Física 1C Aula 18

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AULA 18
SISTEMAS DE 
PARTÍCULAS
Até aqui nos concentramos em estudar o movimento 
de partículas individuais. Agora vamos caracterizar 
o movimento de sistemas compostos de duas ou 
mais partículas.
Por exemplo:
O que acontece se a mulher caminha sobre a jangada,
em direção ao cais?
AULA 18 – SISTEMAS DE PARTÍCULAS
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Centro de Massa (CM):
O centro de massa de um sistema é um ponto imaginário que
pode ser usado para representar e analisar o movimento de
todo o sistema.
O centro de massa se move como se toda a massa do sistema
estivesse concentrada nele e todas as forças externas ao
sistema estivessem sendo aplicadas nele.
Obs: o centro de massa não precisa estar no centro geométrico
de um objeto – assim como não precisa necessariamente haver
massa real no ponto do centro de massa.
AULA 18 – SISTEMAS DE PARTÍCULAS
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CM de um sistema discreto:
Sistema discreto  é possível identificar facilmente o número 
de partículas que compõem o sistema
y (m)
x (m)0
𝒎𝟏
𝒎𝟐
A posição do CM é dada 
pela média das posições 
das partículas ponderadas 
pelas suas massas
𝒙𝑪𝑴 =
𝒙𝟏 ∙ 𝒎𝟏 + 𝒙𝟐 ∙ 𝒎𝟐
𝒎𝟏 +𝒎𝟐
𝒚𝑪𝑴 =
𝒚𝟏 ∙ 𝒎𝟏 + 𝒚𝟐 ∙ 𝒎𝟐
𝒎𝟏 +𝒎𝟐
AULA 18 – SISTEMAS DE PARTÍCULAS
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Exemplo:
y (m)
x (m)0
𝒎𝟏
𝒎𝟐
𝒎𝟏 = 𝟐, 𝟎 kg
𝒙𝟏 = −𝟐, 𝟎 m
𝒚𝟏 = −𝟏, 𝟎 m
𝒎𝟐 = 𝟒, 𝟎 kg
𝒙𝟐 = 𝟒, 𝟎 m
𝒚𝟐 = 𝟑, 𝟎 m
𝒙𝑪𝑴 =
−𝟐 ∙ 𝟐 + 𝟒 ∙ 𝟒
𝟐 + 𝟒
𝒙𝑪𝑴 = 𝟐, 𝟎 m
𝒚𝑪𝑴 =
−𝟏 ∙ 𝟐 + 𝟑 ∙ 𝟒
𝟐 + 𝟒
𝒚𝑪𝑴 = 𝟏, 𝟕 m
𝑪𝑴
AULA 18 – SISTEMAS DE PARTÍCULAS
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Generalizando para n partículas:
𝒙𝑪𝑴 =
𝒙𝟏 ∙ 𝒎𝟏 + 𝒙𝟐 ∙ 𝒎𝟐 + 𝒙𝟑 ∙ 𝒎𝟑 +⋯+ 𝒙𝒏 ∙ 𝒎𝒏
𝒎𝟏 +𝒎𝟐 +𝒎𝟑 +⋯+𝒎𝒏
𝒙𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒙𝒊 M = massa total do sistema
𝒚𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒚𝒊
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Generalizando para 3 dimensões:
𝒓𝑪𝑴 = 𝒙𝑪𝑴 ∙ Ƹ𝒊 + 𝒚𝑪𝑴 ∙ Ƹ𝒋 + 𝒛𝑪𝑴 ∙ ෡𝒌
𝒙𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒙𝒊 𝒚𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒚𝒊
𝒛𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒛𝒊
x
y
z
መi
መj
෠k
𝒓𝑪𝑴
Vetor posição do C.M.
AULA 18 – SISTEMAS DE PARTÍCULAS
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Velocidade do centro de massa:
𝒗𝑪𝑴 =
𝒅𝒓𝑪𝑴
𝒅𝒕
=
𝒅𝒙𝑪𝑴
𝒅𝒕
∙ Ƹ𝒊 +
𝒅𝒚𝑪𝑴
𝒅𝒕
∙ Ƹ𝒋 +
𝒅𝒛𝑪𝑴
𝒅𝒕
∙ ෡𝒌
Lembrando que velocidade é taxa de variação da posição em 
função do tempo...
𝒗𝑪𝑴 = 𝒗𝑪𝑴𝒙 ∙ Ƹ𝒊 + 𝒗𝑪𝑴𝒚 ∙ Ƹ𝒋 + 𝒗𝑪𝑴𝒛 ∙ ෡𝒌
𝒗𝑪𝑴𝒙 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒙𝒊 𝒗𝑪𝑴𝒚 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒚𝒊
𝒗𝑪𝑴𝒛 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒛𝒊
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Aceleração do centro de massa:
𝒂𝑪𝑴 =
𝒅𝒗𝑪𝑴
𝒅𝒕
=
𝒅𝒗𝑪𝑴𝒙
𝒅𝒕
∙ Ƹ𝒊 +
𝒅𝒗𝑪𝑴𝒚
𝒅𝒕
∙ Ƹ𝒋 +
𝒅𝒗𝑪𝑴𝒛
𝒅𝒕
∙ ෡𝒌
Lembrando que aceleração é taxa de variação da velocidade 
em função do tempo...
𝒂𝑪𝑴 = 𝒂𝑪𝑴𝒙 ∙ Ƹ𝒊 + 𝒂𝑪𝑴𝒚 ∙ Ƹ𝒋 + 𝒂𝑪𝑴𝒛 ∙ ෡𝒌
𝒂𝑪𝑴𝒙 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒙𝒊 𝒂𝑪𝑴𝒚 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒚𝒊
𝒂𝑪𝑴𝒛 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒛𝒊
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CM de um sistema contínuo:
Sistema contínuo  NÃO é possível identificar facilmente o 
número de partículas que compõem o sistema.
Exemplo: corpos extensos
Corpo composto de um número 
muito grande de partículas 
aproximamos cada partícula 
como um elemento de massa 
infinitesimal Dm
∆𝒎
𝒙𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
∆𝒎𝒊 ∙ 𝒙𝒊 𝒙𝑪𝑴 = lim
∆𝒎→𝟎
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
∆𝒎𝒊 ∙ 𝒙𝒊
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𝒙𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ න𝒙 ∙ 𝒅𝒎 𝒚𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ න𝒚 ∙ 𝒅𝒎
𝒛𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ න𝒛 ∙ 𝒅𝒎
É difícil avaliar a massa de um objeto só pela sua forma, 
sendo mais fácil avaliar seu volume baseado em sua forma
AULA 18 – SISTEMAS DE PARTÍCULAS
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𝑴 = ⋯? 𝑽 =
𝟒
𝟑
𝝅𝑹𝟑
Se o objeto é uniforme (sua massa está igualmente distribuída
sobre seu volume), podemos relacionar a massa e o volume
através da densidade do objeto, que será constante
Cada elemento dm pode pertencer a um fio, uma superfície
ou um volume:
l = densidade linear de massa
𝒅𝒎 =
𝝀 ∙ 𝒅𝒍
𝝈 ∙ 𝒅𝑨
𝝆 ∙ 𝒅𝑽
s = densidade superficial de massa
r = densidade volumétrica de massa
𝒅𝒎 = 𝝆 ∙ 𝒅𝑽
𝝆 =
𝑴
𝑽
𝒅𝒎 =
𝑴
𝑽
∙ 𝒅𝑽
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𝒙𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ න𝒙 ∙
𝑴
𝑽
∙ 𝒅𝑽 𝒙𝑪𝑴 =
𝟏
𝑽
∙ න𝒙 ∙ 𝒅𝑽
𝒚𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ න𝒚 ∙
𝑴
𝑽
∙ 𝒅𝑽 𝒚𝑪𝑴 =
𝟏
𝑽
∙ න𝒚 ∙ 𝒅𝑽
𝒛𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ න𝒛 ∙
𝑴
𝑽
∙ 𝒅𝑽 𝒛𝑪𝑴 =
𝟏
𝑽
∙ න𝒛 ∙ 𝒅𝑽
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Vamos calcular integrais triplas!
CM
Ponto de simetria
Na verdade vamos usar argumentos de simetria...
Se um corpo possui um ponto, uma linha ou um plano de 
simetria, o CM situa-se nesse ponto, linha ou plano
Disco homogêneo Pneu
CM
Linhas de simetria
Nem sempre o ponto de simetria
está “no meio” do corpo... = C.M.
Tijolo
Plano de simetria
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