemplo: A mulher caminha até a outra extremidade da jangada. Qual será a distância da borda direita da jangada (onde estará a mulher) ao cais agora? AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 14 Como só há forças internas ao sistema na direção de movimento (horizontal), o centro de massa tem velocidade constante. Como estava inicialmente em repouso, permanecerá na mesma posição, mesmo que a mulher avance para a outra extremidade da jangada. As posições do CM da jangada e da mulher vão variando de forma correlacionada, de modo que o CM do sistema permanece sempre na mesma posição. Sem atrito com a água 𝑭𝒋→𝒎 𝑭𝒎→𝒋 AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 15 No início: 𝑪𝑴𝒔𝒊𝒔 𝑪𝑴𝒎 𝑪𝑴𝒋 0,5 m 𝒙𝒎𝒊 𝒙𝒋𝒊 No final: 𝑪𝑴𝒔𝒊𝒔 𝑪𝑴𝒎 𝑪𝑴𝒋 𝒙𝒋𝒇 𝒙𝒎𝒇 𝒙𝑪𝑴𝒊 𝒙𝑪𝑴𝒇 𝒙 𝒚 3 m AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 16 𝒙𝑪𝑴𝒊 = 𝒙𝑪𝑴𝒇 𝒎𝒎 ∙ 𝒙𝒎𝒊 +𝒎𝒋 ∙ 𝒙𝒋𝒊 𝒎𝒎 +𝒎𝒋 = 𝒎𝒎 ∙ 𝒙𝒎𝒇 +𝒎𝒋 ∙ 𝒙𝒇 𝒎𝒎 +𝒎𝒋 𝟔𝟎 ∙ 𝟔, 𝟓 + 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟑, 𝟓 = 𝟔𝟎 ∙ 𝒙𝒎𝒇 + 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝒙𝒋𝒇 𝟏𝟑, 𝟓 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟐 ∙ 𝒙𝒋𝒇 A distância entre 𝒙𝒎𝒇 e 𝒙𝒋𝒇 é a mesma entre 𝒙𝒎𝒊 e 𝒙𝒋𝒊, que é a distância da ponta ao centro da jangada. Logo, 𝒙𝒋𝒇 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟑 𝟏𝟑, 𝟓 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟐 ∙ 𝒙𝒎𝒇 + 𝟔 𝒙𝒎𝒇 = 𝟐, 𝟓 m AULA 19 – DINÂMICA EM SISTEMAS 17
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