Física 1C Aula 14

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AULA 14
TRABALHO E 
ENERGIA 
CINÉTICA
O trabalho W representa a transferência de energia causada 
por uma força. É uma grandeza escalar que pode ser positiva, 
negativa, ou nula e é matematicamente definida como:
𝑾 = 𝑭 ∗ ∆𝒙
- Isso não é “força vezes deslocamento”. É produto escalar da 
força pelo deslocamento.
- Essa relação só vale para casos onde a força é constante e 
o deslocamento é linear.
𝑾 = 𝑭 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽O resultado desse produto escalar é
Unidade: Newton x metro = Joule [J]
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Trabalho:
𝑾 = 𝑭 ∗ ∆𝒙 = 𝑭 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽
Módulo da força Módulo do deslocamento
Cosseno do menor
ângulo entre F e Dx
Quem manda no sinal do trabalho é o cosseno de q
- O trabalho é positivo quando a força ou componente está no 
mesmo sentido de Dx
- O trabalho é negativo quando a força ou componente está no 
sentido oposto ao de Dx
- O trabalho é nulo quando a força é perpendicular a Dx
𝜽
𝜽
𝜽
𝑭
∆𝒙
𝑭
∆𝒙
𝑭 ∆𝒙
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Exemplo:
Um trabalhador empurra uma caixa de 10,0 kg rampa acima,
aplicando uma força constante de 100 N, como ilustrado na
figura. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a rampa é
0,500. Calcule o trabalho realizado por cada uma das forças
sobre a caixa após ela se deslocar 3,00 m ao longo do plano.
30,0°
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𝑷
𝑭
𝑵
30°
D.C.L.
𝒇𝒄 ∆𝒙
E o deslocamento
I – Trabalho realizado pela força 𝑭 :
𝑾𝑭 = 𝑭 ∗ ∆𝒙 = 𝑭 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝑭
𝑭
∆𝒙
𝜽𝑭 = 𝟎°
𝑾𝑭 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟎° = 𝟑𝟎𝟎 J
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II – Trabalho realizado pela força 𝑵 :
𝑾𝑵 = 𝑵 ∗ ∆𝒙 = 𝑵 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝑵 ∆𝒙
𝜽𝑵 = 𝟗𝟎°𝑾𝑵 = (𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎°) ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎° = 𝟎
𝑵
III – Trabalho realizado pela força 𝒇𝒄 :
𝑾𝒇𝒄 = 𝒇𝒄 ∗ ∆𝒙 = 𝒇𝒄 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒇𝒄
∆𝒙
𝜽𝒇𝒄 = 𝟏𝟖𝟎°𝑾𝒇𝒄 = 𝝁𝒄 ∙ (𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎°) ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎°
𝒇𝒄
𝑾𝒇𝒄 = −𝟎, 𝟓 ∙ 𝟗𝟖 ∙ 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝟑 = −𝟏𝟐𝟕 J
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
IV – Trabalho realizado pela força 𝑷 :
𝑾𝑷 = 𝑷 ∗ ∆𝒙 = 𝑷 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝑷
∆𝒙
𝜽𝑷 = 𝟏𝟐𝟎°
𝑾𝑷 = (𝟏𝟎 ∙ 𝟗, 𝟖) ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟐𝟎°
𝑷
30°
𝑾𝑷 = −𝟏𝟒𝟕 J
NÃO!! Até pode fazer isso, se quiser, mas não precisa.
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Mas não é necessário separar o peso P em suas 
componentes Px e Py antes de calcular o trabalho?
Isso pode ser calculado de duas maneiras equivalentes
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝑾𝑭𝒓𝒆𝒔𝑾𝒕𝒐𝒕 =෍
𝒊
𝑾𝒊
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝟑𝟎𝟎 + 𝟎 − 𝟏𝟐𝟕 − 𝟏𝟒𝟕
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝟐𝟔 J
𝑭𝒓𝒆𝒔𝑿 = 𝑭 − 𝑷𝒙 − 𝒇𝒄
𝑭𝒓𝒆𝒔𝒀 = 𝑵− 𝑷𝒚 = 𝟎
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Qual é o trabalho total realizado sobre a caixa, afinal?
𝑭𝒓𝒆𝒔𝑿 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟖 ∙ 𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟗𝟖 ∙ 𝟎, 𝟖𝟔𝟔
𝑭𝒓𝒆𝒔𝑿 = 𝟖, 𝟓𝟔 N
𝑾𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝑭𝒓𝒆𝒔𝑿 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝟖, 𝟓𝟔 ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟎°
𝑾𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝟐𝟔 J
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Exemplo:
Se no exemplo anterior o trabalhador estivesse empurrando a
caixa rampa abaixo, como ficariam os valores para o trabalho de
cada força e o trabalho total?
30,0°
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𝑷
𝑭
𝑵
30°
D.C.L.
𝒇𝒄
∆𝒙
E o deslocamento
I – Trabalho realizado pela força 𝑭 :
𝑾𝑭 = 𝑭 ∗ ∆𝒙 = 𝑭 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝑭
𝑭
∆𝒙
𝜽𝑭 = 𝟎°
𝑾𝑭 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟎° = 𝟑𝟎𝟎 J
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II – Trabalho realizado pela força 𝑵 :
𝑾𝑵 = 𝑵 ∗ ∆𝒙 = 𝑵 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝑵 ∆𝒙
𝜽𝑵 = 𝟗𝟎°𝑾𝑵 = (𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎°) ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎° = 𝟎
𝑵
III – Trabalho realizado pela força 𝒇𝒄 :
𝑾𝒇𝒄 = 𝒇𝒄 ∗ ∆𝒙 = 𝒇𝒄 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒇𝒄
∆𝒙
𝜽𝒇𝒄 = 𝟏𝟖𝟎°𝑾𝒇𝒄 = 𝝁𝒄 ∙ (𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎°) ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎°
𝒇𝒄
𝑾𝒇𝒄 = −𝟎, 𝟓 ∙ 𝟗𝟖 ∙ 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 ∙ 𝟑 = −𝟏𝟐𝟕 J
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IV – Trabalho realizado pela força 𝑷 :
𝑾𝑷 = 𝑷 ∗ ∆𝒙 = 𝑷 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽𝑷
∆𝒙
𝜽𝑷 = 𝟔𝟎°
𝑾𝑷 = (𝟏𝟎 ∙ 𝟗, 𝟖) ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°
𝑷30°
𝑾𝑷 = 𝟏𝟒𝟕 J
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𝑾𝒕𝒐𝒕 =෍
𝒊
𝑾𝒊
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝟑𝟎𝟎 + 𝟎 − 𝟏𝟐𝟕 + 𝟏𝟒𝟕
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝟑𝟐𝟎 J
Exemplo:
Se no exemplo anterior o trabalhador estivesse empurrando a
caixa rampa abaixo, como ficariam os valores para o trabalho de
cada força e o trabalho total?
30,0°
𝑾𝑭 = 𝟑𝟎𝟎 J
𝑾𝑵 = 𝟎
𝑾𝒇𝒄 = −𝟏𝟐𝟕 J
𝑾𝑷 = 𝟏𝟒𝟕 J
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝟑𝟐𝟎 J
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Energia cinética:
Energia associada ao movimento de um corpo. Depende da 
velocidade e da massa do corpo.
𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝟐
Unidade: kg.m2/s2 = Newton x metro = Joule [J]
A energia cinética K é uma grandeza escalar e nunca terá valor 
negativo. Só é nula quando o corpo está em repouso.
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Teorema trabalho – energia cinética:
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝑾𝑭𝒓𝒆𝒔 𝑾𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝑭𝒓𝒆𝒔 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽
Se Fres é cte.
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝒎 ∙ 𝒂 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽
Pela 2ª lei de Newton, 𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝒎 ∙ 𝒂
Considerando a Fres agindo na direção do deslocamento, q = 0°
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝒎 ∙ 𝒂 ∙ ∆𝒙
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AULA 14 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Mas se Fres é constante, a também é constante. Vale a relação:
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ ∆𝒙
𝒗𝟐 − 𝒗𝟎
𝟐
𝟐 ∙ ∆𝒙
= 𝒂
𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝒎 ∙
𝒗𝟐 − 𝒗𝟎
𝟐
𝟐 ∙ ∆𝒙
∙ ∆𝒙
𝑾𝒕𝒐𝒕 =
𝟏
𝟐
𝒎 ∙ 𝒗𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒎 ∙ 𝒗𝟎
𝟐
Então o trabalho total pode ser escrito como:
E concluímos que:
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𝑾𝒕𝒐𝒕 = ∆𝑲Teorema trabalho – energia cinética :
É valido independentemente da força ser constante ou não
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𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝑲−𝑲𝟎